3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习聚焦椭圆及其标准方程第1课时，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，覆盖定义理解到综合计算，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|椭圆定义、焦点坐标|以折叠情境（题1）和定义辨析（题2）培养抽象能力与几何直观| |技能应用|标准方程求法、焦点性质|通过充要条件判断（题4）和公共焦点问题（题5）训练推理意识| |综合拓展|焦点三角形、综合计算|结合几何图形（题10）和面积问题（题12）发展数学表达与应用意识|

3.1.1 椭圆及其标准方程 第1课时 椭圆及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　 ） A.椭圆 B.直线 C.射线 D.圆 2.（多选）已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），点P为一动点，且｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0），下列说法中正确的是（　 ） A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以线段AB为直径的圆 3．过点P(，－4)和点Q(－，3)的椭圆的标准方程是（　 ） A．＋x2＝1 B．＋y2＝1或＋x2＝1 C．＋y2＝1 D．以上都不对 4.已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在 y轴上的椭圆”的（　 ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.（多选）与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是（　 ） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6.已知点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若｜PF1｜·｜PF2｜＝12，则∠F1PF2的大小为（　 ） A.60° B.30° C.120° D.150° 二、填空题 7.椭圆＋＝1的焦点坐标是 . 8.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为　　. 9.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若｜PF1｜＝4，则∠F1PF2＝ .若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是 . 10.已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若｜ON｜＝2（O为坐标原点），则｜MF2｜－｜MF1｜＝ ，｜OM｜＝ . 三、解答题 11.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆上一点P（3，2）到两焦点的距离之和为8； （2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15； （3）经过点A（0，2）和B（，）. 12.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点（－1，）. （1）求椭圆M的标准方程； （2）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 解析版 一、选择题 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　A　） A.椭圆 B.直线 C.射线 D.圆 解析：连接MF，PF（图略），根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线，所以｜MP｜＝｜PF｜，所以｜PF｜＋｜PO｜＝｜PM｜＋｜PO｜＝｜MO｜（定值），又因为｜MO｜＞｜FO｜，所以根据椭圆的定义可判断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆. 2.（多选）已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），点P为一动点，且｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0），下列说法中正确的是（　AC　） A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以线段AB为直径的圆 3．过点P(，－4)和点Q(－，3)的椭圆的标准方程是（　A　） A．＋x2＝1 B．＋y2＝1或＋x2＝1 C．＋y2＝1 D．以上都不对 4.已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在 y轴上的椭圆”的（　A　） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，而“4≤k＜5”不能推出“4＜k＜5”；“4＜k＜5”可以推出“4≤k＜5”.故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件. 5.（多选）与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是（　BCD　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆的方程为＋＝1（λ＞－16）.对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1. 6.已知点P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若｜PF1｜·｜PF2｜＝12，则∠F1PF2的大小为（　A　） A.60° B.30° C.120° D.150° 解析：由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝8，｜F1F2｜＝2， ∴（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝64， 又∵｜PF1｜·｜PF2｜＝12， ∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝40， 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝＝， 又∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝60°. 二、填空题 7.椭圆＋＝1的焦点坐标是　（0，－12），（0，12）　. 解析：由椭圆的标准方程知，该椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，∴c2＝a2－b2＝169－25＝144，∴c＝12，∴焦点坐标为（0，－12）和（0，12）. 8.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为　＋＝1　. 解析：设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由题意，可得解得 故b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 9.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若｜PF1｜＝4，则∠F1PF2＝　120°　.若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是　2　. 解析：由题意得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，∴｜F1F2｜＝2. ∵｜PF1｜＝4，∴｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝2. ∴在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ ＝＝－，又0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°. 若∠F1PF2＝90°，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝＝28，则（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1｜｜PF2｜＝28，∴36－2｜PF1｜｜PF2｜＝28，即｜PF1｜｜PF2｜＝4， ∴＝｜PF1｜｜PF2｜＝2. 10.已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若｜ON｜＝2（O为坐标原点），则｜MF2｜－｜MF1｜＝　4　，｜OM｜＝　2　. 解析：如图，延长F2N，MF1交于点Q，由题知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以｜MF2｜＝｜MQ｜，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON∥F1Q，且｜ON｜＝｜FQ｜，因为｜ON｜＝2，所以｜F1Q｜＝4，｜MF2｜－｜MF1｜＝｜MQ｜－｜MF1｜＝｜F1Q｜＝4.又因为｜MF2｜＋｜MF1｜＝8，所以｜MF2｜＝6，｜MF1｜＝2，易知｜F1F2｜2＝4×（16－8）＝32，所以｜MF2｜2＝｜MF1｜2＋｜F1F2｜2，所以MF1⊥OF1，所以｜OM｜＝＝2. 三、解答题 11.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆上一点P（3，2）到两焦点的距离之和为8； （2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15； （3）经过点A（0，2）和B（，）. 解：（1）①若焦点在x轴上， 可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由题意知2a＝8，所以a＝4. 又点P（3，2）在椭圆上， 所以＋＝1，得b2＝. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. ②若焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由题知2a＝8，所以a＝4.又点P（3，2）在椭圆上， 所以＋＝1，得b2＝12. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. （2）由题意知，2c＝16，长轴长2a＝9＋15＝24， 所以a＝12，c＝8，所以b2＝80. 又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. （3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 代入A，B两点坐标得 解得 所以椭圆的标准方程为x2＋＝1. 12.已知椭圆M与椭圆N：＋＝1有相同的焦点，且椭圆M过点（－1，）. （1）求椭圆M的标准方程； （2）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标. 解：（1）由题意，知椭圆N的焦点为（－2，0），（2，0）. 设椭圆M的方程为＋＝1（a＞b＞0）， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 解得b2＝1或b2＝－（舍），所以a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1. （2）由（1）知，F1（－2，0），F2（2，0）. 设P（x0，y0），则△PF1F2的面积为×4×｜y0｜＝1， 解得y0＝±. 又＋＝1，所以＝，即x0＝±， 所以符合条件的点P有4个，它们的坐标分别为（，），（－，），（，－），（－，－）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $