3.1.1椭圆及其标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以椭圆定义及标准方程为核心，通过“基础梳理-选择填空-解答题”三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识巩固需求，培养数学抽象、推理及模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础梳理|椭圆定义、标准方程及a,b,c关系|填空+判断形式强化概念辨析，培养抽象能力| |单一应用|焦点坐标、轨迹判断、面积计算|北京同步考题（单选1-8，填空11-13），突出运算能力与推理意识| |综合应用|轨迹方程推导、最值问题、几何情境|结合折叠/作图工具（单选9-10，解答15），培养模型观念与应用意识|

3.1.1椭圆及其标准方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．椭圆的定义 平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做________．其数学表达式：集合，，其中，，且，为常数： （1）若________，则集合为椭圆； （2）若________，则集合为线段； （3）若________，则集合为空集． 【答案】 椭圆 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 ___与___ ___与___ a，b，c的关系 _________ 【答案】 3．判断正误 （1）到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) （2）到两定点和的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆．( ) 【答案】 × × 【详解】（1）根据椭圆的定义可知，错误； （2）由于两定点之间距离为4>3,故点M的轨迹不存在，错误. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（24-25高二上·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果. 【详解】由椭圆方程为可知， 则，即为椭圆的左、右焦点， 由椭圆定义可得. 故选：C 2．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    3．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 4．（25-26高二上·北京·期中）过椭圆的右焦点作直线，直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C． D．20 【答案】B 【分析】的周长为，计算得到答案. 【详解】，则， 的周长为. 故选：B. 5．（25-26高三·北京·强基计划）设实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】转化为动点到两定点之间距离和，再利用焦点三角形的性质可求最小值. 【详解】， 点是椭圆上的点，设，如图．    记题中代数式为M，则， 等号当点E，A，P依次共线时取得． 因此所求最小值为． 故选：C. 6．（25-26高二上·北京·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则下列结论中正确的个数为（    ） ①时，满足的点P有2个； ②时，满足的点P有4个； ③的周长等于4a； ④的最大值为. A．① B．①② C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题需依次分析椭圆中四个关于焦点三角形的命题，涉及椭圆的几何性质、焦点三角形的角、周长、面积等知识点，需结合椭圆的定义、余弦定理、基本不等式等进行推理判断. 【详解】当时，，则，此时以为直径的圆与椭圆有两个交点而且为短轴端点，所以当点P为短轴端点时，满足，所以点P有2个，①正确； 以为直径的圆与椭圆的交点个数即为满足条件的点P的个数，当时，，所以，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，所以点P有4个，②正确； 焦点三角形的周长等于，则③错误； 因为，所以，则④正确. 正确的个数为：①②④ 故选：D 7．（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由方程为椭圆求出参数m，再由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 8．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B 9．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】由该方程表示椭圆，可得且，焦点在轴上可得，计算即可得. 【详解】由题意得，解得或，即. 故选：C. 10．（25-26高二上·北京丰台·期末）现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接构成菱形架，将顶点固定，带滑槽的直杆的一个端点为，点处的铰链在直杆的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆一端固定在点处（可绕旋转），另一端连接点处的铰链，.与交点处有一个栓子（可在带滑槽的直杆上滑动），转动直杆的过程中，点处笔尖画出的曲线记为.以中点为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得，结合椭圆定义得出即可得出椭圆方程. 【详解】因为为菱形，则为线段的垂直平分线，故， 所以， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可得，即，所以 所以曲线的方程为. 故选：A. 二、填空题 11．（25-26高二上·北京朝阳·期中）曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的一个取值为__________. 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以,解得：,则的一个取值为； 故答案为：(答案不唯一) 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）若方程表示曲线. （1）若曲线是圆，则的值是______. （2）若曲线是椭圆，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程和椭圆的标准方程求结果即可. 【详解】（1）若方程表示圆， 则，解得. （2）若方程表示椭圆， 即表示椭圆，则或者. 解得或，所以的取值范围为. 故答案为：（1）；（2）. 13．（24-25高二上·北京·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为________，若，则________. 【答案】 20 8 【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出第一空， 第二空，结合，即可求解； 【详解】椭圆，∴， 的周长是， 所以 故答案为∶20，8 14．（25-26高三下·北京·强基计划）已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意得，，，则，即，， 设，则， ， 因为，所以，即，， 所以的最大值为. 三、解答题 15．（第四节椭圆【讲】北京专版）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴及的值，将椭圆方程设为，依据椭圆的定义确定的值，并由求得，带入所设的椭圆方程即可. （2）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. （3）解法一：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴且，设椭圆标准方程带入计算即可.解法二：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知， ， 所以，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为． （2）由已知得，因此．又因为，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以所求的椭圆的标准方程为：． （3）解法一：因为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为． 由已知得：，又因为，所以． 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）． 因此，，从而椭圆的标准方程为． 解法二：由椭圆的定义，点到两焦点，的距离之和等于， 即 ， 所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.1.1椭圆及其标准方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F,'F,的距离的和等于常数（大于F,F,)的点的轨迹叫做 其数学表达式：集合P=MMF1+MF2=2aF,F2=2c:其中a>0'c>0且a c为常数： (1)若 则集合P为椭圆： (2)若 则集合P为线段： (3)若 ,则集合P为空集 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x 标准方程 +y=1(a>b>0) a b2 -1oo y M M 图形 F F 焦点 与 与 a,b,c的关系 c2= 3.判断正误 (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.() (2)到两定点F1(-2,0和F,(2,0)的距离之和为3的点M的轨迹为椭圆.( 试卷第1页，共3页 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1。（2425商上原西城期知点P在稀厨子+上，点F,0,F,10, 则PF+PF=（） A.2 B.2V2 c.2V3 D.2V5 2.(25.26商二上北京期末)已知稀圆C:名+兰=1的左、右焦点分别为厂，下，点P 94 在椭圆C上.若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为() A.2 B.4 C.8 D.9 3.(24-25高二上北京丰台期末)已知圆C:(x+1P+y=16及点A(1,0y在园C上任 取一点P,连接CP,将点P折叠到点A,记CP与折痕l的交点为M(如图).当点P在圆C 上运动时，点M的轨迹方程为() 431 B. x.y 6*2-1 c.-=1 D. x-y=1 43 1612 4.（25-26高二上北京期中)过椭圆 G名的右焦点上，作直线，直线交椭网于A B两点，F是椭圆的左焦点，则△AF,B的周长为(） A.12 B.16 c.4V7 D.20 +1,则 5.(25-26高三北京强基计划)设实数x,y满足5+4 试卷第2页，共3页 +y-2y+1+X+y-2x+1的最小值为() A.2V2 B.2V/5-2 c.2V5-V2 D.前三个答案都不对 。+蒙-1a>b>0)的左、右 6.(25:26高二上北京期中)已知F,'F,分别是椭圆c:+之 焦点，P是椭圆C上一点，则下列结论中正确的个数为() ①a=2b时，满足∠F,PF,=90的点P有2个： ②a>2b时，满足∠F,PF2=90的点P有4个： ③△PF1F2的周长等于4a: ④|PF,小PF,的最大值为。 A.① B.①② C.①③ D.①②④ 7.（25-26高二上北京西城期末)“0<m<2”是“+，y m 2-m =1为椭圆方程”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(25-26高二上北京期中)椭圆 =1的焦点坐标是() m-3m+6 A.±3,0 B.0,±3 C.±9,0 D.0,±9 9.(25-26高二上北京海淀阶段检测)若X+y=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 a2a+2 a的取值范围是() A.-2,+∞B.-0,-1U2,+o C. -2,-1U2,+∞ D.任意实数R 10.(25-26高二上·北京丰台·期末)现有一种作图工具如图所示，四根长度均为4的直杆 用铰链首尾连接构成菱形架ABCD,将顶点B固定，带滑槽的直杆AP的一个端点为A,点 C处的铰链在直杆AP的滑槽内.另一根长度为4且带滑槽的直杆DN一端固定在点N处（可 试卷第3页，共3页 绕N旋转)，另一端连接点D处的铰链，BN=2.DN与AC交点M处有一个栓子（可在带 滑槽的直杆上滑动)，转动直杆DN的过程中，点M处笔尖画出的曲线记为E.以BN中点 为原点，BN所在直线为X轴，BN的中垂线为y轴建立直角坐标系，则曲线E的方程为 () D M B NO 2 A. xy=1 B.t C.2 =1 43 43 94 二、填空题 1.（2526商=上北京期中)南线E:22广m-1m+2庚示焦点在)y1 m+22-m 的椭圆，则m的一个取值为 12.（25-26商二上北京阶段检测)若方程nmX+1-my'=1m∈R表示曲线C (1)若曲线C是圆，则m的值是 (2)若曲线C是椭圆，则m的取值范围是 13.(2425高二上北京阶段检测已知F,F,是稀圆关+。=1的两个焦点，过F,的 25'9 直线交椭圆于A'B两点，则△F,AB的周长为 若E2A+E,B=12则 AB= 14.(25-26高三下北京强基计划己知精圆。+上-1，下为稀圆的右焦点，P为桶圆 94 上的动点，O为坐标原点，则OP·OF的最大值为 三、解答题 15.（第四节椭圆【讲】北京专版)分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： 试卷第4页，共3页 1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是-202,0？并且经过点5，-3求它的标准方程： 2’2 (2)两个焦点分别是F,-3,0F,3,0椭圆上的点p到两个焦点的距离之和等于8： 3)两个焦点分别是F,0,-4?F,0,4并且椭圆经过点3，-5 试卷第5页，共3页