2.5.1 直线与圆的位置关系 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，通过基础辨析、综合应用、问题解决三层设计，实现从概念理解到运算推理再到模型构建的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直线与圆位置关系判断、点与圆位置关系|单选1-2直接考查距离公式应用，夯实概念理解| |中档|综合位置关系分析、弦长计算|多选3-4结合定点问题与参数范围，填空题5-7涉及最短弦、切线方程，提升推理能力| |提升|圆的方程求解、切线与最值综合|解答题8-9整合切线方程、弦长计算及最值问题，培养模型观念与运算能力|

课时分层作业(二十二)　直线与圆的位置关系 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共65分 一、选择题 1．已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(－2，－1) C．(1，2) D． 2．如果直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点M(m，n)与圆C的位置关系为(　　) A．点M在圆C上 B．点M在圆C外 C．点M在圆C内 D．点M与圆C的位置不确定 3．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　) A．直线过定点(－2，1) B．圆的圆心坐标为(1，2) C．直线与圆相交 D．直线与圆相交所截最短弦长为2 4．(多选)若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则实数a可能为(　　) A．5 B．6 C．7 D．10 二、填空题 5．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________． 6．过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________． 7．若圆C：(x－6)2＋(y＋5)2＝9上有四个不同的点到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为________． 三、解答题 8．(13分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1． (1)过点P(3，5)作圆C的切线l，求l的方程； (2)已知直线AB：3x＋y－8＝0，判断直线AB与圆C的位置关系；如果相交，求直线AB被圆C所截得的弦长． 9．(15分)已知圆C经过O(0，0)，A(1，0)，B(1，－2)三点． (1)求圆C的一般方程； (2)求过点(0，1)且被圆C截得的弦长为2的直线l的方程； (3)过直线l：x－y＋4＝0上任意一点P向圆C引切线，切点为Q，求|PQ|的最小值． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(二十二) 1．D　[已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离， 将圆M的方程化为标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2－1， 则a2－1>0，解得a<－1或a>1，圆心为M(a，2)，半径为r＝． 因为直线l与圆M相离，则圆心到直线l：x＋2y－3＝0的距离d＝>， 整理可得2a2－a－3<0，即(a＋1)(2a－3)<0， 解得－1<a<， 则实数a的取值范围是． 故选D．] 2．B　[根据题意，可得x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，半径r＝2． 因为直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点， 所以点C到直线mx＋ny－4＝0的距离d<r，即<2，整理得m2＋n2>4，所以点M(m，n)到C(0，0)的距离|MC|＝>2， 即|MC|>r，可知点M在圆C：x2＋y2＝4的外部． 故选B．] 3．BCD　[对于A，直线x＋my－m－2＝0可化为(x－2)＋m(y－1)＝0， 所以直线经过x－2＝0与y－1＝0的交点(2，1)，故A项不正确； 对于B，圆(x－1)2＋(y－2)2＝4表示以(1，2)为圆心，半径r＝2的圆，故B项正确； 对于C，圆心(1，2)到点(2，1)的距离d＝， 由d<r，可得点(2，1)在圆内，结合直线x＋my－m－2＝0经过点(2，1)，可知直线与圆相交，故C项正确； 对于D，设圆心M(1，2)，定点N(2，1)， 由C的分析，可知当x＋my－m－2＝0与MN垂直时，直线与圆相交所截弦长最短． 因为|MN|＝d＝，所以最短弦长为2＝2＝2，故D项正确．故选BCD．] 4．BC　[根据题意，圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0变形可得(x－1)2＋(y－3)2＝10－a，则有10－a>0，即a<10，其圆心为(1，3)，半径r＝， 则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝4． 若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则＋2≤4，解得a≥6， 而a<10，即a的取值范围为[6，10)． 故选BC．] 5．－1　[由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)， 根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短， 因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．] 6．y＝4或3x＋4y－13＝0　[由题意知圆心(2，3)，半径r＝1． 又(－1－2)2＋(4－3)2＝10>1，所以点A(－1，4)在圆外． 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1． 此时，圆心到直线l的距离d＝|2－(－1)|＝3>r， 所以直线x＝－1不是圆的切线； 当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 整理，得kx－y＋k＋4＝0． 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝r＝1， 即＝1，整理，得4k2＋3k＝0， 解得k＝0或k＝－． 当k＝0时，直线方程为y＝4； 当k＝－时，直线方程为y－4＝－(x＋1)，化为一般式方程为3x＋4y－13＝0． 所以切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0．] 7．(－8，12)　[由圆C：(x－6)2＋(y＋5)2＝9，可得圆心C(6，－5)，半径为r＝3． 设圆心C到直线l：3x＋4y＋c＝0的距离为d，可得d＝． 因为圆C上有四个不同的点到直线l的距离为1，则满足0≤d<2， 即0≤<2，解得－8<c<12，所以实数c的取值范围为(－8，12)．] 8．解：(1)圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的圆心为C(2，3)，半径为1． 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时圆心C到直线l的距离为1，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0， 由题意可得＝1，解得k＝， 此时直线l的方程为y－5＝(x－3)，即3x－4y＋11＝0． 综上所述，直线l的方程为x＝3或3x－4y＋11＝0． (2)圆心C到直线AB的距离为d＝<1，故直线AB与圆C相交，直线AB被圆C所截得的弦长为 2＝2． 9．解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为圆C经过O(0，0)，A(1，0)，B(1，－2)三点， 所以 解得 所以圆C的方程为x2＋y2－x＋2y＝0． (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 把x＝0，代入x2＋y2－x＋2y＝0中，得y2＋2y＝0，解得y＝0，或y＝－2， 因为|－2－0|＝2，所以符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1， 由(1)可知圆心C． 所以圆心C到直线y＝kx＋1的距离为， 当弦长为2时，则有，解得k＝－，所以直线的方程为15x＋8y－8＝0， 所以直线l的方程x＝0或15x＋8y－8＝0． (3)连接PC，CQ，根据圆的切线性质可知PQ⊥CQ． 由勾股定理，得|PQ|＝， 要想|PQ|最小，只需|PC|最小，当CP⊥l时，|PC|最小． 根据点到直线距离公式，得|PC|的最小值为， 所以|PQ|的最小值为． $