2.5.1直线与圆的位置关系（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖直线与圆位置关系全知识点，从基础巩固到高考衔接，强化数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组 巩固过关|14个核心知识点（判断位置关系、弦长、切线方程等）|知识点速记+基础题型，对应单一考点，如位置关系判断、弦长计算| |B组 能力进阶|综合应用（参数问题、最值、轨迹）|多知识点融合，如含参数直线与圆的位置关系、切线长最值| |C组 思维拔高|探究性问题（定点定值、存在性）|开放题与逻辑推理，如直线过定点探究、轨迹方程推导| |拓展 链接高考|高考真题（距离问题、切线夹角）|对接高考题型，强化应试能力，如2025全国卷距离取值范围题|

分层作业 2.5.1 直线与圆的位置关系 参考答案 判断直线与圆的位置关系知识点01 1．A； 2．A； 3．B； 4．C； 5．A； 6．C； 根据直线与圆的位置关系求参数知识点02 7．A； 8．C； 9．C； 10．AB； 11．D； 求圆的弦长知识点03 12． D； 13．； 14．； 已知圆的弦长求直线方程或参数知识点04 15.C； 16．A； 17．AC； 18．【答案】(1)；(2) 或 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 弦长的最值问题知识点05 19.C； 20．B； 21.B； 22．D； 23．4； 求圆的切线方程知识点06 24.B； 25．D； 26．； 27．或； 28.或； 已知切线方程求参数或圆的方程知识点07 29.D； 30．A； 31．D； 32．C； 33．A； 34．D； 35．D； 36．； 求圆的切线长知识点08 37. A； 38．B； 39．； 求圆的切线长最短知识点09 40． B； 41.D； 42．B； 43．ACD； 44. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 圆内接三角形的面积知识点10 45. C； 46．D； 47．C； 48．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 圆上的点到直线距离个数问题知识点11 49.B； 50．B； 51．ABC； 直线上的点到圆上点距离的最值知识点12 52. A； 53．A； 54．C； 55．C； 56．2； 57．； 直线与圆中的定点定值问题知识点13 58.【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 59.【详解】（1）设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. (2)若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点；    60.【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 61.【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 62.【答案】(1)；(2)；(3)直线经过定点. 【分析】（1）法一：设，将已知点代入求参数，即可得；法二：设，并求出的中垂线方程，求出其与轴交点得圆心，进而写出圆的方程； （2）法一、法三：讨论直线的斜率，设，，或，联立圆的方程，应用韦达定理及两点距离公式和列方程求参数，即可得斜率；法二：作，垂足为，设，再根据已知和线段的关系得，从而有求参数，再由斜率为即可得； （3）设，，，利用向量的垂直表示及数量积的运算律、坐标运算得，从而得，同理得，即可确定直线，进而判断定点情况. 【详解】（1）法一：设圆， 由题意得，得， 所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，， 则的中垂线方程为， 令，得，则圆的圆心为，半径为2， 故圆的标准方程为； （2）法一：当的斜率为0时，，不符合题意， 当的斜率不为0时，设，，， 由，得，易得，， ，得， 故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 （注意还有对称的情况） ， 因为，， 所以，得， 故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意， 当的斜率存在时，设，，，示意图同法一， 由，得，易得，， ，得. 故的斜率为. （3）直线经过定点，理由如下： 设，，， 则，，. 易得，得， 则， 所以，得， 同理得，所以直线的方程为. 由，得，所以直线经过定点. 63.【详解】（1）由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. (2) 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值. (3)不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 直线与圆的方程的实际应用知识点14 64. B； 65．A； 66．10； 67．【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； (2)点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 68．【答案】(1)，()；(2)米. 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，    设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 1．B； 2．B； 3．A； 4．B； 5．B； 6．A ； 7.B ； 8.C； 9．B； 10．C； 11.C； 12．C； 13．A； 14．ABD； 15．ABD ； 16.ABD ； 17.； 18． ； 19. 或 ； 20.【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1），故圆心为，半径为4， 故， 当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故， 所以，所以直线的方程为，即； （2）当时，中， 令得，，解得，故， 又到直线的距离为2，故，满足要求； 当时，设直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又，，故， 解得或， 当时，，解得，直线方程为； 当时，，变形得到，方程无解， 综上，直线方程为或. 21.【答案】(1)；(2)；(3)，. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 22.【答案】0.68m 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 23.【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析 【详解】（1） 设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时， 得有两组不同的解，消去得， 化简得， 可知，化简得，解得， 所以直线l的斜率的取值范围是. （2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得， 化简得， 由（1）可知为方程的两个解， 则， 当时，， 化简得，解得， 所以直线l的方程或. （3）设，已知， 则， 则， 由（2）可知， 则， 所以为定值． 1． B； 2．ABD； 3. (填也可)； 4.； 5.； 6. 【答案】(1)；(2)①；②是定值， 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. 7.【答案】(1)；(2)138；(3)存在，点，定值为 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    1． B； 2．C； 3.C； 4.B； 5．C； 6.ABD； 7.ACD； 8．（中任意一个皆可以）； 9.2； 10.； 11.； 12．0； 13.2； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5.1 直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 判断直线与圆的位置关系 知识点02 根据直线与圆的位置关系求参数 知识点03 求圆的弦长（重点） 知识点04 已知圆的弦长求方程或参数（重点） 知识点05 弦长的最值问题（重点） 知识点06 求圆的切线方程（重点） 知识点07 已知切线方程求参数或圆的方程（重点） 知识点08 求圆的切线长（重点） 知识点09 求圆的切线长最短（重点） 知识点10 圆内接三角形的面积 知识点11 圆上的点到直线距离个数问题（常考点） 知识点12 直线上的点到圆上点距离的最值（重点） 知识点13 直线与圆中的定点定值问题（难点） 知识点14 直线与圆的方程的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 判断直线与圆的位置关系知识点01 知识点速记： 直线与圆的位置关系及判断： ⑴几何法：当圆心到直线的距离，直线和圆相离，此时直线和圆没有交点； 当圆心到直线的距离，直线和圆相且，此时直线和圆有且只有一个交点； 当圆心到直线的距离，直线和圆相交，此时直线和圆有两个交点； ⑵代数法：由消元得到一元二次方程，当判别式时，直线和圆相交；时，直线和圆相切；时，直线和圆相离。 题型巩固练： 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．（20-21高二上·四川泸州·期中）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 5．（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 6．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 根据直线与圆的位置关系求参数知识点02 知识点速记： 圆心到直线的距离为，圆的半径为， 若直线和圆无公共点（相离）； 若直线和圆有一个公共点（相切）； 若直线和圆有两个公共点（相交）。 题型巩固练： 7．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 8．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 9．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 10．（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 求圆的弦长知识点03 知识点速记： 直线与圆相交的弦长公式： 若直线与圆相交于两点，圆的半径为r，弦心距为，与弦长的一半满足，所以弦长。 题型巩固练： 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 13．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 14．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 已知圆的弦长求直线方程或参数知识点04 知识点速记： 已知圆的弦长求参数的解题步骤： ⑴计算弦心距：设圆的半径为，已知弦长为，则圆心到直线的距离； ⑵求出参数：利用圆心到直线的距离公式列方程求出参数值； 已知圆的弦长求直线方程的解题步骤： ⑴计算弦心距：设圆的半径为，已知弦长为，则圆心到直线的距离； ⑵设直线方程：若直线过定点，需分情况讨论：①斜率存在，设方程为，化为一般式；②斜率不存在：验证直线是否满足题意（即此时弦长是否等于已知值）； ⑶列方程求解：利用点到直线的距离公式，解出斜率或验证斜率不存在的情况（若解方程求出两个值则不需验证）。【注】若已知的弦长小于半径，则所求直线必有两条，注意不要漏解。 题型巩固练： 15．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 17．（多选）（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 弦长的最值问题知识点05 知识点速记： 1. 过圆内定点的弦长最值：若点在圆内部（不与圆心重合），过点的所有弦中：最长弦是经过点的直径，长度为；最短弦是垂直于的弦，公式为，其中为圆心到定点的距离。 2. 直线含参数变动时的弦长最值：若直线方程含有参数（如或），且直线恒过定点，首先需通过整理直线方程找出恒过的定点的坐标，若点在圆内，则弦长最值规律同上；若题目给定弦长最小值求参数，通常利用几何法建立方程，当弦长最小时，最大（即）。 题型巩固练： 19．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 21．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 22．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 23．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 求圆的切线方程知识点06 知识点速记： 若点在圆上求切线方程： ①圆心在原点的圆：切线方程为； ②圆心在的圆：切线方程为； 若点在圆外求切线方程： ⑴距离法：设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出，注意若解出的值只有一个解，则需检验斜率不存在的情况。 ⑵判别式法：联立圆的方程和直线的方程，令，解出的值。 【注】过圆外一点做圆的切线必有两条。 题型巩固练： 24．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 26．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 28．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 已知切线方程求参数或圆的方程知识点07 知识点速记： 已知切线方程求参数，主要利用点到直线的距离等于半径列方程解出参数值。 题型巩固练： 29．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 30．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 33．（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 求圆的切线长知识点08 知识点速记： 过圆外一点做圆的切线，求切线长的解题步骤： 1.求圆心到定点的距离；2.切线长。 题型巩固练： 37．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 求圆的切线长最短知识点09 知识点速记： 1. 点在直线上运动 ； 2. 点在特定曲线上运动： 转化为求曲线上的点到已知圆圆心的最小距离，再利用勾股定理计算。 题型巩固练： 40．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 42．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 43．（多选）（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 44．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 圆内接三角形的面积知识点10 知识点速记： 圆内接三角形的面积：①求出圆心到直线的距离；②求出弦长；③利用面积公式求出三角形的面积。 题型巩固练： 45．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 46．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 47．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 48．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 圆上的点到直线距离个数问题知识点11 知识点速记： 圆上的点到直线距离的个数问题核心是先算出圆心到直线的距离，在与半径和设定距离比较，画图数形结合最直观。当时， ⑴个点：； ⑵个点：，在临界位置； ⑶个点：； ⑷个点：，在临界位置； ⑸个点：； 题型巩固练： 49．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高二上·江西·阶段检测）若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（多选）（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 直线上的点到圆上点距离的最值知识点12 知识点速记： 若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 题型巩固练： 52．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 54．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 55．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 56．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 57．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 直线与圆中的定点定值问题知识点13 知识点速记： 直线与圆中的定值问题解题步骤： ⑴设方程：根据已知条件设出直线方程，并设直线与圆的两个交点坐标分别为， ⑵联立方程：与圆的方程联立，写出根与系数的关系，； ⑶代入整理：将所要求定值的式子用表示，并将根与系数的关系代入，化简即得定值。 题型巩固练： 58．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 59．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 60．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 61．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 62．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 63．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 直线与圆的方程的实际应用知识点14 知识点速记： 直线与圆的方程的实际应用解题步骤： ⑴建立坐标系：根据题意建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示点、直线、圆等几何元素； ⑵代数运算：通过届方程组，计算距离、斜率等代数运算解决数学问题； ⑶几何翻译：将代数结果“翻译”回几何结论，得出实际问题的答案。 题型巩固练： 64．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 65．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 66．（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 67．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 68．（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南怀化·期末）全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 9．（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 10．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 12．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 13．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 15．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 17．（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 18．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 19．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 21．（25-26高二下·天津南开·期中）已知直线，圆，若圆M截直线l所得两段弧长之比为，则______. 22．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 23．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 24．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 25．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值． 1．【动点轨迹问题】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．【数学运算】（多选）（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 3．【开放题】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 4．【直观想象】（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 5．【知识融合】（25-26高二下·河北·期末）在平面直角坐标系中，，，，点满足，点的轨迹为曲线，直线，直线与曲线交于不同的两点，，且，则实数的取值范围是__________. 6．【存在性问题】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 7．【探索性问题】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 6．（多选）（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 7．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 9．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 11．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 12．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 13．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.5.1 直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 判断直线与圆的位置关系 知识点02 根据直线与圆的位置关系求参数 知识点03 求圆的弦长（重点） 知识点04 已知圆的弦长求方程或参数（重点） 知识点05 弦长的最值问题（重点） 知识点06 求圆的切线方程（重点） 知识点07 已知切线方程求参数或圆的方程（重点） 知识点08 求圆的切线长（重点） 知识点09 求圆的切线长最短（重点） 知识点10 圆内接三角形的面积 知识点11 圆上的点到直线距离个数问题（常考点） 知识点12 直线上的点到圆上点距离的最值（重点） 知识点13 直线与圆中的定点定值问题（难点） 知识点14 直线与圆的方程的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 判断直线与圆的位置关系知识点01 知识点速记： 直线与圆的位置关系及判断： ⑴几何法：当圆心到直线的距离，直线和圆相离，此时直线和圆没有交点； 当圆心到直线的距离，直线和圆相且，此时直线和圆有且只有一个交点； 当圆心到直线的距离，直线和圆相交，此时直线和圆有两个交点； ⑵代数法：由消元得到一元二次方程，当判别式时，直线和圆相交；时，直线和圆相切；时，直线和圆相离。 题型巩固练： 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 3．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 4．（20-21高二上·四川泸州·期中）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】C 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 5．（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 6．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 根据直线与圆的位置关系求参数知识点02 知识点速记： 圆心到直线的距离为，圆的半径为， 若直线和圆无公共点（相离）； 若直线和圆有一个公共点（相切）； 若直线和圆有两个公共点（相交）。 题型巩固练： 7．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 8．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 9．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 10．（多选）（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 11．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 求圆的弦长知识点03 知识点速记： 直线与圆相交的弦长公式： 若直线与圆相交于两点，圆的半径为r，弦心距为，与弦长的一半满足，所以弦长。 题型巩固练： 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 13．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 14．（2026·四川眉山·模拟预测）直线与曲线相交于，两点，则弦长______． 【答案】 【详解】曲线的方程可化为，是一个圆， 其圆心为，半径， 直线即到圆心的距离， 则弦长. 已知圆的弦长求直线方程或参数知识点04 知识点速记： 已知圆的弦长求参数的解题步骤： ⑴计算弦心距：设圆的半径为，已知弦长为，则圆心到直线的距离； ⑵求出参数：利用圆心到直线的距离公式列方程求出参数值； 已知圆的弦长求直线方程的解题步骤： ⑴计算弦心距：设圆的半径为，已知弦长为，则圆心到直线的距离； ⑵设直线方程：若直线过定点，需分情况讨论：①斜率存在，设方程为，化为一般式；②斜率不存在：验证直线是否满足题意（即此时弦长是否等于已知值）； ⑶列方程求解：利用点到直线的距离公式，解出斜率或验证斜率不存在的情况（若解方程求出两个值则不需验证）。【注】若已知的弦长小于半径，则所求直线必有两条，注意不要漏解。 题型巩固练： 15．（2026·山东聊城·二模）已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 16．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 17．（多选）（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，则直线方程为， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离， 此时直线l：， 所以直线的方程为或. 故选：AC 18．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 弦长的最值问题知识点05 知识点速记： 1. 过圆内定点的弦长最值：若点在圆内部（不与圆心重合），过点的所有弦中：最长弦是经过点的直径，长度为；最短弦是垂直于的弦，公式为，其中为圆心到定点的距离。 2. 直线含参数变动时的弦长最值：若直线方程含有参数（如或），且直线恒过定点，首先需通过整理直线方程找出恒过的定点的坐标，若点在圆内，则弦长最值规律同上；若题目给定弦长最小值求参数，通常利用几何法建立方程，当弦长最小时，最大（即）。 题型巩固练： 19．（2026·浙江杭州·二模）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 21．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 22．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 23．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 求圆的切线方程知识点06 知识点速记： 若点在圆上求切线方程： ①圆心在原点的圆：切线方程为； ②圆心在的圆：切线方程为； 若点在圆外求切线方程： ⑴距离法：设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出，注意若解出的值只有一个解，则需检验斜率不存在的情况。 ⑵判别式法：联立圆的方程和直线的方程，令，解出的值。 【注】过圆外一点做圆的切线必有两条。 题型巩固练： 24．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 25．（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 26．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 28．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 已知切线方程求参数或圆的方程知识点07 知识点速记： 已知切线方程求参数，主要利用点到直线的距离等于半径列方程解出参数值。 题型巩固练： 29．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 30．（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 31．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，且与轴相切， 所以圆心到轴的距离等于半径，即， 故圆的方程为. 故选：D. 32．（25-26高二上·浙江·期中）若直线与圆相切于点，则的值为（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【详解】切点在直线上，所以，即， 圆心与切点连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 又切线的斜率为，所以， 所以，解得， 所以. 故选：C. 33．（25-26高二上·天津·期中）已知圆的圆心在直线上，且与直线及都相切，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因圆的圆心在直线上，可设圆心为，半径为， 依题意圆心到直线的距离，① 圆心到直线的距离，② 联立①和②，解得，故圆的方程为. 故选：A. 34．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 35．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 36．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】可化为，圆心坐标为，半径为. 令，即，则表示直线的纵截距，如图. 圆心到直线的距离为. 直线与圆有交点的条件为，即，解得， 所以的取值范围为. 求圆的切线长知识点08 知识点速记： 过圆外一点做圆的切线，求切线长的解题步骤： 1.求圆心到定点的距离；2.切线长。 题型巩固练： 37．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 38．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 39．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 求圆的切线长最短知识点09 知识点速记： 1. 点在直线上运动 若点在一条已知直线上运动，向圆引切线，求切线长的最小值： ； 2. 点在特定曲线上运动： 若点在其它曲线上运动，向圆引切线，求切线长的最小值： 转化为求曲线上的点到已知圆圆心的最小距离，再利用勾股定理计算。 题型巩固练： 40．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，则，如下图所示： 圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得， 所以当取最小值时，取最小值， 故当与直线垂直时，取最小值， 即的最小值为， 所以. 故选：B. 41．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 答案为：D.    42．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 43．（多选）（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 44．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 圆内接三角形的面积知识点10 知识点速记： 圆内接三角形的面积：①求出圆心到直线的距离；②求出弦长；③利用面积公式求出三角形的面积。 题型巩固练： 45．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 46．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 47．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 48．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 圆上的点到直线距离个数问题知识点11 知识点速记： 圆上的点到直线距离的个数问题核心是先算出圆心到直线的距离，在与半径和设定距离比较，画图数形结合最直观。当时， ⑴个点：； ⑵个点：，在临界位置； ⑶个点：； ⑷个点：，在临界位置； ⑸个点：； 题型巩固练： 49．（24-25高二上·浙江杭州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1可知圆心到直线的距离为1， 即，解得. 故选：B 50．（25-26高二上·江西·阶段检测）若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到已知直线的距离， 依题意得，即，解得. 故选：B 51．（多选）（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 直线上的点到圆上点距离的最值知识点12 知识点速记： 若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 题型巩固练： 52．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 53．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 54．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 55．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 56．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 57．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 直线与圆中的定点定值问题知识点13 知识点速记： 直线与圆中的定值问题解题步骤： ⑴设方程：根据已知条件设出直线方程，并设直线与圆的两个交点坐标分别为， ⑵联立方程：与圆的方程联立，写出根与系数的关系，； ⑶代入整理：将所要求定值的式子用表示，并将根与系数的关系代入，化简即得定值。 题型巩固练： 58．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， (1)当时，求直线的方程； (2)记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， （2）由题意知，， 因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 59．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值； (3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【详解】（1）设,因为，，所以， 所以，化简可得， 所以曲线的方程为. (2)若直线的斜率为0，则， 若直线的斜率不为0， 设直线为， 直线与曲线C交点为， 联立 所以，所以， D、B两点的弦的中点的纵坐标为， 联立与，所以的纵坐标为， ， 所以恒为定值； （3）设直线为，， 联立， 所以， 所以， 又因为点 满足直线、的斜率之积为， 所以， 所以， 所以， 即得， 化简得， 所以， 所以或， 当时，即，直线为，定点为； 当时，即， 直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍； 当直线为，，直线、的斜率之积为， 所以，所以， 即得，所以或舍； 综上，直线过定点；    60．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 61．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 62．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆的圆心在轴上，且经过，两点. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求的斜率. (3)若为直线上的一个动点，过作圆的切线，切点为，，判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)直线经过定点. 【分析】（1）法一：设，将已知点代入求参数，即可得；法二：设，并求出的中垂线方程，求出其与轴交点得圆心，进而写出圆的方程； （2）法一、法三：讨论直线的斜率，设，，或，联立圆的方程，应用韦达定理及两点距离公式和列方程求参数，即可得斜率；法二：作，垂足为，设，再根据已知和线段的关系得，从而有求参数，再由斜率为即可得； （3）设，，，利用向量的垂直表示及数量积的运算律、坐标运算得，从而得，同理得，即可确定直线，进而判断定点情况. 【详解】（1）法一：设圆， 由题意得，得， 所以圆的标准方程为； 法二：设，，得的中点坐标为，， 则的中垂线方程为， 令，得，则圆的圆心为，半径为2， 故圆的标准方程为； （2）法一：当的斜率为0时，，不符合题意， 当的斜率不为0时，设，，， 由，得，易得，， ，得， 故的斜率为； 法二：作，垂足为，设， 由题意得 （注意还有对称的情况） ， 因为，， 所以，得， 故的斜率为 法三：当的斜率不存在时，，不符合题意， 当的斜率存在时，设，，，示意图同法一， 由，得，易得，， ，得. 故的斜率为. （3）直线经过定点，理由如下： 设，，， 则，，. 易得，得， 则， 所以，得， 同理得，所以直线的方程为. 由，得，所以直线经过定点. 63．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. (2) 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值. (3)不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 直线与圆的方程的实际应用知识点14 知识点速记： 直线与圆的方程的实际应用解题步骤： ⑴建立坐标系：根据题意建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示点、直线、圆等几何元素； ⑵代数运算：通过届方程组，计算距离、斜率等代数运算解决数学问题； ⑶几何翻译：将代数结果“翻译”回几何结论，得出实际问题的答案。 题型巩固练： 64．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 65．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】A 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 66．（25-26高二上·江西·阶段检测）某海面有一台风，当前台风中心位于轮船的正南方的处，台风以的速度向正东方向移动，台风侵袭的区域为圆形区域，半径为，轮船以的速度向东南方向航行，若将轮船视为一个质点，则台风侵袭轮船的时长为______小时. 【答案】10 【详解】以为坐标原点，台风移动的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则小时后，台风侵袭的区域对应的圆的方程为，圆心， 此时轮船的位置为， 则台风侵袭轮船等价于， 所以，解得， 所以台风侵袭轮船的时长为小时. 67．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； (2)点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 68．（25-26高二上·上海·期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m，    (1)建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； (2)在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【答案】(1)，()；(2)米. 【详解】（1）构建如下直角坐标系，则，，，    设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. （2）由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 1．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知直线与圆：相交于，两点，其中点为此圆的圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将圆的方程化为标准形式：，则圆心为，半径为， 过作，垂足为， 则，所以， 在中，， 所以. 3．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 5．（25-26高二下·湖南怀化·期末）全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点， 可得， 当最小时，最小，又最小时，即为到直线的距离， 即此时，又，所以， 又因为，所以此时直线的方程为，即， 由，得，所以巡检无人机此时的坐标应为. 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 7．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知直线过点且与圆交于A，B两点，若是钝角三角形，则直线的斜率可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】的圆心为，半径为2， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆无交点，不合要求，舍去； 设直线，要使得是钝角三角形，则需为钝角， 则圆心到直线的距离， 其中，即，故， 解得，其中，解得，只有B满足要求. 8．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 9．（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 10．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 11．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 12．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 13．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知圆，直线，若圆上至多有个点到直线的距离为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，根据圆上至多有个点到直线的距离为，列出不等式，求解即可. 【详解】由圆，所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则， 因为圆上至多有个点到直线的距离为，则， 即，化简得，解不等式得或， 所以的取值范围是. 故选：A 14．（多选）（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 15．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．若直线与圆相切，则 C．若，则 D．当时，从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ABD 【详解】整理圆方程可得，因此圆心，半径. 选项A，整理直线的方程可得：， 令，解得，即直线恒过定点， A正确. 选项B，由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离： ， 解得：，B正确. 选项C，如图所示，当时，直线， 则圆心到直线的距离为：. ，C错误.    选项D，如图所示，从点向圆引切线，设一个切点为，连接、，则， 切线长， 因此当且仅当最小时最小，， 代入得：，D正确.    16．（多选）（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 17．（25-26高二下·天津南开·期末）若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 18．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 19．（25-26高二下·天津南开·期中）已知直线，圆，若圆M截直线l所得两段弧长之比为，则______. 【答案】 或 【详解】设直线与圆交于两点，圆心为，半径为 因为圆被直线截得两段弧长之比为，而弧长之比等于对应圆心角之比， 所以两段弧所对的圆心角之比也为. 故较小弧所对的圆心角为. 设为圆心到弦的垂足，则，并且在等腰三角形中， 平分圆心角，所以 ， 在直角三角形中， . 这说明圆心到直线的距离为. 直线可化为， 由点到直线的距离公式，得 即 ， 两边平方，得， 整理得 解得， 所以或. 20．（25-26高二上·四川广元·期末）已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点． (1)当弦被点平分时，求直线的方程和的值； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1)，；(2)或 【详解】（1），故圆心为，半径为4， 故， 当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故， 所以，所以直线的方程为，即； （2）当时，中， 令得，，解得，故， 又到直线的距离为2，故，满足要求； 当时，设直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 又，，故， 解得或， 当时，，解得，直线方程为； 当时，，变形得到，方程无解， 综上，直线方程为或. 23．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3)，. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 22．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 23．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知过点的直线l与圆相交于A，B两点． (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)若A是线段BP的中点，求直线l的方程； (3)证明：为定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析 【详解】（1） 设直线l的方程为，当直线l与圆相交于A，B两点时， 得有两组不同的解，消去得， 化简得， 可知，化简得，解得， 所以直线l的斜率的取值范围是. （2）设，已知，当A是线段BP的中点时，可得， 化简得， 由（1）可知为方程的两个解， 则， 当时，， 化简得，解得， 所以直线l的方程或. （3）设，已知， 则， 则， 由（2）可知， 则， 所以为定值． 1．【动点轨迹问题】（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、.    直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 2．【数学运算】（多选）（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（   ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1 D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或 【答案】ABD 【详解】解：由题意，在圆中，，半径， 对于A选项，过作圆的切线，切点为， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； 对于B选项，由中点为，则，所以直线的方程为， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； 对于C选项，圆上有三个点到直线距离等于，由于圆半径是，这等价于圆与两条距离直线为的平行线有三个交点， 但两条平行线关于对称，圆与它们的交点要么成对出现，要么没有，不可能出现奇数个交点，所以不存在，故C错误； 对于D选项，因为圆上有且只有两个点到直线的距离都为2， 所以圆心到直线即的距离大于1小于3． 即，解得：或，故D正确． 3．【开放题】（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知点，，动点满足：.若动点的轨迹为曲线，直线过点，写出一个满足“与曲线恰有一个公共点”的直线的方程______. 【答案】(填也可) 【详解】设，因为点，，且动点满足， 所以，整理得， 所以曲线方程为，是以为圆心，半径的圆； 直线过点且与曲线恰有一个公共点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，所以，解得， 所以直线的方程为，即或. 故答案为：（填也可） 4．【直观想象】（25-26高二下·上海·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】直线变形得，则直线恒过， 变形得，是单位圆的上半部分， 当半圆与直线相切时，， 解得（舍）或， 设，，则， 由直线和半圆的图象可以知， 当时，直线与半圆没有公共点； 当时，直线与半圆切于一点； 当时，直线与半圆有两个交点； 当时，直线与半圆有一个交点； 当时，直线与半圆没有公共点； 所以当直线与半圆有两个交点时，. 5．【知识融合】（25-26高二下·河北·期末）在平面直角坐标系中，，，，点满足，点的轨迹为曲线，直线，直线与曲线交于不同的两点，，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设，因为 则，化简得 ，即， 所以曲线是以为圆心，2为半径的圆， 设的中点为，则， 因为， 所以①，又 即②，由①②得， 又，直线 与圆交于不同的两点，所以， 则，即. 因为，所以， 故实数的取值范围为. 6．【存在性问题】（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②是定值， 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. 7．【探索性问题】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)138；(3)存在，点，定值为 【详解】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      5．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 6．（多选）（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 9．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为_____． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 10．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 11．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________． 【答案】 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 12．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 13．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $