数列单调性最值含参专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以30题梯度设计构建“基础方法-含参讨论-高难综合”三阶训练体系，聚焦数列单调性、最值及含参问题，以题载法培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|10题（作差/商法等）|作差/商比较、配方法、因式分解定单调与最值|从定义出发，通过差商比较构建单调性判断通法，结合二次型、等差数列求和渗透最值求法| |含参单调与最值|10题（二次型/线性递推等）|参数范围讨论、端点值分析、最大项定位|在基础方法上引入参数，通过分类讨论深化对单调性影响因素的理解，建立参数与数列性质的关联| |高难综合|10题（有界收敛/均值定理等）|压缩递推证明、初值分区、对称最值、均值单调定理|整合有界性、收敛性等高等数学思想，通过迭代函数、平均数列等拓展应用，培养数学抽象与逻辑推理能力|

数列单调性·最值·含参专项训练（30 题） 难度中上→难，题号即难度序 · 数学符号规范公式排版 · 覆盖单调性判断、最大最小项、 最值、含参讨论、有界性与收敛证明 使用说明：第 1—10 题为单调性与最值的基础方法（作差、作商、分段、恒成立）；第 11—20 题为含参单调与最值（参数范围、最大项定位、参数端点讨论）；第 21—30 题为高难综合（有界性与收敛、初值分区、对称最值、均值单调定理）。题号越大难度越高。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第1—10题　单调性与最值的基本方法（中上难度起步，逐题上升） 1.（作差法判断单调）★★ 设 （）。 （1）求 ，并证明 单调递增（作差，化简结果）； （2）把 写成 ，证明 对一切 成立； （3）求使 的最小正整数 。 2.（作商法判断单调与最大项）★★★ 设 （）。 （1）计算 ，猜测最大项的位置； （2）由 判断数列从第几项开始递减，并求最大项； （3）证明： 对一切 成立。 3.（先减后增的最小项）★★★ 设 （）。 （1）写出前 项，猜测最小项； （2）由 确定数列的单调区间； （3）证明： 对一切 成立。 4.（配方法与因式分解定最值）★★★ 设 （）。 （1）求 并因式分解，由此证明 ； （2）指出取到最小值的项（注意可能不止一项）； （3）由 说明数列从第几项起单调递增。 5.（等差数列前 项和的最大值）★★★ 设等差数列 满足 ，公差 。 （1）写出通项，确定从第几项起为负； （2）求 的表达式，并求 取得最大值时的 与最大值； （3）求使 的最小正整数 。 6.（等差数列前 项和的最小值）★★★ 设等差数列 满足 ，。记 为前 项和，。 （1）确定 中负项的下标范围； （2）求 的最小值及取得最小值的 ； （3）证明：当 时，，并求 。 7.（递推数列的单调有界）★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）求 ，猜测通项与极限； （2）证明：，从而说明 单调递增且 ； （3）求使 的最小正整数 。 8.（指数与二次比较定单调）★★★ 设 （）。 （1）写出前 项，猜测最小项； （2）由 确定数列从第几项起单调递增，并求最小项； （3）证明： 对一切 成立（数学归纳法），并说明它给出了 的证明。 9.（最大项不唯一的情形）★★★ 设 （）。 （1）写出前 项； （2）由 判断数列的单调情况，求最大项并指出最大项是否唯一； （3）证明： 对一切 成立。 10.（单调递推与恒成立参数）★★★ 设 （）。 （1）证明 单调递增； （2）求最小的实数 ，使 对一切 成立； （3）求使 的最小正整数 。 第11—20题　含参单调与最值（难度逐题上升；★★★★） 11.（二次型数列的含参单调）★★★ 设 （）， 为实参数。 （1）求 ； （2）求使 单调递增的 的取值范围；若要 不递减（允许相邻相等）， 的范围是什么？ （3） 时，求 的最小项。 12.（线性递推的含参单调与有界）★★★★ 设 ，（）， 为实参数。 （1）求通项公式（分 与 讨论）； （2） 时：由 证明 单调递增，并证明 ； （3）一般地，证明： 时 严格递增；当 时数列有上界 。 13.（含 项的单调区间）★★★★ 设 （）， 为常数。 （1）计算 ； （2）求使 单调递增的 的范围； （3） 时求最小项（注意最小值可能由两项同时取得）。 14.（前 项和的最值点与参数）★★★★ 设等差数列 的前 项和为 （ 为参数）。 （1）把 配成 ，指出 的对称轴； （2）若 的最小值在 处取得（即 且 ），求 的取值范围； （3）若 为整数，求 与最小值 。 15.（ 的含参单调）★★★★ 设 ，（）， 为实参数。 （1）求通项公式（提示：构造 ）； （2）求使 单调递增的 的取值范围； （3） 与 时分别讨论数列的单调性与最大项。 16.（由符号转折确定参数）★★★★ 设等差数列 的前 项和为 （ 为参数）。 （1）求通项 ，并说明它是递减的等差数列； （2）若 均为正、 为负，求 的取值范围（实数）； （3）若只要求 均非负、 为负，求整数 的值；并求 时 的最大值。 17.（公比参数控制最大项位置）★★★★ 设 （），其中 。 （1）计算 ，说明它随 增大而减小； （2）若 的最大项恰为 ，求 的取值范围； （3） 时求最大项，说明此时最大项不唯一。 18.（摆动数列部分和的奇偶单调性）★★★★ 设 （即 ），前 项和为 。 （1）求 与 的表达式（用 表示，结果含 ）； （2）证明： 对一切 成立，且 单调递增、 单调递减； （3）求使 的最小正整数 。 19.（隔项递推的周期性与求和）★★★★ 设数列 满足 ，且 （）。 （1）写出前 项，证明 是周期数列并求最小正周期； （2）求 与前 项和 ； （3）更一般地，若递推为 （ 为常数），证明 仍以 为周期（或更小周期的子情形）。 20.（几何 × 线性：最大项与指数不等式）★★★★ 设 （）。 （1）计算 ，用比值 判断最大项的位置并求最大项； （2）证明： 对一切 成立（提示：等价于证明 ，可用数学归纳法）。 第21—30题　高难综合：有界收敛、初值分区、对称最值与均值定理（难度逐题上升；★★★★~★★★★★） 21.（压缩递推：有界、单调与极限）★★★★ 设 ，（）。 （1）求 ； （2）用数学归纳法证明： 对一切 成立； （3）由 证明 单调递增； （4）设 ，对 两边取极限，求 。 22.（“加小量”递推：有界性与收敛）★★★★ 设 ，（）。 （1）证明 单调递增； （2）证明：（），并利用恒等式 证明 对一切 成立； （3）由”单调有界数列必收敛”说明 的极限存在（不求值）。 23.（分式型数列的单调与取整）★★★★ 设 （）。 （1）把 写成 ，写出前 项； （2）证明： 单调递减； （3）证明 ，并求 （不超过 的最大整数）随 的变化规律。 24.（ 的对称最值与参数）★★★★ 设等差数列 满足 （ 为参数），前 项和为 。 （1）求 关于 的表达式（含 ），说明它的对称轴； （2）若 ，求 ，并求 的最大值； （3）若要求 均非负、 为负，求整数 的值，并分别说明此时 最大值的位置。 25.（两侧逼近同一常数的摆动数列）★★★★ 设 （）。 （1）写出前 项，说明奇数项与偶数项分别在哪一侧； （2）证明：奇数项子列 单调递减，偶数项子列 单调递增； （3）求 的最大项与最小项； （4）证明：（两端分别只在 、 取等），，且 。 26.（迭代函数的初值分区讨论）★★★★★ 设 ，（）。 （1）证明：对一切 ，； （2）若 ：证明 且 单调递减； （3）若 ：由 证明 单调递增且无上界（提示：证明 ）； （4）若 ：计算 ，说明从第 项起数列与（2）中情形一致，由此判断 的单调性与极限。 27.（ 的对称性）★★★★★ 设等差数列 的公差 ，前 项和为 。 （1）若 ，由 先求 与 的关系，再把 配成 的形式，求 取得最大值时的 ； （2）证明：由 可推出 ； （3）一般地，若 （），证明 的最大值在离 最近的整数处取得，并写出 为奇数与偶数时的取值情况。 28.（分母二次式：对称最值与参数）★★★★★ 设 （），其中参数 使分母恒为正。 （1） 时，把分母写成 ，求 的最大值并指出取最大值的项； （2）对一般的 ，说明” 最大 最接近 “； （3）若 是数列的唯一最大项，求 的取值范围（并注意分母恒正的条件 ）。 29.（情境题：产量与利润的最值）★★★★ 某工厂每日生产 件产品（）的利润（万元）为 （1）计算 ，确定 的单调区间，并求最优日产量与最大利润； （2）一般地，若利润函数为 （ 为参数），求使”日产量 时利润最大”的参数 的取值范围（允许 或 与 并列最大）。 30.（平均数列的单调性：压轴定理）★★★★★ 设 是严格递增的正项数列，定义算术平均与几何平均： （1）取 ，写出 与 ，验证它们都递增； （2）证明：，从而 严格递增； （3）证明：，从而 严格递增（提示：两边约去公共因子后归结为证明 ）； （4）应用： 时求 ，并说明 的递增性。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列单调性·最值·含参专项训练（30 题）· 参考答案与解析 第1—10题　参考答案与解析 1.（作差法判断单调） 答案：（1）；（2）见解析；（3）。 解析： （1）。 故 单调递增。 （2）。 （3），最小正整数 。 2.（作商法判断单调与最大项） 答案：（2）从第 项起递减，最大项 ；（3）见解析。 解析： （1）。，猜测最大项为 。 （2）。。 故 时 （递增）， 时 （递减），最大项 。 （3）只需证明 时 。由（2）从第 项起递减，； 时 、 也小于 。故对一切 ，。 3.（先减后增的最小项） 答案：（1）；（2）从第 项起递增，最小项 ；（3）见解析。 解析： （1）。 （2）。。 故 时 （递减）， 时 （递增）。数列先减后增，最小项 。 （3）由（2）， 时 ；又 ，，故对一切 ，。 4.（配方法与因式分解定最值） 答案：（1）；（2） 同时取最小，；（3）从第 项起（严格）递增。 解析： （1）。 当 时 ；当 或 时为 ；当 时 ，乘积为正。故 ，即 。 （2） 当且仅当 或 ，故最小项为 。 （3）。当 时 （ 时相等），当 时 。故从第 项起不递减，从第 项起严格递增。 5.（等差数列前 项和的最大值） 答案：（1），从第 项起为负；（2）， 时最大，；（3）。 解析： （1）。，即从第 项起为负（）。 （2）。 因为 而 ，前 项和中正项加到第 项为止和最大：。 时取得最大值 。 （3），故最小 （，）。 6.（等差数列前 项和的最小值） 答案：（1）前 项为负（，）；（2） 在 时最小，；（3）。 解析： （1）。，即 为负，。 （2）。 负项加到第 项和最小：。（比较 ，， 最小。） （3）。当 时，前 项取绝对值后符号反转，第 项起为正，故 。（直接计算：，一致。） 7.（递推数列的单调有界） 答案：（1）；（2）见解析；（3）。 解析： （1），。 （2），故 是首项 、公比 的等比数列： ，故 ；且 （由表达式逐项增大）， 单调递增，极限为 。 （3）。，，故 ，最小 。 8.（指数与二次比较定单调） 答案：（1）；（2）从第 项起递增，最小项 ；（3）见解析。 解析： （1），，，，。 （2）。 当且仅当 （ 时 ， 时 ，此后用归纳：）。故 时 ，从第 项起严格递增。最小项为 。 （3）用数学归纳法证明 （）。 ： 成立；： 成立。设 时成立，则 需证 ，即 ，对 成立（ 时 ，此后递增）。故从 起归纳成立； 已单独验证。 于是 ，即 ，取等当且仅当 。 9.（最大项不唯一的情形） 答案：（1）；（2）最大项为 （不唯一）；（3）见解析。 解析： （1），，，。 （2）。 。对 有 ；当 时 ，严格递减。 所以 同为最大项，最大项不唯一。 （3）由（2）， 对一切 成立。 10.（单调递推与恒成立参数） 答案：（1）见解析；（2）；（3）。 解析： （1），单调递增。 （2），且 单调递增趋于 ，故 恒成立的最小 。 （3），最小正整数 。 第11—20题　参考答案与解析 11.（二次型数列的含参单调） 答案：（1）；（2）；不递减时 ；（3） 为最小项。 解析： （1）。 （2）严格递增要求 对一切 成立，只需 时成立，即 。若不递减（允许相等），只需 。 （3） 时 （），且 。数列不减，最小项 。 12.（线性递推的含参单调与有界） 答案：（1） 时 ； 时 ；（2）（3）见解析。 解析： （1）：，。 ：不动点 即 。，且 ，故 （2）：。由通项： 故 单调递增；且 ，有上界 。 （3） 时用 。若 ，由（1），，且 （因 ）。若 ，。若 ，通项 递增且无上界。 13.（含 项的单调区间） 答案：（1）；（2）；（3）最小项为 。 解析： （1）。 （2）单调递增要求 对一切 ，即 对一切 成立。 的最小值为 （），故 。 （3）：。：；：； 时 ，差为正。故 ，最小项 （，）。 14.（前 项和的最值点与参数） 答案：（1）对称轴 ；（2）；（3），最小值 。 解析： （1），对称轴 。 （2） 为最小值需 且 ： 故 。 （3）整数 。最小值 。 15.（ 的含参单调） 答案：（1）；（2）；（3） 时恒为 ； 时单调递减，最大项 。 解析： （1），且 ，故 ，。 （2）（由通项相邻差）。 递增要求 对 成立，即 。 （3）：（常数列）。 ：。，严格递减，最大项 ，无下界。 16.（由符号转折确定参数） 答案：（1）；（2）；（3）整数 ； 时 为最大值。 解析： （1）； 时 ； 也满足 ，故 （），公差为 。 （2）：；：。故 。 （3），，整数 。 时 ，，，最大值 。（ 时 ， 同为最大值。） 17.（公比参数控制最大项位置） 答案：（1），随 增大而减小；（2）；（3） 时最大项 。 解析： （1）。 随 减小，故比值递减。 （2）最大项恰为 ，需要 且 ，同时 时 （比值递减，若 则自动成立）。 故 。（端点 时 ； 时 ，最大项仍含 。） （3）：，，且 时 （ 时 ），最大项 ，不唯一。 18.（摆动数列部分和的奇偶单调性） 答案：（1），；（2）见解析；（3）。 解析： （1）。 。 （2），且 随 递减，故 单调递增； 且随 递减。故 。 （3）偶数下标：，要 即 ，（）时 。 奇数下标 ：，（）时首次满足。 比较： 时（ 奇支）误差 不满足； 满足。最小 。 19.（隔项递推的周期性与求和） 答案：（1），最小正周期为 ；（2），；（3）见解析。 解析： （1）；；；；。，，递推只依赖前两项，故周期为 （前 项 无更短周期）。 （2），。一个周期和 ，。 （3），故以 为周期。（当 时为常数列，周期为 ，是 的子情形。） 20.（几何 × 线性：最大项与指数不等式） 答案：（1），最大项 ；（2）见解析。 解析： （1），，。 。，仅 时成立，即 ； 时递减。最大项 。 （2）。用数学归纳法证明 （）： ：；：。设 成立，。需证 ，即 ，对 成立。归纳完成。 （也可直接验证 后从 起归纳，其中 自动成立。） 第21—30题　参考答案与解析 21.（压缩递推：有界、单调与极限） 答案：（1）；（4）。 解析： （1）；；。 （2） 满足。设 ，则 ，，且 。归纳得 。 （3）。由 知 ，，乘积为正，故 ，单调递增。 （4）递增且有上界 ，收敛。对 取极限得 ，即 ， 或 ；由 知 ，故 。 22.（“加小量”递推：有界性与收敛） 答案：（2）；（3）见解析。 解析： （1）（，故 ），单调递增。 （2） 时 ，故 ；又 ，。 将 的项单独处理：（）；，。故 对一切 成立。 （3） 单调递增且有上界 ，由单调有界定理，极限存在。 23.（分式型数列的单调与取整） 答案：（1）；（3）： 时为 ， 时为 ， 时为 。 解析： （1）；；。 （2）。 对 成立（ 时 ），故 单调递减。 （3）由（2），；，故 。 ，。，此后递减，故 时 ，。 24.（ 的对称最值与参数） 答案：（1），对称轴 ；（2），最大值 ；（3）整数 ； 时最大值在 ， 时在 。 解析： （1）。 是开口向下的二次函数，对称轴 。 （2）：，，。此时 ， 为最大值。 （3）；。整数 或 。 ：，，对称轴 ，最大值在 同时取得，。 ：，，对称轴 ，最大值在 取得，。 25.（两侧逼近同一常数的摆动数列） 答案：（3）最大项 ，最小项 ；（4）见解析。 解析： （1），，，。奇数项 ，在 的上方；偶数项 ，在 的下方。 （2），奇数项子列递减（趋近 ）；，偶数项子列递增（趋近 ）。 （3）奇数项均 且递减，最大为 ；偶数项均 且递增，最小为 。又奇数项都大于偶数项（奇 偶），故全局最大 ，全局最小 。 （4）奇数项从 单调递减趋近 ，偶数项从 单调递增趋近 ，故 （最大 唯一，最小 唯一）。，不可能。。 26.（迭代函数的初值分区讨论） 答案：（2）（3）（4）见解析。 解析： （1），等号当且仅当 。 （2）：先证 。，满足。若 ，则 ，。又 故严格递减；有下界 ，收敛于 ，由 得 ，（因 ）。 （3）：。若 ，则差 ，故 ，由归纳 ，无上界。 （4）：，落在 内。从第 项起与（2）的初值等价（迭代只取决于当前值），故 自第 项起严格递减，收敛于 。（注意 。） 27.（ 的对称性） 答案：（1）， 在 处取最大值；（2）见解析；（3） 为偶数时取 （唯一）；为奇数时 两项并列。 解析： （1）：，，。于是 ，故 在 处最大，。 （2）。，。前 项为正、从第 项起为负，与 最大一致。 （3）：，故 。于是 时 关于 对称。若 为偶数，最大在 （唯一）；若 为奇数，最大在 与 两处并列。 28.（分母二次式：对称最值与参数） 答案：（1）最大值 ， 同时取得；（3）。 解析： （1）：分母 。 为整数， 在 时最小（均为 ），故 为最大值。 （2）分母 。 最大 最小 最小，即 最接近 。 （3） 唯一最大 是离 最近的唯一整数： 结合分母恒正 （判别式 ，即 ），得 。（当 时， 对应的 ，自动满足。） 29.（情境题：产量与利润的最值） 答案：（1） 在 递增、 递减（），最优日产量 ，最大利润 万元；（2）。 解析： （1）。 时差为正（）， 时差为负。故 先增后减，在 处最大： 最优日产量为 件，最大利润 万元。 （2）。 最大需 且 ： 故 。（此时对 自动有 ，最大只可能在前 项。） 30.（平均数列的单调性：压轴定理） 答案：（1）：；：（均递增）；（4）。 解析： （1）：，递增。 ，，，，递增。 （2），，其中 ： 严格递增，（），分子 ，故 严格递增。 （3）。 由 （）得 ，故 ，， 严格递增。 （4） 时 。由（3）， 严格递增：。 学科网（北京）股份有限公司 $