专题1.5 用空间向量研究距离、夹角问题重难点题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角这一核心知识点，系统梳理点到直线、点到平面等距离问题及异面直线、线面、面面等夹角问题，从定义、公式到向量求法步骤，构建完整学习支架。 资料通过11大基础题型夯实基础、2大提高题型深化能力，结合例题与即时训练，培养学生数学思维中的推理与运算能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题1.5 用空间向量研究距离、夹角问题重难点题型专训 （2个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、异面直线夹角的向量求法 题型二、已知线线角求其他量 题型三、线面角的向量求法 题型四、已知线面角求其他量 题型五、面面角的向量求法 题型六、已知面面角求其他量 题型七、共面直线夹角的向量求法 题型八、点到平面距离的向量求法 题型九、平行平面距离的向量求法 题型十、点到直线距离的向量求法 题型十一、异面直线距离的向量求法 第二部分·练提高题型 题型一、已知相关夹角求其他量 题型二、空间向量距离的向量求法 第三部分・自我检测 知识点01 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 （1）点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： （1）根据图形求出直线的单位方向向量． （2）在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线外的点N的方向向量． （3）垂线段长度． 3．求点到平面的距离的常用方法 （1）直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离． （2）转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求． （3）等体积法． （4）向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为． 【即时训练】 1．（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 知识点02 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 （1）两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． （2）空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法： （1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 4．向量法求二面角的解题思路： 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 【基础题型一 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·天津·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）（多选）在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 4．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知是所在平面外一点，，，． (1)证明：是平面的一个法向量． (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【基础题型二 已知线线角求其他量】 【例2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    【基础题型三 线面角的向量求法】 【例3】（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·四川眉山·期末）（多选）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【基础题型四 已知线面角求其他量】 【例4】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 1．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 4．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【基础题型五 面面角的向量求法】 【例5】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期末）（多选）如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 4．（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【基础题型六 已知面面角求其他量】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 1．（24-25高二下·安徽宣城·期末）若的二面角的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，，且，则CD的长等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（2026·广东佛山·二模）（多选）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 4．（2026·江苏·模拟预测）在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 【基础题型七 共面直线夹角的向量求法】 【例7】（24-25高二上·山东聊城·阶段检测）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·浙江绍兴·期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________， 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【基础题型八 点到平面距离的向量求法】 【例8】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 4．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【基础题型九 平行平面距离的向量求法】 【例9】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为 B．是平面的一个法向量 C．直线到平面的距离为 D．平面与平面间的距离为 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【基础题型十 点到直线距离的向量求法】 【例10】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）空间内有四点，则（    ） A．点到直线EF的距离为 B．点到直线EF的距离为 C．点到平面EFN的距离为 D．点到平面EFN的距离为 3．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【基础题型十一 异面直线距离的向量求法】 【例11】（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    4．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【提高题型一 已知相关夹角求其他量】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·阶段检测）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）（多选）给出下列命题，其中不正确的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角. D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50° 3．（25-26高二上·吉林·期中）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【提高题型二 空间向量距离的向量求法】 【例2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 3．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南楚雄·一模）（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 7．（25-26高一下·陕西西安·期中）（多选）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 10．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 12．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    13．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 15．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 16．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求平面与平面所成角的正弦值． 18．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 20．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 用空间向量研究距离、夹角问题重难点题型专训 （2个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、异面直线夹角的向量求法 题型二、已知线线角求其他量 题型三、线面角的向量求法 题型四、已知线面角求其他量 题型五、面面角的向量求法 题型六、已知面面角求其他量 题型七、共面直线夹角的向量求法 题型八、点到平面距离的向量求法 题型九、平行平面距离的向量求法 题型十、点到直线距离的向量求法 题型十一、异面直线距离的向量求法 第二部分·练提高题型 题型一、已知相关夹角求其他量 题型二、空间向量距离的向量求法 第三部分・自我检测 知识点01 用空间向量研究距离问题 1．距离问题 （1）点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为 (如图)． （2）点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： （1）根据图形求出直线的单位方向向量． （2）在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线外的点N的方向向量． （3）垂线段长度． 3．求点到平面的距离的常用方法 （1）直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离． （2）转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求． （3）等体积法． （4）向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为． 【即时训练】 1．（2026·湖南郴州·模拟预测）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点Q到平面距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量及所过的点，再利用点到平面距离公式求解 【详解】依题意，平面过点，其法向量， 则，所以点Q到平面距离. 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知空间中的三个点，则点到直线的距离为____________. 【答案】 【分析】由点到直线距离的空间向量法计算即可 【详解】，， ， 所以． 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 知识点02 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 （1）两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． （2）空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法： （1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 4．向量法求二面角的解题思路： 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小． 【即时训练】 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 2．（25-26高二上·天津河北·期末）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 【答案】/ 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接求解即可. 【详解】设平面与平面所成角为， 由平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为， 故答案为：. 【基础题型一 异面直线夹角的向量求法】 【例1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断. 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 1．（25-26高二上·天津·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）（多选）在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 4．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知是所在平面外一点，，，． (1)证明：是平面的一个法向量． (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合法向量的定义即可证得结论成立； （2）求出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以． 因为，、平面，所以平面， 所以是平面的一个法向量． （2）由题意得， 因为四边形为平行四边形，所以， 则． 故异面直线与所成角的余弦值为． 【基础题型二 已知线线角求其他量】 【例2】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 3．（25-26高二上·重庆·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】 【分析】依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，侧棱长是底面边长的2倍，是侧棱上的任一点．问：当点在侧棱上何处时，在平面上的射影是的平分线？    【答案】点到点的距离是侧棱长的． 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列方程求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设，    因为， 所以， 所以． 易知，所以， 依题意，得，即， 整理得，亦即， 故点到点的距离是侧棱长的． 【基础题型三 线面角的向量求法】 【例3】（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与平面所成角为， 则. 1．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 2．（24-25高二上·四川眉山·期末）（多选）直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】ABD 【分析】根据线线，线面，线面角的向量公式，即可求解. 【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确； 设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误； 若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】利用向量法求解线面角即可. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为：. 4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以， 又，，平面，得平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直性质得到，进而证得. （2）建系求的法向量后算正弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设，可得，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则有即 取，则， 记直线与平面所成的角为， 故. 【基础题型四 已知线面角求其他量】 【例4】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】由线面平行得到直线方向向量与平面法向量垂直，由向量数量积为0建立方程，解得的值. 【详解】若，则，则， 即， ∴. 故选：A. 1．（24-25高二上·河南周口·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若∥，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面平行的性质，知直线的方向向量与平面的法向量垂直，从而，代入求解即可. 【详解】∥，，，得. 故选：. 2．（24-25高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出各点坐标，求得平面法向量，利用线面角公式计算化简求得答案. 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______． 【答案】 【分析】利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】直线与平面所成的角为， 则， 当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 4．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 【基础题型五 面面角的向量求法】 【例5】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接可得解. 【详解】由题意得平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 1．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点E为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得. 【详解】设，则． 因为E，F分别为的中点，所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 又因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）（多选）如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平面所成角的大小与平面的法向量所成角的关系可判断AB，利用线面角的大小与直线的方向向量与平面的法向量的关系可判断CD. 【详解】因为，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为， 所以相等或互补，所以，故A正确； 所以，故B错误； 因为以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，所以，故D错误， 因为，故C正确. 故选：AC. 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知正方体，为的中点，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，    不妨设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 又平面的法向量可取， 所以平面与平面夹角的余弦值为： . 4．（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 【基础题型六 已知面面角求其他量】 【例6】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 1．（24-25高二下·安徽宣城·期末）若的二面角的棱l上有A，B两点，AC，BD分别在半平面α，β内，，，且，则CD的长等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可画出几何示意图，根据空间向量的线性关系，得到，利用向量的模长和数量积的关系，结合已知，即可求解. 【详解】由题意可得如下示意图， 由二面角为，棱l上有A，B两点且，， 且,, ,. 故选：B.    【点睛】本题考查了利用二面角求线段的长度，转化为求向量的模长是解题的关键，属于基础题. 2．（2026·广东佛山·二模）（多选）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答. 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ，而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为，. 故选：AD 3．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，且不同时为，利用空间向量法可得出，即可得出的最大值. 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，且不同时为， 则、、，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，则， 显然为平面的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以，即，得， 所以，所以当时，取得最大值，最大值为 故答案为：. 4．（2026·江苏·模拟预测）在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见下详解 (2) 【分析】（1）先证平面，再证平面，最后证出平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，分别求出平面和平面法向量，表示出向量夹角余弦的绝对值，求出点坐标，再根据向量夹角求出的值即可. 【详解】（1）证明：连接，由四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由正方形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，， 设为平面法向量，则，则， 取，则，所以， 易知平面，即平面，所以为其法向量， 所以，解得或（舍）， 所以点为，则，， 所以. 【基础题型七 共面直线夹角的向量求法】 【例7】（24-25高二上·山东聊城·阶段检测）如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，折纸后的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，借助直线方向向量的夹角公式即可求解； 【详解】折起后的图形如下所示， 连接，，则，； 又平面平面，平面平面；平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，，，，，，，， ；，. 故选：B 1．（24-25高二下·浙江绍兴·期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，    则，，， 设(0 ≤ λ ≤ 1)得：， ， ， 由， ∴，则. 故选：C. 2．（2025·全国·模拟预测）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为1，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可设，从而得到，，再根据向量的夹角公式即可求出，求函数值域即可． 【详解】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有． 设，则，， 所以． 又因为，所以． 故选：A． 3．（25-26高二上·海南三亚·阶段检测）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________， 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则， ， 所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图所示，正方体，求下列各组向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与. 【答案】(1)45° (2)135° (3)90° (4) 【分析】（1）在正方体中，与的夹角等价于与的夹角，由正方体的性质，即可得答案. （2）与的夹角等价于与夹角的补角，分析即可得答案. （3）由正方体的性质得，分析即可得答案. （4）根据相反向量，分析即可得答案. 【详解】（1）在正方体中，因为， 所以与的夹角等价于与的夹角,即为， 再由正方体性质得夹角为，即与夹角为； （2）因为与互为相反向量， 所以与的夹角等价于与夹角的补角， 所以与夹角为； （3）由正方体性质得，平面， 所以，所以与的夹角为； （4）由正方体性质得，与互为相反向量， 所以与夹角为. 【基础题型八 点到平面距离的向量求法】 【例8】（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 1．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 4．（2026高二·全国·专题练习）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离； 【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以， 因为平面，所以直线平面． (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，即可证明； （2）利用点到面的距离向量求法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 又因为，所以直线到平面的距离为． 【基础题型九 平行平面距离的向量求法】 【例9】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为 B．是平面的一个法向量 C．直线到平面的距离为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ABD 【分析】对A，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出；对B，说明平面即可；对C，等价于点到直线的距离；对D，根据向量关系可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，    则， 所以，，设异面直线AC与所成的角为， 则，因为，所以，故A正确； 在正方体中，平面，平面， 所以，又，，，， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确； 因为平面，所以直线平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到直线的距离，为，故C错误； 设平面的一个法向量， 则，即，所以， 则平面与平面间的距离，故D正确． 故选：ABD． 3．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 【基础题型十 点到直线距离的向量求法】 【例10】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 2．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）空间内有四点，则（    ） A．点到直线EF的距离为 B．点到直线EF的距离为 C．点到平面EFN的距离为 D．点到平面EFN的距离为 【答案】AD 【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线、点到平面的距离. 【详解】因为，所以EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点到直线EF的距离为． 设平面EFN的法向量为，因为， 所以令，得． 因为， 所以点到平面EFN的距离为． 故选:AD. 3．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知点、，直线过点且一个方向向量为，则点到的距离为___________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可得，且直线过点且一个方向向量为， 所以点到的距离为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【基础题型十一 异面直线距离的向量求法】 【例11】（24-25高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 1．（24-25高二上·辽宁大连·期中）在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 3．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）如图，四边形，都是正方形，，.分别是线段，上的动点，且则的最小值是______.    【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，设，用表示出点的坐标，将表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，，，， 则，. 设，则，所以. 因为，所以，所以，则， 故. 因为，所以，即的最小值是. 故答案为：    4．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以．                     在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．                    在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为．                     方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以．                         设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则．                       所以异面直线AB与PC间的距离． （2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则，                        设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                  设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                           设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则，                     所以二面角的余弦值为． 【提高题型一 已知相关夹角求其他量】 【例1】（24-25高二下·上海闵行·阶段检测）如图所示，钟楼的主体结构可以看做一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系，设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，考察到这个时间段，根据两向量的夹角公式，得到，即可求解． 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面、内的钟的分针的针点的位置分别为、， 设，其中， 则，， 由已知可得，则， 因为，故的取值为、、、， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为， 故选：B． 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·河北石家庄·期中）（多选）给出下列命题，其中不正确的命题是（    ） A．向量，，共面，即它们所在的直线共面 B．若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角. D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50° 【答案】ACD 【分析】根据共面向量定理的定义可判断A,B正误；举特例可判断C；由线面角的定义可判断D. 【详解】对于A，向量量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确； 对于B，假设不是空间向量的一个基底， 所以， 因为是空间向量的一个基底， 所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对于C，当时，向量，， ， 此时所成角为，则不为钝角，故C不正确； 对于D，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于， 所以直线与平面所成的角等于，故D不正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·吉林·期中）在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，    因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点的轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点的轨迹长度. 故答案为： 4．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，直三棱柱中，，为棱的中点，，，为棱上一点． (1)求证：平面平面； (2)是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由直三棱柱得四边形为矩形，由题意，， 因此，．由勾股定理的逆定理得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，结合条件，由线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱得，因为， ，，平面， 所以平面．因为平面， 所以，又由直三棱柱得，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图， 由题意，，，，，． 设（），可得． 因此，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以， 因此直线与平面夹角的正弦值为， 解得，即为中点，所以， 因此，存在点满足题意，此时． 【提高题型二 空间向量距离的向量求法】 【例2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， 所以点C到平面的距离为， 故选：D. 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，.    设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离.   ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：BC 3．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 【答案】 【分析】如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据点到直线的空间向量距离公式求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 所以点到直线的距离为； 1．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．（2026高三·全国·专题练习）正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将用坐标表示，再计算出面的法向量，最后根据平面与直线所成角的正弦值公式计算出结果 【详解】设正方体的边长为2，并以为z轴的正方向，以为x轴的正方向, 以为y轴的正方向，则， 因此，，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，即，设直线与平面所成角为， 则.    3．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，，应用向量数量积的运算律及已知求及其模长，再求出它们的夹角余弦值，即可得. 【详解】由题意，令，且，， 所以 ， 由四边形，均为矩形，则，且， 所以，则二面角的平面角， 所以，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 4．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 5．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 6．（2025·云南楚雄·一模）（多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使 B．存在点，使点到直线的距离为 C．存在点，使直线与所成角的余弦值为 D．存在点，使点，到平面的距离之和为3 【答案】AB 【分析】连接，应用勾股定理求的范围判断A；利用等面积法有即可判断B；构建空间直角坐标系，设，，应用向量法表示线线角余弦值，列方程求参数即可判断C；在平面中，过，分别作，，垂足为，，由即可求最大值判断D. 【详解】连接，则，故A正确； 点到直线的距离，故B正确； 以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，则，， 假设存在点，使直线与所成角的余弦值为， 则， 整理得，解得，故C错误； 在平面中，过，分别作，，垂足为，， 则点，到平面的距离之和为． 设，则， 当点与重合时，点，到平面的距离之和最大， 所以不存在点，使点，到平面的距离之和为3，故D错误． 故选：AB 7．（25-26高一下·陕西西安·期中）（多选）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 【答案】BCD 【详解】设正方体棱长为，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为： . A：，若两直线平行，则，即，方程组无解，直线与不平行，A错. B：平面，交平面于点，点不在直线上，所以与是异面直线，B对. C：因为平面是底面，所以易得平面的法向量；设平面法向量，，， 取，得，设平面与平面所成角为，，C对. D：，，所以，一组平行线确定一个平面，故四点共面，D对. 8．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．对于任意点，到的距离的取值范围为 D．对于任意点，都不是锐角三角形 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，表达出，，可判断A和B；写出到的距离的表达式可判断C；求出，两个向量的夹角的余弦值表达式，即可得出的形状可判断D. 【详解】由题意，在正方体中，棱长为1，是棱上的动点， 建立空间直角坐标系如图所示，    所以，，，， ，，，， 设，其中， 所以，， 对于A，当，即，所以，方程组无解， 所以不存在使得，即不存在点，使得，故A错误； 对于B，当时，解得，即当点与点重合时，故B正确； 对于C，因为， 所以点到的距离为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故D正确. 故选：BCD. 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 10．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先求出向量，结合直线方向向量，利用向量运算求出点到直线的最小距离，直线外一点到直线上任意点的距离不小于该最小距离，据此判断选项即可得. 【详解】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 11．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    12．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 13．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 15．（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则， 设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， 故答案为：． 16．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 由为的中点，得， 所以，， 所以， 故异面直线与夹角的余弦值为. （2）由（1）得，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（24-25高二下·云南临沧·阶段检测）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键直线的向量，再利用线线角，线面角，面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，且在正四棱柱中，所以， 则． 由题意得， 则， 异面直线与所成角的余弦值为； （2）由题意知， 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则，可取， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）在正四棱柱中，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 平面与平面所成角的余弦值为， 而，得到， 则由同角三角函数的基本关系得， 平面与平面所成角的正弦值为． 18．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）由题意有，再由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，构建合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意，正方形的边长为，则， 在中，，， 因为，所以， 在中，设为与的交点，则， 所以，故是等边三角形，， 由（1）知平面平面，且交线为，过作于， 而平面，则平面 ， 在中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为在上，且，所以， 因为底面且，可得， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 平面的法向量，，， 所以，取，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 19．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【详解】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 20．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $