25.3 实际问题与一元二次方程 数学活动 一元二次方程的探究 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的探究，课堂导入通过“已知两根和与积构造方程”及“实际问题抽象方程”的提问，连接已学解法与实际应用，搭建从知识到应用的学习支架。 特色在于以活动探究法和合作学习法为主，通过任务驱动（设计方程、解决面积问题等）培养数学眼光（抽象实际问题）、数学思维（解法选择逻辑）和数学语言（小组展示自编问题），如矩形面积问题体现模型意识，提升学生探究能力与合作表达，为教师提供结构化教学流程，便于高效实施。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 数学活动 一元二次方程的探究 课 型 新授课 教学 目标 1.通过探究活动，综合运用一元二次方程的解法解决开放性问题。 2.经历“提出问题—分析问题—解决问题”的完整过程。 3.培养合作探究和语言表达能力。 重点 综合运用一元二次方程的知识解决探究性问题。 难点 将实际问题抽象为方程模型并求解、检验。 教学 方法 活动探究法、合作学习法、展示交流法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：如果已知两根之和与两根之积，能确定这个一元二次方程吗？请设计一个方程。 2.互动提问：有哪些实际问题可以抽象为一元二次方程？ 任务驱学 任务1：设计方程：已知两根为2和-3，写出方程x²-(2-3)x+2×(-3)=0，即x²+x-6=0。 任务2：选一个实际问题（面积、利润、传播等），列出方程并求解。 任务3：小组交流：比较不同解法，总结何时选择哪种方法。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 由根构造方程：若x₁、x₂是方程两根，则方程为x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0。 探究2 解法选择：直接开平方法（形如平方=常数）；配方法（一般可化）；公式法（通用）；因式分解法（可分解时最快）。 探究3 实际检验：解出的根是否符合题意（正数、范围等）。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 写出一个两根分别为3和-1的一元二次方程。 （x²-(3+(-1))x+3×(-1)=0，即x²-2x-3=0） 例2 已知方程x²-5x+6=0，用两种方法解，并验证两根之和与积。 （因式分解(x-2)(x-3)=0，x=2或x=3；公式法同结果；x₁+x₂=5=-，x₁x₂=6=） 例3 某小组设计：矩形场地的长比宽多2m，面积120m²，求尺寸。 （设宽xm，x(x+2)=120，x²+2x-120=0，(x+12)(x-10)=0，x=10（舍-12），宽10m、长12m） 方法归纳：构造方程看系数；选择解法看形式；检验根看实际。 变式训练 变式1 写出一个两根都是正数的方程：____。 （如x²-3x+2=0，x=1或x=2） 变式2 方程x²-4x+k=0的两根相等，求k及两根。 （Δ=16-4k=0，k=4，x₁=x₂=2） 二次备课 展示交流，深化理解 各小组展示自编问题及解答；组间互评；教师点评方法与规范。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：两根为1和-2的一元二次方程为____。 2.填空：方程x²-6x+9=0的解为____。 3.一个数的平方比它的2倍大3，求这个数。 【参考答案】1.x²+x-2=0；2.x₁=x₂=3；3.设数为x，x²=2x+3，x²-2x-3=0，x=3或x=-1 反馈订正：第1题用x²-(和)x+积=0；第3题注意两个解都要写。 拓展提升 巩固1 写出一个常数项为-6、两根互为相反数的一元二次方程。 （x²-6=0，x=±） 巩固2 已知方程x²+mx-12=0的一根为4，求m及另一根。 （4x₂=-12，x₂=-3，m=-(4-3)=-1） 反馈订正 互批；对构造方程不熟练的学生，用“先定和与积再写方程”步骤指导。 二次备课 课 堂 小 结 1.由根构造方程。 2.解法选择。 3.实际检验。 课后 作业 1.必做：完成活动报告：自编一道应用题并解答。 2.选做：探究“两个连续整数的积为42”的问题。 板 书 设 计 数学活动 一元二次方程的探究 一、构造方程 二、解法选择 三、检验应用 课 后 反 思 教学反思 1.活动课调动了学生主动性。 2.开放性问题培养了创新意识。 3.小组合作效果好。 4.需控制活动时间，保证交流充分。 学科网（北京）股份有限公司 $