25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为单循环与双循环模型。通过足球联赛赛制对比导入，承接传播、变化率问题，延伸至握手、球赛、多边形对角线等组合计数场景，构建完整的应用题模型体系。 资料特色在于以生活情境为载体，引导学生从球赛抽象出单双循环公式，类比迁移至握手、线段计数等问题，培养数学建模与推理意识。强调根的整数性检验，结合分层练习与特色作业，提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与实践素材。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时   一、教材分析 本节课是人教版一元二次方程的实际应用拓展课，承接前面传播问题、变化率问题，将一元二次方程应用延伸至握手、球赛、多边形对角线问题. 它既是前面建模思想的巩固落地，也为后续二次函数实际问题打下基础. 球赛、握手模型是初中数学经典组合计数模型，帮助学生区分单循环n(n–1)、双循环n(n–1)两类公式，完善一元二次方程应用题模型体系，培养学生数学建模核心素养，体现数学来源于生活又服务于生活的课程理念. 教材先回顾单循环排球邀请赛旧知，复习列一元二次方程解题步骤；接着探究2引出双循环比赛问题，列出方程后求方程的解，判断解是否为整数，体会根要符合实际意义；最后设置握手问题、多边形对角线的配套练习，由球赛类比握手、多边形对角线，实现模型迁移，总结出先分析数量关系、列方程、结合实际取舍根的解题流程.   二、学情分析 已有基础：学生已经掌握一元二次方程的解法，学习过传染问题、平均增长率问题，初步了解利用一元二次方程解决实际问题的步骤；在小学阶段接触过简单搭配问题，能够理解两两组合的现实情境，会设未知数建立方程，明白实际问题中要舍去负根，具备一定的列式计算基础. 存在困难：学生极易混淆单循环和双循环问题的公式，分不清什么时候乘；判断根是否符合条件时，只会舍去负数，想不到还要判断解是否为整数；多边形对角线公式推导抽象，学生很难把球赛模型迁移到几何问题当中，建模迁移能力薄弱. 认知特点：九年级学生具备一定的逻辑推理能力，喜欢生活情境类题目，但思维依旧偏向具象化，抽象概括能力不足；对生活化的球赛、握手情景兴趣浓厚，但容易机械背诵公式，缺少推导公式的意识，做题生搬硬套，忽略对题意的分析；辩证判断问题的能力不足，需要教师引导辨析整数根的现实要求.   三、教学目标 1.掌握单循环、双循环问题等量关系，会列一元二次方程求解握手、球赛类实际问题. 2.辨析单循环与双循环模型，结合实际情境判断方程的解是否为符合题意的整数解. 3.经历分析题意、推导公式、类比迁移的过程，提升数学建模和归纳推理的能力. 4.体会数学模型的通用性，养成严谨审题、结合现实取舍结果的良好做题习惯.   四、教学重难点 重点：掌握单循环、双循环问题等量关系，会列一元二次方程求解握手、球赛类实际问题. 难点：辨析单循环与双循环模型，结合实际情境判断方程的解是否为符合题意的整数解.   五、教学过程 · 情景导入 足球联赛中，单循环赛制要求每两支球队仅交手1次，而主客场双循环赛制则规定每两队需在双方主场各赛一场，即共进行2场比赛.不同赛制下，比赛总场数与参赛球队数量之间存在着截然不同的数学关系. 今天，我们将透过赛事组织这一生活场景，深入探究单循环与双循环赛制背后的数量奥秘，感受数学在体育领域的巧妙应用. 师生活动：教师出示足球联赛实例，引导学生观察图片分析单循环赛制；学生独立思考对比单循环、双循环的区别，小组交流两队之间比赛次数，初步感知两种模型的数量关系. 设计意图：借助学生熟悉的足球赛事创设情境，激发学习兴趣，区分两种赛制；引导学生从实际问题抽象数学模型，为后续推导公式、列一元二次方程做好铺垫. · 探究新知 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 问题1： 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 师生活动：教师抛出排球邀请赛问题，学生先算出总比赛场数，自主分析每支球队参赛情况；教师点拨重复计数问题，学生列出一元二次方程，解方程后结合实际舍去负根. 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队需要和其他(x-1)支球队各赛一场， 根据题意可列得方程：x(x-1)=28 甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场. 整理并化简，得： x2-x-56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2=-7(不合题意，舍去) 因此，组织者应邀请 8 支球队参赛. 设计意图：借助球赛实例推导单循环公式n(n–1)，掌握列方程解题步骤，体会实际问题中根要符合现实意义，落实数学建模思想. 问题2：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手次． 若参加聚会的人数为人，则共握手          次；若参加聚会的人数为人，则共握手          次； 师生活动：学生先计算握手次数，自主归纳握手问题公式；接着独立列方程求解人数；教师适时引导学生类比握手模型推导线段总数，小组交流模型相通之处，最后进行总结. 答：3；10 注意：握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2. 结论：若参加聚会的人数为为正整数人，则共握手            次. 答： 问题3：若参加聚会的人共握手次，求出参加聚会的人数. 建立方程：n个人两两握手，总握手次数为 根据题意列方程，得. 解方程：整理，得， 解得，（不合题意，舍去）. 结论：参加聚会的人数为8人. 问题4：嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点不含端点，，则线段总数为多少呢？用含的式子表示 思路：线段上共有个点(不含端点，)， 总共有 个点(包含点，) 可当成共有个人握手， 线段总数为. 总结：常见的单循环问题(记数不重复)如下： 设计意图：由球赛迁移至握手、线段计数问题，让学生感悟模型通用性，熟练运用单循环公式列方程求解，提升类比迁移与数学建模能力. 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 问题5：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 师生活动：教师出示主客场比赛问题，学生对比单循环自主推出双循环公式；学生列出方程求解，教师点拨：实际问题中解不仅为正数还得是整数，最后师生共同归纳双循环适用场景. 双循环比赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如A作为主场和B比赛后，B也要作为主场和A比赛一次，共发生两次事件. 如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 由总场数为n(n–1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20， ...， 240， 272，306， .... 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么 n(n–1)=300. 解方程，得 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 结论：因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 总结：常见的双循环问题(记数重复)如下： 设计意图：区分单、双循环模型，巩固一元二次方程解法；让学生明白方程解需要符合现实条件，培养严谨求实的数学思维. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：学生独立完成两道例题，区分双循环、单循环模型列式求解；例2第(2)问学生发表看法，教师讲解思路，学生订正解题过程. 例1 某交流群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，则该群一共有多少人？ 解：设该群一共有人．依题意，得， 解得，舍去． 答：该群一共有人． 例2 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，计划安排场比赛． 应该邀请多少支球队参加比赛？ 若某支球队参加场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 分析：设应该邀请支球队参加比赛，根据实行单循环赛制共赛了场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 解：设应该邀请支球队参加比赛， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：应该邀请支球队参加比赛． 场． 答：实际共比赛场．  设计意图：借助生活实例巩固两类模型；拓展变式习题锻炼学生审题能力，让学生懂得结合实际情境分析问题，完善一元二次方程建模解题思路. · 课堂练习 【教材练习】 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 2.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则其对角线有 条. 当 = 20 时，解得 n1=8，n2= −5（不合题意，舍去）； 当 = 18 时，解得 n = . 由于153不是完全平方数，所以n不可能为整数，所以不存在. 答：有20条对角线的凸多边形是八边形，不存在有18 条对角线的多边形. 师生活动：学生独立完成练习题，写完后同桌互相核对答案；教师巡视查看学生做题情况，请学生上台展示解题过程，并强调方程解必须是正整数，师生共同纠错点评. 设计意图：通过握手、多边形对角线习题，迁移巩固单循环模型，熟练列一元二次方程解题，强化检验解的合理性，提升知识迁移应用能力. 【限时训练】 1.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了场比赛，设该小组有支球队，则可列方程为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设该小组有支球队，则共有场比赛， 由题意得：， 故选：． 2.毕业典礼后，九年级班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共张，九年级班人数为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设九年级班人数是人， 则根据题意可列方程为：， 解得：，舍去． 故选：． 3.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排场比赛，九年级班级的个数为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设九年级班级的数量为个， 则根据题意可列方程为：， 解得：，舍去． 故选：． 4.一个多边形有条对角线，则这个多边形有条边 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设多边形有条边，则， 解得，舍去， 故多边形的边数为． 故选A． 5.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司互相之间都要签订合同一式两份，会议结束后统计共签订了份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？ 【答案】解：设有家公司出席了这次交易会， 根据题意，  得  解得，舍去  答：有家公司出席了这次交易会．   师生活动：学生独立完成当堂检测题，完成后学生汇报答案；教师针对易错题目，引导学生辨析单循环、双循环模型，总结判断方法，对出错同学进行针对性点拨. 设计意图：通过分层练习题巩固本节课知识，辨析两类模型，查漏补缺；训练学生提取题干关键条件，熟练运用一元二次方程解决实际问题的数学能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.单循环和双循环模型公式是什么？ 3.解决单循环和双循环类的实际问题时的解题步骤是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：寻找生活中的两两组合模型 任务：1.留心生活场景，找出2个类似球赛、握手的实例，一个单循环场景，一个双循环场景. 2.设未知数列出一元二次方程，自主求解，判断解是否为整数. 3.写出对应场景的公式推导过程. 要求：1.手写完成，清晰写出题干、方程、求解步骤. 2.简要写出你的感悟，说一说为什么实际问题里方程的解必须是正整数，体会数学严谨性，字数控制合理. 学科网（北京）股份有限公司 $