25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）——销售与方案设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“销售与方案设计”，通过商品销售情境（进价40元，售价50元时销量变化）导入，引导学生从总利润公式出发，建立售价、销量与利润的关系，衔接一元二次方程解法，搭建知识应用桥梁。 特色在于情境驱动与模型建构结合，采用任务驱学（设未知数、列方程）和激思展学（例1、变式训练），培养抽象能力（符号意识）和模型意识。如“Δ<0无解”的实际意义分析，发展推理意识，帮助学生理解数学与现实的联系，提升教师教学效率，夯实应用能力基础。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时）——销售与方案设计 课 型 新授课 教学 目标 1.会用一元二次方程解决商品销售中的利润问题（销量随价格变化）。 2.能进行简单的方案设计与决策，比较不同方案。 3.发展分析问题和解决实际问题的能力，体会数学的应用价值。 重点 用一元二次方程解决销售利润与方案设计问题。 难点 正确建立“售价变化→销量变化→总利润”的等量关系。 教学 方法 情境驱动法、方程建模法、决策分析法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：某商品进价40元，售价50元时每天卖20件；每涨价1元，每天少卖2件。提问“涨价多少元时每天利润为600元？” 2.互动提问：总利润=单件利润×销量，两个量都随涨价变化，怎么表示？ 任务驱学 任务1：设涨价x元，则售价(50+x)元，单件利润(50+x-40)=(10+x)元，销量(20-2x)件。 任务2：列方程(10+x)(20-2x)=600。 任务3：解方程并检验x的范围（0≤x≤10）。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 利润模型：总利润=单件利润×销量；单件利润=售价-进价。 探究2 变化关系：每涨价m元，销量减少n件，则涨价x元时销量减少件。 探究3 方案设计：解出多个方案时，还要考虑是否有限价、是否需促销等其他条件，综合选择。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 某商品进价40元，售价50元时每天卖20件，每涨价1元每天少卖2件。涨价多少元时每天利润600元？ （设涨价x元，(10+x)(20-2x)=600，化简x²-5x-200=0，解得x=20或x=-10（舍）。涨价20元） 例2 某商店进价为每件40元的衬衫，售价每件60元，每周卖300件；每降价1元每周多卖20件。当周利润为6480元时，每件应降价多少元？ （设降价x元，单件利润(20-x)，销量(300+20x)，(20-x)(300+20x)=6480，得x²-5x-6=0，x=6或x=-1（舍），降价6元） 方法归纳：用“单件利润×销量=总利润”建立方程；解出后检验实际意义。 变式训练 变式1 某商品售价每件100元，每星期卖出200件；每降价1元多卖20件，进价60元。售价定为多少时每星期利润2160元？ （设降价x元，(40-x)(200+20x)=2160，x²-30x+108=0，x=6或x=24，售价94元或76元） 变式2 某果园有100棵橙子树，每棵树结600个橙子；多种一棵，每棵少结5个。种多少棵时橙子总数为60000个？ （设多种x棵，(100+x)(600-5x)=60000，得x²-20x=0，x=0或x=20，种120棵） 二次备课 展示交流，深化理解 学生板演建立利润方程；小组讨论“两个方案如何取舍”；教师总结实际问题的“经济意义检验”。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：总利润=____×____。 2.填空：进价30元，售价40元，销量100件；每涨1元少卖5件。涨价x元后单件利润为____元，销量为____件。 3.某商品每件进价50元，售价60元时每天卖80件；每涨价1元少卖4件。要使每天利润为1500元，应涨价多少元？ 【参考答案】1.单件利润；销量；2.(10+x)；(100-5x)；3.设涨价x元，(10+x)(80-4x)=1500，得x²-10x+175=0，Δ=100-700<0无解，说明无法达到1500元 反馈订正：第3题Δ<0说明利润达不到1500元，体会“方程无解”的实际意义。 拓展提升 巩固1 某商品进价每件50元，售价每件70元，每天卖40件；每降1元多卖5件。要使每天利润为1280元，应降价多少元？ （设降x元，(20-x)(40+5x)=1280，x²-12x+96=0，Δ=144-384<0无解，不能达到） 巩固2 某商店某种商品每件进价30元，售价45元时每天卖50件；每降1元多卖10件。问降价多少元时每天利润最高？ （利润y=(15-x)(50+10x)，求最大值在x=5时，降价5元） 反馈订正 互批；对“Δ<0无解”理解困难的学生，结合图象说明利润有最大值。 二次备课 课 堂 小 结 1.总利润=单件利润×销量。 2.建立方程求解。 3.检验与决策。 课后 作业 1.必做：课本25.3练习第3题；习题25.3第6题。 2.选做：设计一种促销方案使商店利润达到某一目标。 板 书 设 计 25.3 销售与方案 一、利润=单件利润×销量 二、涨价/降价模型 三、检验决策 课 后 反 思 教学反思 1.销售问题贴近生活，学生有代入感。 2.建立“单件利润×销量”模型是关键。 3.Δ<0的实际意义是难点，结合图象突破。 4.为二次函数最值问题作铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $