25.2.2 公式法解一元二次方程教学设计2026－2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，通过回顾配方法步骤，提出“重复步骤繁琐能否推导通用公式”的问题，搭建从具体配方法到一般求根公式的学习支架，衔接旧知与新知。 特色在于引导学生从一元二次方程一般式自主推导求根公式，通过“开平方的前提条件”等分层问题和小组讨论理解判别式意义，体现逻辑推理与数学抽象素养。采用引导探究式教学，规范“化一般式—算判别式—代入公式”步骤，分层练习提升运算能力，帮助学生建立严谨思维，为教师提供清晰教学流程和多元评价体系。

25.2.2 公式法解一元二次方程 教学设计 2026－2027学年人教版数学九年级上册 教材分析 《公式法解一元二次方程》是人教版九年级上册第二十五章第二节的内容，是在学生已经掌握一元二次方程的概念、开平方法和配方法的基础上，对一元二次方程解法的进一步拓展和优化。本节课通过配方法推导求根公式，将解方程的过程标准化、公式化，为后续学习二次函数、一元二次不等式等内容奠定运算基础，同时体现了数学中从特殊到一般、化繁为简的思想，具有承上启下的重要地位。 学情分析 九年级学生已经具备一定的代数运算能力和逻辑推理能力，能够熟练运用配方法解一元二次方程，但对重复的配方步骤容易产生厌烦情绪，对简化运算流程有较强的需求。学生对“通用公式”的探索有较高兴趣，但在推导过程中容易出现符号错误、对判别式的意义理解不到位等问题，需要教师通过分层引导、逐步拆解的方式帮助学生突破难点。 教学目标 数学抽象素养目标：经历从具体配方法步骤到一般求根公式的抽象过程，理解一元二次方程求根公式的普适性意义，掌握判别式与方程根的对应关系，能从具体方程中抽象出系数的符号特征，建立“一般形式—系数特征—根的情况”的关联思维。 逻辑推理素养目标：通过配方法推导求根公式的完整过程，掌握演绎推理的基本规范，理解每一步变形的等价性原理，能独立完成从一般式到求根公式的推导，提升归纳概括和严谨论证的能力，体会从特殊到一般、转化化归的数学思想。 运算能力素养目标：能熟练运用求根公式求解一元二次方程，掌握“化一般式—算判别式—代入公式—写出根”的规范解题步骤，养成先判断判别式符号再求解的运算习惯，提升运算的准确性和效率，形成严谨细致的运算思维。 数学建模素养目标：能将实际问题转化为一元二次方程模型，运用公式法求解实际问题中的未知量，理解求根公式作为通用工具的应用价值，体会数学知识与现实问题的内在联系，提升用数学方法解决实际问题的能力。 教学重难点 教学重点：求根公式的推导过程，公式法解一元二次方程的步骤，判别式的应用。 教学难点：求根公式推导过程中配方法的规范应用，对判别式取值意义的理解，公式运用中符号的准确处理。 教学方法 采用“引导探究式”教学法，结合问题驱动、小组合作、讲练结合的方式：通过问题串引导学生自主推导求根公式，组织小组讨论突破判别式难点，通过分层练习巩固公式应用，同时借助板书和多媒体演示清晰呈现推导步骤，帮助学生建立完整的知识体系。 课时安排 本节课共安排1课时（45分钟），课前需准备：1. 学生回顾配方法解一元二次方程的基本步骤，完成2道配方法解方程的预习作业；2. 教师准备多媒体课件、推导过程板书模板、分层练习习题单。 教学过程 （一）导入环节（5分钟）：教师提出问题“用配方法解一元二次方程每次都要重复相同步骤，有没有更简便的方法？”，引导学生回顾配方法步骤，激发学生对通用公式的探究兴趣，引出本节课主题。 （二）探究新知环节（20分钟）：教师引导学生以一元二次方程一般式为对象，逐步完成配方法推导，过程中设置分层问题：“二次项系数化为1需要注意什么？”“配方时两边加的常数怎么确定？”“开平方的前提条件是什么？”，组织学生小组讨论判别式的意义，共同推导得出求根公式，梳理推导过程中的逻辑关系。 （三）例题应用环节（15分钟）：教师演示规范例题解题步骤，强调“先化一般式、先算判别式、注意系数符号”三个注意点，组织学生完成2道基础练习题和1道拓展练习题，巡视指导学生的解题过程，针对普遍错误进行集中讲解。 （四）课堂小结环节（5分钟）：引导学生梳理本节课的核心知识点：求根公式的推导过程、公式法解题步骤、判别式的应用，总结从特殊到一般的数学思想，梳理知识之间的内在联系。 核心素养 逻辑推理、数学抽象、运算能力、数学建模 数学思想与方法 数学思想：从特殊到一般思想、转化思想 数学方法：公式法、配方法、演绎推理法 （一）导入：从配方法到通用公式 上课，同学们好，请坐！ 上节课我们学习了配方法，大家还记得解题步骤吗？没错，移项、配方、开方、求解。配方法可以解一元二次方程，但每次都重复步骤比较繁琐，能不能推导出一个通用公式，直接代入求解呢？今天我们就一起探究——公式法解一元二次方程。 （二）探究新知：公式的推导 我们以一元二次方程的一般形式为例，用配方法逐步推导。 第一步， 移项：； 第二步， 二次项系数化为1：； 第三步， 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即 第四步， 整理：左边化为完全平方式，右边通分得到 这里要注意，右边式子必须非负，即，才能开平方。最终推导出求根公式：。 这个公式适用于所有有实数根的一元二次方程，是解题的万能公式。 （三）例题应用 　例　：解方程。 第一步， 确定系数：； 第二步， 计算判别式：， 方程有两个不相等的实数根； 第三步， 代入公式：。 解题时要注意符号，先算判别式，再代入公式，保证计算准确。 （四）课堂小结 本节课我们从配方法推导出求根公式，掌握了公式法解方程的步骤，体会了从特殊到一般的数学规律，提升了逻辑推理和运算能力。 板书设计 公式法解一元二次方程 （一）求根公式 （二）解题步骤 1. 化一般式，确定 2. 算判别式 3. 代入求根公式 4. 写出方程的根 （三）例题 （五） 作业设计 基础巩固层：完成教材课后习题第1－3题，运用公式法解6道不同类型的一元二次方程，要求写出完整解题步骤，正确率达到90％以上。 能力提升层：完成2道含参数的一元二次方程判别式应用习题，能根据方程根的情况确定参数的取值范围，提升综合应用能力。 拓展探究层：尝试用求根公式推导一元二次方程根与系数的关系，为下节课学习韦达定理做铺垫，鼓励学有余力的学生自主探究。 教学评价 过程性评价：通过课堂提问、小组讨论参与度、板演练习情况对学生的学习过程进行评价，重点关注学生的推导逻辑是否严谨、运算步骤是否规范，及时给予反馈和指导。 结果性评价：通过课后作业的完成情况、单元测试中相关知识点的得分情况评价学生的知识掌握程度，针对未达标的学生进行个性化辅导，确保人人掌握公式法的基本应用。 素养达成评价：设置素养评价量表，从数学抽象、逻辑推理、运算能力、数学建模四个维度评价学生的素养达成情况，重点关注学生是否能独立完成公式推导、是否能灵活运用公式解决实际问题。 — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $