25.2.3 解一元二次方程：因式分解（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的因式分解法与换元法，系统讲解因式分解法的零乘积原理、四步解题口诀及提公因式等四种分解工具，换元法的整体代换思想、五步解题步骤，搭建从基础原理到复杂应用的学习支架。 资料通过“原理-步骤-易错点-题型”四维设计，设置几何综合（如三角形周长计算）、换元化简等题型，培养学生抽象能力与推理意识。课中例题与对点练结合提升教学效率，课后分层练习（基础通关、素养提升）助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解 课标要点 1. 理解因式分解法解一元二次方程的原理：若A⋅B=0，则A=0或B=0，会把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； 2. 掌握因式分解法的常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法； 3. 掌握换元法思想，把复杂的高次 / 重复结构方程，通过换元转化为一元二次方程，求解后回代求出原方程的根，会检验根。 学习重难点 重点： 1. 因式分解法解题步骤：移项使方程右边 = 0；将左边因式分解；令每个因式等于 0；解两个一元一次方程得到原方程的根； 2. 识别适合换元法的方程特征：方程含有重复相同整体，设新元替换重复整体，降次变为一元二次方程； 3. 换元求解之后必须回代，求出原未知数的解。 难点： 1. 用因式分解法解方程，不移项化为右边= 0，直接拆分等式两边因式，出现丢根； 2. 因式分解不彻底，十字相乘符号出错； 3. 换元法只解出新元，忘记回代求原未知数； 4. 换元设元之后，没有舍去新元不符合取值的解； 5. 分不清什么时候适合因式分解法，盲目套公式法，增加计算量。 知识点 解一元二次方程-因式分解 一、原理 零乘积性质：如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0。 即：若A·B=0，则A=0或B=0。 因式分解法的核心思想：降次，把一元二次方程，转化为两个一元一次方程求解。 注意：“或”表示二者至少一个成立，不是同时成立。 二、适合用因式分解法的方程特点 1.方程移项后，左边可以因式分解，右边等于0； 2.优先顺序：能因式分解优先用因式分解法，计算比公式法、配方法简单； 3.常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘法。 四个分解工具 1.提公因式：ax+bx =x(a+b) 2.平方差：a²-b²=(a+b)(a-b) 3.完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)² 4.十字相乘：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 解题步骤 口诀：一移、二分、三令、四解 1.移项：把所有项移到左边，使方程右边=0; 2.分解：将方程左边因式分解，写成两个整式相乘； 3.令因式为0：令每一个因式分别等于0,得到两个一元一次方程； 4.求解：解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 随学随练 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方程的两个根． 先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：， 解得，， 若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立； 若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：21． 3．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； （2）解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 知识点 解一元二次方程--换元法 一、概念与核心思想 换元法(也叫整体代换法) 把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，用一个新的未知数去替换这个整体，把复杂方程降次，转化成我们熟悉的一元二次方程求解。 核心：降次、简化结构。 换元法本身不是专门解标准一元二次方程，主要用来解“可化为一元二次方程”的高次方程、复合方程。 二、方程识别(什么样的题用换元) 特征：同一个代数式反复多次出现。 典型例子： ①(x²+x)²-4(x²+x)-12=0，重复整体：x²+x ②(x-2)²-3(x-2)-10=0，重复整体：x-2 注意：只要看到一大块式子一遍又一遍重复，优先考虑换元。 解题步骤 口诀：找整体→设新元→代换求解→回代→检验写根 1.找整体：找出方程反复出现的代数式； 2.设元：设新未知数，例如令y=重复的整体； 3.代换：把原方程全部换成关于y的方程，得到普通一元二次方程； 4.解新方程：解关于y的一元二次方程，求出y的值； 5.回代(最关键)：把求出的y代回“y=整体”的关系式，解出原来未知数x; 6.检验：把根代入原方程检验，舍去增根、无效解，写出全部根。 随学随练 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． ∴原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程等知识，理解“换元法”是解题关键，注意分式方程要进行检验．设得到，解得或，再分别代入，解方程，检验即可求解． 【详解】解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，． 拓展 一元二次方程特殊解法 给出方程①A(式子1)²+B=0的根，求结构完全相同的方程②A(式子2)²+B=0的根。 特点：二次项系数、常数项完全不变，只有括号内部代数式不一样，不用求参数、不用展开计算，常见于顶点式一元二次方程。 通用做题步骤(四步) 1.观察结构：确认两个方程除括号内整体以外，其余全部相同。 2.换元对齐：把第二个方程括号内的整体设为新元t，让方程变成和已知方程一模一样的形式。核心：令t=第二个方程括号里面那一大块，则新方程和已知方程完全相同，因此t直接等于已知方程给出的根。 3.回代列等式：把t等于已知的每一个根，分别列出关于原未知数的一次方程。 4.求解，得到最终的x。 活学活用 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个关于的方程的解是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可． 【详解】解：令， ∴整理为， ∴， ∵关于的一元二次方程的解是，， ∴的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 题型一 因式分解与几何综合 ▌例1 （25-26八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【答案】A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. ▌对点练1-1（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． ▌对点练1-2（2026·山西朔州·模拟预测）一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（     ） A．48 B．24 C．24或48 D．48或40 【答案】B 【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可． 【详解】解：解方程， 分解因式得， 解得或， ∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3， 若菱形边长为3，则，不能构成三角形，舍去； 若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为， ∴另一条对角线长为， ∴菱形面积为． ▌对点练1-3（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 题型二 已知方程的一个解求另一个解 解题步骤 1.代入已知解：把已知的解代入原方程，方程变为只含参数的一元一次方程。 2.解出参数：求解得到参数的具体数值。 3.(可选回代验证)：把求得的参数代回原方程，解方程，检验是否与已知解一致。 ▌例2（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键． 方法一：将已知根代入方程，求出参数的值，再解一元二次方程得到另一个根． 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根． 【详解】方法一： ∵是方程的一个实数解， ∴将代入方程得， 即， ∴ 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∴方程的另一个解为； 方法二： 设方程的另一个解为， ∵在一元二次方程（）中，两根之和为， 在方程中，，， ∴， ∴， 即方程的另一个解为． 故选：A． ▌对点练2-1（2026·辽宁沈阳·模拟预测）一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． ▌对点练2-2（25-26八年级下·河南漯河·期末）关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 题型三 因式分解解一元二次方程 易错点 1.等号右侧没有化为0直接分解(最高频错误) 原理是“若A·B=0，则A=0或B=0”，只有乘积等于0才能拆分。 错例：x²-3x=4，直接写成x(x-3)=4，令x=4，x-3=4。 正确：移项得x²-3x-4=0，再因式分解。 2.方程两边直接约去含有未知数的因式，丢失根 只要因式里含未知数，不能直接除。 错例：x(x-2)=3x，两边同除以x，得到x-2=3，漏掉根x=0。 正确：移项x(x-2)-3x=0，提公因式再分解。 ▌例3 （25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， ▌对点练3-1．（25-26八年级下·江西南昌·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或， 解得，． ▌对点练3-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 题型四 判断因式分解步骤是否正确并改正 ▌例4 （25-26八年级下·浙江台州·期末）某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． ▌对点练4-1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． ▌对点练4-2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 题型五 利用换元法求代数式的值 解题步骤 1.设元(换元):令重复出现的复杂代数式t=【重复的那一串式子】,把原方程转化为关于t的一元二次方程。2.解关于的一元二次方程，求出的两个候选解。 3.挖掘t本身隐藏取值范围(关键!高频坑点) ①如果是平方、完全平方：t≥0 ②如果t是算术平方根：t≥0 ③如果是分式：分母≠0 4.舍去不符合取值范围的t,留下符合条件的值，即为答案。 ▌例5（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． ▌对点练5-2．（25-26八年级上·四川眉山·期中）若实数、满足 ＝77，则＝（    ） A． B．9 C．± D． 【答案】B 【分析】先把看作一个整体，设，则原方程可化为 ，整理后解一元二次方程即可得出方程的解，进而得出答案． 【详解】解：设且 整理得： 解得：或（舍） 则： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的常用解法是解题的关键． 题型六 利用换元法化简方程 ▌例6 用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， ， ， 故选：． ▌对点练6-1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． ▌对点练6-2．（2026·上海嘉定·二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是____． 【答案】 【分析】此题主要考查了换元法解分式方程，设，则方程可转化为：，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可． 【详解】解：设， 则方程可转化为：， 去分母，方程两边同时乘以得：， 故答案为：． 题型七 换元法解一元二次方程 解题步骤 1.观察，确定换元对象 找出重复出现的相同代数式，设t=该代数式。 记下t自带取值范围：完全平方t≥0；分式t≠0；根号t≥0。 2.整体代入，转化方程 把原方程中重复部分全部替换成t,得到关于t的一元二次方程：at²+bt+c=0。 3.解关于新元t的一元二次方程 优先因式分解，其次公式法，求出t1、t2。 关键一步：根据的实际意义，舍去不符合取值范围的解。 4.回代，解原来的未知数 把有效的t代回t=【原来代数式】,得到普通方程，解出原未知数x。 5.检验 ①整式方程：代入验算； ②分式方程：必须检验分母不为0,舍去增根。 ▌例7 （25-26九年级上·河南周口·期末）（1）解方程：； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）1或． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 本题考查了解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 【详解】解：（1）， ， ， ，或， ，； （2）设，则有， ，即或， ，， 的值为1或． ▌对点练7-1．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设解关于的方程，进而即可求解． 【详解】解： 设，则原方程为 ∵, ，． ∴ ▌对点练7-2．（2026九年级下·广东茂名·竞赛）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解分式方程、完全平方公式等知识点，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 先把原方程变为，设，则，解出方程可得或，即可求解． 【详解】解：原方程变为， 设，则， 解得：或，         由 即， 解得， 由 即，此方程无解； 经检验：是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 题型八 换元法解答题综合 ▌例8 （25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 ▌对点练8-1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． ▌对点练8-2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) ，，， (2) ，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键． （1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程； （2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 基础通关 1．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 2．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 3．（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 4．（2026·河北沧州·三模）保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 5．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 6．（2026·安徽安庆·模拟预测）我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 7．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（   ）个图形共有45个小球． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：第1个图中有1个小球， 第2个图中有3个小球，， 第3个图中有6个小球，， 第4个图中有10个小球，， ．．．．．． 照此规律，第个图中有个小球， 由题意得， 解得或， ∴第9个图形共有45个小球． 8．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 9．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 10．（25-26九年级上·广东广州·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 【答案】0或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 11．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 13．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 素养提升 1．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，于点E，若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，解方程得出，（舍去），根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 根据勾股定理得：，， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 6．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 由方程左边非负可得，求出，得到，方程化为，利用非负性求出，或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 7．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 8．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 9．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 10．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积两者数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值如果相等，则点是和谐点． (1)判断点，是否为和谐点，点___________和谐点，点___________和谐点（填“是”、“不是”） (2)求出在直线上且位于第一象限的和谐点的坐标． (3)若和谐点在直线（为常数）上，求的值． 【答案】(1)不是；是 (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义，结合长方形的周长与面积公式求解； （2）设直线上且位于第一象限的和谐点的坐标为，根据象限的坐标特征列出不等式组求出的取值范围，再由定义列方程求解； （3）根据定义得到，求出，再代入直线求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点M不是和谐点，点N是和谐点； （2）解：设直线上且位于第一象限的和谐点的坐标为 ，此时 由题意得， 解得或（舍去） ∴和谐点为； （3）解：∵点是和谐点 ∴，解得 ∴点P的坐标为或 ∵点P在直线上 ∴代入得或 解得或 ∴或． 迁移创新 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方．例如，他的计算方法如下： 设（，），得，，猜想，验证成立，得． 【深入思考】 (1)江江发现把两边平方，得，设，又因为，所以， 这样就能先求的值，再求出，的值，请你把江江求，值的这个解题过程写完整． 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①     ② 【答案】(1) 把两边平方，得，设，又因为，所以， 所以， 整理得：，解得，， 当时，，， ∵，， ∴，； 当时，，， ∵，， ∴，； 综上，，或，． (2) ① ；② 【分析】（1）根据题干中的方法列出关于的一元二次方程，解方程即可； （2）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①设（，）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． ②设（）， 得，， 猜想， 验证成立， 得． 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为，，，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)已知的三边为，，（为斜边），其中，满足，求的斜边的长． (3)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ， ， ， ， ； 又 ， ， ． (2) (3)，理由如下： 过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【分析】（1）先证明，再根据，，结合三角形的面积公式推导结论即可； （2）根据勾股定理得，结合已知得到，进而解方程求得c值即可； （3）过点作交延长线于，设，在和中，利用勾股定理得到，进而化简即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， 解得，，， ， ， （负值舍去） 的斜边的长为． （3）略 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十五章 一元二次方程 25.2.3因式分解 课时目标 1.理解因式分解法解一元二次方程的原理：若AB=0,则A=0或B=0,会把一元二次方 程转化为两个一元一次方程求解： 课标要点 2.掌握因式分解法的常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法： 3.掌握换元法思想，把复杂的高次/重复结构方程，通过换元转化为一元二次方程，求 解后回代求出原方程的根，会检验根。 重点： 1.因式分解法解题步骤：移项使方程右边=0：将左边因式分解：令每个因式等于0： 解两个一元一次方程得到原方程的根： 2.识别适合换元法的方程特征：方程含有重复相同整体，设新元替换重复整体，降次变 为一元二次方程： 3.换元求解之后必须回代，求出原未知数的解。 学习重难点 难点： 1.用因式分解法解方程，不移项化为右边=0，直接拆分等式两边因式，出现丢根： 2.因式分解不彻底，十字相乘符号出错： 3.换元法只解出新元，忘记回代求原未知数： 4.换元设元之后，没有舍去新元不符合取值的解： 5.分不清什么时候适合因式分解法，盲目套公式法，增加计算量。 清主线 课时内容导图 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 原理一 若A×B=0,则A=0或B=0,二次降为一元一次 提取公因式 平方差公式 常用方法 0因式分解 完全平方公式 十字相乘 0移项：方程右边化为0 右边必须化为零，两边不能同时约掉 ②左边因式分解成两个因式相乘的形式 因式分解要彻底 因式分解 解题步骤 ③令每个因式分别为0 ④解一元一次方程，得到原方程的解 原理一 重复整体设新元，降次转化为一元二次方程 适用特征一 方程有反复出现的相同代数式整体 ②换元法 ①找出重复整体，设置新未知数 整体替换不完全，换元出错 ②代入原方程，化为一元二次方程 解题步骤 ③求出新元的解 只解出新元，忘记回代求原未知数 ④回代，求解原未知数 检验，写出原方程全部根 理新知 教材全盘梳理 知识点 解一元二次方程因式分解 一、原理 零乘积性质：如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0。 即：若AB=0,则A=0或B=0。 因式分解法的核心思想：降次，把一元二次方程，转化为两个一元一次方程求解。 二、适合用因式分解法的方程特点 1.方程移项后，左边可以因式分解，右边等于0： 2优先顺序：能因式分解优先用因式分解法，计算比公式法、配方法简单： 3常用分解手段：提公因式、平方差、完全平方公式、十字相乘法。 四个分解工具 1.提公因式：ax+bxx(a+b) 2.平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.完全平方：a2±2ab+b2-(a±b)2 4.十字相乘：x2+(p+qx+pq(x+p)x+q) 解题步骤 口诀：一移、二分、三令、四解 1移项：把所有项移到左边，使方程右边=0； 2.分解：将方程左边因式分解，写成两个整式相乘： 3.令因式为0：令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程： 4求解：解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 k随学随练 1.（25-26八年级下浙江杭州·期末)已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为-1,2，则 这个方程为(). A.x+1x-2=0 B.x-1x-2=0 C.x+1x+2=0 D.x-1川x+2=0 2.(25-26九年级上四川眉山期中)方程x2-12x+27=0的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形 的周长为 3.(25-26九年级上·新疆哈密期中)解方程： (1)2X+3=7x 2x-32+2xx-3=0 知识点 2 解一元二次方程换元法 一、概念与核心思想 换元法（也叫整体代换法）把方程中重复出现的相同代数式看成一个整体，用一个新的未知数去替换这个整 体，把复杂方程降次，转化成我们熟悉的一元二次方程求解。 核心：降次、简化结构。 换元法本身不是专门解标准一元二次方程，主要用来解“可化为一元二次方程”的高次方程、复合方程。 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、方程识别（什么样的题用换元） 特征：同一个代数式反复多次出现。 典型例子： ①(x2+x)2-4x2+x)-12=0,重复整体：x2+x ②(x-2)2-3(K-2)-10=0,重复整体：x-2 解题步骤 口决：找整体→设新元→代换求解一→回代→检验写根 1找整体：找出方程反复出现的代数式： 2设元：设新未知数，例如令y=重复的整体； 3代换：把原方程全部换成关于y的方程，得到普通一元二次方程； 4解新方程：解关于y的一元二次方程，求出y的值； 5.回代（最关键）：把求出的y代回“y=整体”的关系式，解出原来未知数x; 6检验：把根代入原方程检验，舍去增根、无效解，写出全部根。 随学随练 1.(25-26八年级下：安徽滁州-期未)已知实数a,b满足a2+2b1a+2b2-3=10则g7+2b的值为 () A.5或-2 B.-5或2 C.5 D.2 2.(25-26八年级下上海阶段检测)用换元法解方程X-1=3X-2时，设X-1=y,则原方程可化为 x x-1 关于y的方程是() A.y2+2y-3=0 B.y+2y+3=0 c.y2-2y-3=0 D.y-2y+3=0 3.（25-26九年级上江西抚州阶段检测)请阀读下面解方程X2+1?-2X+1-3=0的过程. 解：设x+1=y,则原方程可变形为y-2y-3=0. 解得y1=3,y2=-1. 当y=3时，x2+1=3,∴.x=±/2 当y=-1时，x2+1=-1,x=-2,此方程无实数解. 4/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “原方程的解为x=2x,=-2 我们将上述解方程的方法叫做换元法， 请用换元法解方程： xf-2-15=0 破疑难 核心素养拓展 拓展 元二次方程特殊解法 给出方程①A(式子1)+B=0的根，求结构完全相同的方程②A(式子2)+B=0的根。 通用做题步骤（四步） 1.观察结构：确认两个方程除括号内整体以外，其余全部相同。 2换元对齐：把第二个方程括号内的整体设为新元t,让方程变成和已知方程一模一样的形式。核心：令仁 第二个方程括号里面那一大块，则新方程和已知方程完全相同，因此t直接等于已知方程给出的根。 3回代列等式：把t等于已知的每一个根，分别列出关于原未知数的一次方程。 4.求解，得到最终的x。 活学活用 1.(25-26九年级下山东烟台~期末)已知一元二次方程a(x+m}=n（a≠0》的两根分别为-31？则 一元二次方程ax+m-2}P-n=0〈a≠0)的两根分别为 2.(25-26九年级上江苏泰州·阶段检测)已知关于x的一元二次方程ax+bx-c=0的解是X1=1, 为=-2：则另一个关于x的方程a(x+3]2+bx+3=c的解是一 3.（25-26九年级上-江苏宿迁：期中)若一元二次方程ax+n2+p=0的两个根为x=1'X,=-3则一元 二次方程ax+n+32+p=0的解为— 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通题型 解题能力构建 题型一因式分解与几何综合 ■例1（25-26八年级上.上海期中)已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 X2-16x+48=0的根，则这个三角形的周长为() A.25 B.21 C.19 D.17 ■对点练1-1(2026四川宜宾中考真题)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形的对角线长，则这 个菱形的面积是() A.4 B.5 c.6 D.7 ■对点练1-2(2026山西朔州·模拟预测)一个菱形的边长是方程x2-8x+15=0的一个根，菱形的一条对 角线长为6，则该菱形的面积为() A.48 B.24 C.24或48 D.48或40 1对点练1-3(2026河南一模)已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解， 则这个三角形的周长是() A.12 B.16 c.16或18 D.18 题型二已知方程的一个解求另一个解 解题步骤 1代入已知解：把已知的解代入原方程，方程变为只含参数的一元一次方程。 2解出参数：求解得到参数的具体数值。 3.(可选回代验证)：把求得的参数代回原方程，解方程，检验是否与己知解一致。 1例2(25-26九年级上四川绵阳期末)已知2是关于x的一元二次方程x+2x-k=0的一个实数解，则该 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方程的另一个解为() A.-4 B.2 C.3 D.4 ■对点练2-1(2026辽宁沈阳·模拟预测)一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为3，那么它的另一个根为 () A.-3 B.0 C.2 D.-2 ■对点练2-2(25-26八年级下河南漯河期末)关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根为X=3,那 么它的另一个根为x=() A.-3 B.1 C.3 D.-7 题型三因式分解解一元二次方程 易错点 1.等号右侧没有化为0直接分解（最高频错误） 原理是“若AB=0,则A0或B=0”,只有乘积等于0才能拆分。 错例：2-3x=4,直接写成x区-3)4，令=4，X3=4。 正确：移项得2-3x-4=0,再因式分解。 2.方程两边直接约去含有未知数的因式，丢失根 只要因式里含未知数，不能直接除。 错例：《-2)=3x,两边同除以x,得到x-2=3,漏掉根=0。 正确：移项x《-2)-3x=0,提公因式再分解。 ■例3(25-26九年级上河北邯郸开学考试)解下列一元二次方程： (1)x2-4x-3=0 2X-4=3x+2 对点练3-1.(25-26八年级下江西南昌期末)解下列方程： (1)x2-2x+1=0 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)xx-2=x-2 ■对点练3-2.(25-26八年级下湖南长沙期末)解方程： (x-1=25 2)xx+6=-5x+6 题型四判断因式分解步骤是否正确并改正 ■例4(25-26八年级下·浙江台州期末)某同学解一元二次方程(x-2)2-3(x-2)=0的步骤如下： 解：(x-2)2=3(x-2)…① x-2=3…② x=5…③ (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第_步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程.“ Ⅱ对点练41.(25-26八年级下河北张家口期末)解一元二次方程x-4x=5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 x2-4x=5 琪琪同学 xx-4=5 .a=1,b=-4,c=5 x=1或 ∴.b2-4ac=16-20=- x-4=5 ∴原方程无实数根 .X1=1,x2=9 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法一，琪琪同学的解法」 (填 “正确”或“错误”)； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：4x2x+1=32x+1. 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练42.（25-26八年级下.山东烟台期末)小明与小颖两位同学解方程5x-2=x-2的过程如图： 小颍： 小明： 移项， 两边同除以x-2 得5x-2-x-2=0 提取公因式，得 得5=x-2, x-25-x-2=0. 解得X=7. ∴.x-2=0或5-x-2=0. 解得X1=2,X2=3 (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx=x的一元二次方程的一般解法. 题型五利用换元法求代数式的值 解题步骤 1设元（换元）：令重复出现的复杂代数式仁【重复的那一串式子】，把原方程转化为关于t的一元二次方程。 2解关于的一元二次方程，求出的两个候选解。 3挖掘t本身隐藏取值范围（关键！高频坑点） ①如果是平方、完全平方：它0 ②如果t是算术平方根：它0 ③如果是分式：分母≠0 4.舍去不符合取值范围的t留下符合条件的值，即为答案。 1例5(25-26九年级上山东枣庄阶段检测)已知实数x满足x2-4X+4+5X2-4x+4-6=0则 X2-4x+4的值为() A.-6或1 B.-1或6 C.6 D.1 I对点练51.(2526九年级上河北邯郸阶段检测)已知实数x满足(X-X-4X-X-12=0:则代 数式x-x+1的值为（) 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.7 B.-1 C.7或-1 D.-2或1 ■对点练5-2.(25-26八年级上四川眉山期中)若实数x、y满足x+y2-2)(x2+y+2)=77,则 x2+y2() A.±9 B.9 c.±V79 D.V79 题型六利用换元法化简方程 1例6用换元法解方程2X-3=X二1时，设 x-1 x一1y,则原方程可化为关于y的方程是() A.2y2-3y-1=0 B.3y2-2y+3=0 C.y2+2y-3=0 D.y2-2y+1=0 ■对点练61.(25-26八年级下上海阶段检测)用换元法解方程X-1=3x-2时，设X-1=y,则原 x x-1 X 方程可化为关于y的方程是() A.y+2y-3=0 B.y+2y+3=0 c.y-2y-3=0 D.y-2y+3=0 1对点练62.(2026上海嘉定二模)用换元法解方程×+二1-2时，如果设X=y,那么原方程 x-1 x x-1 可化为关于y的整式方程是· 题型七换元法解一元二次方程 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解麽步骤 1.观察，确定换元对象 找出重复出现的相同代数式，设一该代数式。 记下t自带取值范围：完全平方t≥0；分式t≠0；根号t≥0。 2整体代入，转化方程 把原方程中重复部分全部替换成t,得到关于t的一元二次方程：t+bt+c=0。 3解关于新元t的一元二次方程 优先因式分解，其次公式法，求出、。 关键一步：根据的实际意义，舍去不符合取值范围的解。 4回代，解原来的未知数 把有效的t代回仁【原来代数式】，得到普通方程，解出原未知数x。 5.检验 ①整式方程：代入验算； ②分式方程：必须检验分母不为0，舍去增根。 1例7(25-26九年级上河南周口期末)(1)解方程：x-22+2-x=0: (2)若(x+2yP+4x+2y-5=0求x+2y的值. ■对点练7-1.(25-26八年级上上海杨浦阶段检测)解方程：1-x2+只V2x-1-4=0. 点练72.（2026九年级下：广东茂名：竞赛）解方程：X+3x+ 题型八换元法解答题综合 ■例8(25-26八年级下.山东济南期末)解方程x-12-5x-1+4=0时，我们可以将x-1看成一个整 体，设x-1=y,则原方程可化为y-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2; 当y=4,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解X1=2,x2=5. 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1请你利用这种方法解方程：2x-12-42x-1+3=0 2)已知△ABC三条边的长度分别为ab:c若满足a2+b2P-3引a+b2-4=0且c=2请判断 △ABC的形状，并说明理由. ■对点练8-1.（25-26八年级下·安徽滁州期末)阅读材料： 为解方程(X-1-5X-1+4=0:我们可以将x2-1视为一个整体，然后设x-1=y则 (x-1P=y2原方程可化为y-5y+4=0@ 解得y1=4,y2=1. 当y=4时，x2-1=4,.x2=5,.x=±5. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,∴.x=±2. :原方程的解为x,=2X,=-2x3=5x4=-5 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想。 请仿照材料解决问题： (1)解方程：(X-2x}-5x2+10x-6=0 (2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. ■对点练8-2.(25-26九年级上贵州遵义期中)阅读材料，解答问题. 解方程：4x-12-10(4x-1+24=0 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y2-10y+24=0, 解得y1=6,y2=4。 ∴.4x-1=6或4x-1=4 7 _5 X1=4=4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1x4-3x2+2=0 2x2-2x2-5x2+10x-6=0 A 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 1.关于x的方程x-4x+3=0,下列说法错误的是() A.二次项系数为1 B.常数项为0 C.一次项系数为一4 D.适合用因式分解法解方程 2.(25-26九年级上·浙江温州开学考试)已知直角三角形有两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个 根，则该直角三角形的斜边长是() A.10 B.2/7 C.10或8 D.10或2V7 3.(25-26八年级下.北京顺义期末)方程x2=2x的解为() A.X1=X2=2 B.X1=0,X2=2 C.x1=0,X2=-2 D.X1=2,X2=-2 4.（2026河北沧州三模)保定古莲花池内一个景观石的坐标为m,n)且满足：m,n是一元二次方程 X-2X-3=0的两个根，m<n:则表示景观石位置的点(m,n在(） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2026安徽宣城二模)如图，这是小卫同学解一元二次方程5x3x-2=22-3x的过程，判断他在 解答过程中出现错误的步骤是() 小卫同学解答过程： 解：5x3x-2=22-3x, 第一步 5x3x-2-22-3x=0, 第二步 5x-23x-2=0, 第三步 5x-2=0或3x-2=0, 第四 13/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 步 解得一弓或x子 第五步 3 A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 6.（2026安徽安庆模拟预测)我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b=a-ab+2,若 2x-1★x+3=11,则x的值为() A.x5 8名 2,=5 c.X=-1,x22 D.X1=1,x2=-2 7.（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测)如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排 列下去，第()个图形共有45个小球. 目 e e ee eee e e eee (第1个图)（第2个图）（第3个图）（第4个图） A.9 B.10 C.11 D.12 8。（25:26八年级下-山东烟台期末)若X=1是关于x的一元二次方程m-1X-X+m=0的一个根.则 m的值是 9.(25-26八年级下.安徽马鞍山期末)一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程 x-6x+8=0的根，则这个三角形的周长为 10.(25-26九年级上广东广州期末)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有 a·b=(a+b2-2a如2·3=(2+3}-2×2=25-4=21若x·m=0m为实数)是关于x的方程， 且x=2是这个方程的一个根，则m的值是. 11.(25-26八年级下甘肃嘉峪关期末)解方程： (x-5x=0 (2)x2-7x+6=0 14/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)x+32=2x+5 12.(25-26九年级上江苏准安开学考试)关于x的一元二次方程x+2mx+m+m=0有两个不相等的实 数根 (1)求的取值范围： (2)已知x=2是方程的一个解，求m的值. 13.(25-26八年级下·吉林期末)如果方程x+px+q=0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样 的一元二次方程为同族方程，并规定G=卫 ,例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以x2-7x+12=0属 于同族方程，所以c=二7心49 1212 (1)以下一元二次方程中是同族方程的是 (填写序号) ①x-5x+6=0:②x2-3x+1=0:③2x2-3x-2=0;④x2-4x+4=0 (2)如果同族方程x+px+q=0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任 意一个完美方程，总有G=4: (3)关于x的一元二次方程kX-k-3X-3=0属于同族方程，求正整数k的值. 索养提升 1.(2026四川雅安一模)如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的 “弦图”.如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，己知大正 方形的边长AD为25，小正方形的边长EF为17，则AE的长为() E ICME-14 G 三 B 图① 图② A.5 B.6 C.7 D.8 2.（25-26八年级下浙江台州：期末)若关于x的一元二次方程x-mx-n=0的解也是。X-3}=b（ 15/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a≠0)的解，则m与n满足的数量关系为() A.m+n=3 B.m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 3.(25-26八年级下.浙江宁波.期末)若关于x的一元二次方程4x2+4mx+2m2+6m+9=0有解，则该方 程的解是() A.-1.5和1.5B.1.5和1.5 c.0和-1.5 D.0和3 4.(25-26八年级下，安徽合肥期末)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,若AB=3, A0-BE=多则AD的长为() A.4 B.3V2 c.3/3 D.6 5.(25-26八年级下-江苏苏州：期末)关于x的方程X+m+3x+2m+2=0有一个小于1的非负数解，那 么m的取值范围是() A.-1≤m<0 B.-1<m≤0 c.-2≤m<-1 D.-2<m≤-1 6.(25-26八年级上-上海金山-阶段检测）如果1m2+2m+n+mm-2=4m-1那么m+n的值为 () A.3或2 B.-3或2 C.-1或2 D.3或-2 7.(25-26八年级下安徽蚌埠期末)若m,n为正实数，设k=m,t是关于x的方程x2+2mx=n的一个 正实数根， (1)当k=t=1时，则m的值是 (2)当k=2时，则片的值是 8.若方程(2026x}-2025×2027X-1=0的较大根为。方程X-2026X-2027=0的较小根为b:则 16/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a+b)2027 9.(25-26八年级下.浙江杭州-阶段检测)若3m2-2m-5=0,5n+2n-3=0,其中m,n为实数且 m,n≠1，m≠二，则m+二= n n 10.（25-26八年级下·上海阶段检测)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围 成矩形的周长与面积两者数值相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P分别作X轴，y轴的垂线，与 坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积的数值如果相等，则点P是和谐点， B (1)判断点M1,2,N-4,4是否为和谐点，点M 和谐点，点N 和谐点（填 “是”、“不是”) (2)求出在直线y=x-3上且位于第一象限的和谐点的坐标. (3)若和谐点Pa,3在直线y=-x+b(b为常数)上，求a,b的值. 迁移创新 1.(25-26八年级下浙江杭州·期末)【阅读理解】 滨滨在学习二次根式性质时，发现有些含二次根式的式子，可以化成另一个含二次根式的式子的平方.例 如4+23=1+3P,他的计算方法如下： 设4+23=la+bP=a2+2ab+b（a>0°b>0),得a+6=4'b=3猜想ab=1×3:验证 a2+b2=12+3=4成立，得4+23=1+3 【深入思考】 (1)江江发现把ab=3两边平方，得a2b2=3,设x=a,又因为a+b2=4,所以b2=4-x, 17/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这样就能先求X的值，再求出a,b的值，请你把江江求a,b值的这个解题过程写完整. 【尝试探究】 (2)把下列各式化成含二次根式的式子的平方（直接写出结果）： ①6+2V5 ②10-2V21 2.(25-26八年级下.安徽池州期末)【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有 著名的数学家，也有业余数学爱好者.下面构造了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA 按如图1方式放置，其三边长分别为a,b,C,∠BAC=∠DEA=90°. B a-b E a D G a 6 6 B A b 图1 图2 (1)请你利用图1证明勾股定理： 2)已知Rt△ABC的三边为ab'c（c为斜边)，其中a'b满足a2+b2儿a2+b2-4=5'求Rt△ABC的 斜边的长。 (3)如图2，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=C,且c>b>a,当△ABC是钝角三角形时，猜想 a+b2与c2之间的关系，并说明理由. 18/18