21.5 反比例函数 分层同步练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级上册反比例函数同步练习，通过夯实基础、能力提升、拓展创新三层设计，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|反比例函数概念、图象性质、k的几何意义、简单实际应用|以选择填空为主，如判断函数图象上的点、求解析式，强化基础认知| |能力提升|函数与几何综合、跨函数结合、实际问题深化|如三角形面积与k值关系、一次函数与反比例函数交点问题，培养推理能力| |拓展创新|实际情境建模、新定义问题、跨知识整合|如班级优秀率分析、高低差新定义，发展创新意识与数学表达能力|

沪科版数学九年级上册21.5反比例函数分层同步练习 一、夯实基础 1．（2026八下·宁波期中）下列各点中，在反比例函数 图象上的点是（　　) A．（2， - 1) B．（1， 2) C．（1， - 2) D．（-2， 1) 2．（2026·宁乡一模）若反比例函数 的图象经过点(-2，3)，则该函数图象还经过点(　　) A．(6， 1) B．(-1， - 6) C．(-3， - 2) D．(2， - 3) 3．（2026·邵阳模拟）已知反比例函数．下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 4．（2026九下·湘桥月考）若是反比例函数，则m的值为　 　． 5．（2026·双流二模）若点都在反比例函数 的图象上，且 则y1，y2，y3的大小关系为　 　. 6．（2026·鹿城模拟）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为　 　． 7．（2026九下·增城模拟）如图，已知反比例函数与直线y=-2x+4交于点A（3，n），B（m，6）. （1）求m，n的值及反比例函数解析式； （2）根据函数图象，直接写出的解集. 8．（2026九下·禅城模拟）师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度y（m）是横截面积S（mm2）的反比例函数，其图象（如图所示）经过点A（4，32）. （1）求y与S之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过0.8mm2，则其总长度至少是多少? 9．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据表格数据，求与的函数关系式； （2）小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 二、能力提升 10．（2026·长春二模）如图，已知反比例函数的图象与线段BC有公共点，其中点B在y轴上，BC//x轴，点A是x轴上一点，连结AB、AC，若△ABC的面积为3，则k的值可能为（　　） A．8 B．7 C．6.5 D．5 11．（2026·浙江模拟）已知点A (x1， y1)和 B(x2， y2)是反比例函数 图象上两点，且 若y1>y2，则x1的取值范围是(　　) A． B． C． D． 12．（2026九下·湘桥月考） 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 13．（2026八下·吉林期中） 如图，反比例函数的图象，则的值可以是　 　．（写出一个即可） 14．（2026九上·椒江期末）浮力式密度计是测量液体密度的仪器(如图1)，通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮.密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h(单位： cm) ， 且液体密度ρ(单位： g/cm3) 是浸没深度h(单位： cm) 的反比例函数.小明在家里制作简易浮力式密度计(如图2)，经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度ρ的对应关系(如下表). 　 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h(cm) 17.5 14 10 液体密度ρ(g/cm3) m 1 n （1） m=　 　， n=　 　； （2）如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm，最大浸没深度为20cm，求该密度计能测量的液体密度ρ的范围. 15．（2026·平武二模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A (1， 2)， B (n，-1)两点，与x轴交于点 C. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2） 求△AOB的面积； （3）直接写出不等式 的解集. 三、拓展创新 16．（2026·长沙模拟）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（　　） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 17．（2026·湖南模拟）在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定若义它们的高低差为.右边点的纵坐标减去左边点若的纵坐标.根据定义，回答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”)； ①若M(1，y1)， N(2，y2)是正比例函数 y= kx(k>0)的图象上的点，则H(M， N)<0； (　　) ②若M(2，y1)，N(3，y2)是反比例函数 的图象上的点，则H(M，N)=1；(　　) ③若M(1，y1)， N(3，y2 )是二次函数 的图象上的点，则H(M ， N)=0. (　　) （2）已知一次函数y=x+a与二次函数 的图象交于A(1，3)，B 两点，点P 是二次函数 图象上的一点，点P 与点 A 的横坐标之和为4，求H(P，B)的最小值. （3） M(x1，y1 )， N(x2，y2 )是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t，若对于 都有H(M ，N)>0，求t的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：A、2×(-1)=-2≠2，故点(2，-1)不在反比例函数图象上； B、1×2=2，故点(1，2)在反比例函数图象上； C、1×(-2)=-2≠2，故点(1，-2)不在反比例函数图象上； D、(-2)×1=-2≠2，故点(-2，1)不在反比例函数图象上； 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行逐项判断即可. 2．【答案】D 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：将点(-2，3)代入反比例函数(k≠0)得： 解得：k=-6， 则该反比例函数图象上的点满足xy=-6， A选项：6×1=6≠-6，不符合要求； B选项：(-1)×(-6)=6≠-6，不符合要求； C选项：(-3)×(-2)=6≠-6，不符合要求； D选项：2×(-3)=-6，符合要求. 故答案为：D . 【分析】先根据反比例函数图象经过的点P(-2，3)，求出反比例函数的表达式，再将各选项中的点代入函数表达式，看是否满足函数关系，从而判断该点：是否在函数图象上. 3．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故答案为：C． 【分析】根据反比例函数的性质得到 当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，进而即可求解。 4．【答案】3 【知识点】反比例函数的概念 【解析】【解答】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 【分析】根据反比例函数的定义得到，进而即可求解。 5．【答案】 【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=-2<0， ∴函数图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵x1<0<x2<x3， ∴点A(x1，y1)在第二象限，点B(x2，y2)，C(x3，y3)都在第四象限， 因此y1>0，y2<y3<0 即y1>y3>y2 故答案为：y1>y3>y2. 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限，再根据各点横坐标的范围确定点所在象限，结合反比例函数在每个象限内的增减性比较y1，y2，y3的大小. 6．【答案】3 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∵轴，轴， ∴矩形的面积为|-3|=3. 故答案为：3. 【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数k的几何意义可得S矩形BDOC=|k|可求出答案. 7．【答案】（1）解：把点A（3，n）代入y=-2x+4得：n=-2×3+4=-2， ∴点A（3，-2）， 把点A（3，-2）代入得：k=3×（-2）=-6， ∴反比例函数的表达式为 把点B（m，6）代入得： ∴m=-1， ∴B（-1，6） （2）-1<x<0或x>3 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【解答】（2）不等式含义：反比例函数图象在一次函数图象上方对应的x取值。 两交点横坐标：B(−1，6)、A(3，−2)，结合图象分布： −1<x<0时，双曲线在直线上方； x>3时，双曲线在直线上方。 ∴ 解集：−1<x<0 或 x>3. 【分析】（1）由点A(3，n)在一次函数y=−2x+4图象上，把x=3代入直线解析式，求出n，得到完整交点A坐标；由交点A同时在反比例y=图象上，将A横纵坐标代入，算出k，写出反比例函数解析式；由点B(m，6)在已求出的反比例图象上，把y=6代入反比例解析式，解方程求出m. （2）由不等式>−2x+4的几何含义，转化为：反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围；由两函数交点横坐标x=−1、x=3，结合反比例定义域x≠0，把数轴分成四段分段观察图象高低；由 “反比例图像在上” 筛选出符合条件的两段区间，合并写出解集. 8．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为： ∵该函数图象过点A（4，32）， ∴k=128， ∴y与S之间的函数表达式为： （2）解：由题意得∴ ∵S>0， 故这根竹升面的总长度至少有160cm. 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用 【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案. （2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案. 9．【答案】（1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为； （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用 【解析】【分析】本题主要考查运用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的应用，根据表格中两个变量的对应值求出两个变量的函数关系式是解答本题的关键．（1）根据表格中两个变量的对应值，利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解． （1）解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 10．【答案】D 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积 【解析】【解答】解：设△ABC的高为h，因为BC||x轴，点B在y轴上， △ABC的面积为3 ， 所以，即BC×h=6， 所以点C的横纵坐标的积为6， 而反比例函数的图象与线段BC有公共点， 故0<k≤6， 结合选项可知，只有D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，首先根据三角形的面积公式得到点C的横纵坐标的乘积的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义确定k的最大值，结合选项确定. 11．【答案】B 【知识点】反比例函数的性质 【解析】【解答】 由题知， 点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数 图象上两点，且x2=x1+2， 则由y1＞y2得， x2＞0且x1＜0， 所以x1+2＞0且x1＜0， 解得-2＜x2＜0． 故答案为：B. 【分析】 根据反比例函数的性质即可解决问题. 12．【答案】D 【知识点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， 。 轴， ，， 的面积。 代入，得。 故答案为：D 【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义。过反比例函数图象上任意一点作轴的垂线，该点、垂足与坐标原点构成的直角三角形面积恒为。设出点坐标，根据函数解析式得到横纵坐标的乘积等于，再结合直角三角形面积公式，将横纵坐标乘积整体代入，即可求出三角形的面积。 13．【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：∵点P(3，3)，若双曲线经过P，则k=3×3=9， ∵双曲线图象在点P(3，3)下方， ∴k<9， 又∵图象在第一象限， ∴k>0， ∴0<k<9，可取k=1． 故答案为：1（答案不唯一，满足即可）． 【分析】先根据点P(3，3)计算若双曲线过该点时k=3×3=9，再根据图象在P(3，3)下方得到k<9，再根据双曲线在第一象限得到k>0，最后在0<k<9范围内任选一个数值，如1． 14．【答案】（1）0.8；1.4 （2）解；当时，； 当时， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴. 【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的实际应用 【解析】【解答】解：∵液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数． ∴设反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 反比例函数解析式为 ∴当时，， 当时，， 故答案为：0.8，1.4； 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 15．【答案】（1）解：∵一次函数.y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A (1， 2)， B (n， −1) 两点， ∴n= - 2， m=2， ∴反比例函数解析式为： ∵A (1， 2)， B (-2， - 1)在一次函数y= kx+b的图象上， 解得 ∴一次函数解析式为：y=x+1. （2）解：在一次函数y=x+1中，令y=0，则x=-1， ∴OC=1， （3）解：-2<x<0或x>1. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积 【解析】【解答】解：(3)根据两个函数图象的位置及交点坐标，可得：-2<x<0或x>1. 故答案为：-2<x<0或x>1. 【分析】(1)将A(1，2)代入反比例函数中，即可求得m，再将B(n，-1)代入反比例函数解析式求得n，最后将点A、B代入一次函数y=kx+b中求解，即可解题； (2)根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解； (3)根据两个函数图象的位置及交点坐标，即可求解. 16．【答案】B 【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，， 设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故答案为：B． 【分析】设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，由点的坐标与图形性质得点为，点为，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数“k”比较，，，与的大小即可得出答案． 17．【答案】（1）解：①×；②×；③√. （2）解：代入，得， ， ∴ ， ∴一次函数，二次函数 ， 联立，得 ， 整理，得 ， ∴点B的横坐标为， ∴点， ∵点P的横坐标与点A的横坐标之和为4，点A的横坐标为1， ∴点P的横坐标为， 令，则 ， ∴， ∵， ∴ ， ∴点P在点B的右边， ∴ ， ∵， ∴ ，即的最小值为15； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ，即， ∴ ， 令，则 ， 令，则 ， 分两种情况， 第一种，若，则， ∵， ∴ ， 第二种，若，则， ∵， ∴， 综上，两种情况下，均只要满足 ，则 ， 又 ， ， ∴当，同时取得下限的值时，可知 ， ∴若 恒成立，则 ， 解得． 【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】（1）解：①令，则 ， 令，则 ， ∴ ，故原说法错误； ②令，则， 令，则， ∴，故原说法错误； ③令，则 ， 令，则 ， ∴ ，故原说法正确； 故答案为：①×；②×；③√； 【分析】（1）代入点M和点N的横坐标到对应的函数解析式中，分别求出y1和y2，作差计算即可判断解答即可； （2）代入点A的坐标，求出一次函数的解析式，再联立两函数的解析式，求出点B的坐标，即可得到点P的横坐标为3，求出纵坐标，根据定义表示出，求出最小值解答即可； （3）根据二次函数的对称轴可得，分别求出和，分为或两种情况，并表示对应的，再再根据x1和x2的取值范围得到t的取值范围即可． 学科网（北京）股份有限公司 $