21.4 二次函数的应用-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

专题二二次函数在自变量取值 可知：当y<0时，自变量x的取 范围内的增减性与最值 值范围为一1<x<3. 1.(1)减小02一15 14.(1)a=-2. (2)增大2235 (2)y=-2x2+16x+8. (3)1135 15.(1)-22 2.103.0m≤34.D5.B6.D (2)由(1)得，直线和抛物线的表 7.-2≤m≤-2 1 达式为：y=-x+2,y=x2 2x,联立上述两个函数表达式并 21.3二次函数与一元二次方程 1.-12.-53.B4.B 解得 不符合 y=3 (y=0 5m<-是 6.C 题意，舍去)，即点B的坐标为 7.x<-1或x>38.C9.C (-1,3),从图象看，不等式x2+ 10.D11.B12.D mx>-x十b的解集为x<-1 13.(1)证明略. 或x>2; (2)对称轴为直线x=一1，顶点 (3)①当点M在线段AB上时， 坐标为（一1,0） ,M,N的距离为3，而A、B的 14.(1)0 水平距离是3，故此时只有一个 (2)图略 交点，即-1≤cM<2; (3)答案不唯一.如： ②当点M在点B的左侧时，线 ①函数y=x2一2|x的图象关 段MN与抛物线没有公共点； 于y轴对称；②当x>1时，y随 ③当点M在点A的右侧时，当 x的增大而增大 cM=3时，抛物线和MN交于抛 (4)①33②2③-1<a<0 物线的顶点(1，一1)，即xw=3 微课堂利用抛物线的对称性解题 时，线段MN与抛物线只有一 【变式应用1】x=号 0 个公共点，综上所述，一1≤xw< 2或xM=3. 【变式应用2】x1=3,x2=-1 21.4二次函数的应用 【变式应用3】y=y<2 第1课时二次函数在面积最值 专题三二次函数的图象与字母 问题中的应用 系数之间的关系 1.C2.24√3 一全国中考热点 3.当AE=50m时，市民健身活动场 1.三2.C3.D4.C5.B6.D 所的面积达到最大 专题四函数图象信息题 一全国中考热点 4.(1)S=- 3x2+4x,0<x≤5； 1.D2.D3.124.C5.A 阶段提升自测（一） (2)当x=5时，Sn=35 3 1.B2.D3.A4.C5.A6.B5.C6.C7.75 7.A 8.(1)S=x(28-x)=-x2+28x. 8.C9.y=-x2+1(答案不唯一) |x≥6 (2)由题意，得 10.y2<y1<y311.812.2 28x≥15解得 13.(1)y=x2-2x-3=(x-1)2- 6≤x≤13，由二次函数S=一x 4,顶点坐标为(1，一4)，对称轴 +28.x=-(x-14)2+196,可知 x=1. 在6≤x≤13的范围内，S随x的 (2)二次函数的图象如图.由图象： 增大而增大， 28 .当x=13时，Sx=-(13-14)2+ 经过(5,1)时，1=- ×25+8 8 196=195(m). 9.(1)(50-2x)②y=-4x2+40x ×5+1+1,解得：n= 17 ;当经过 +1500(12≤x≤18) (2)设费用为w元，由题意得， (7,1)时，1= ×49+g×7 =50(-4x2+40x+1500)+40× +1+1,解得：n= 41.17 4x(x-10)=-40(x-5)2+ 7…5≤n≤ 76000,.一40<0，故抛物线开口 号，n为整数，∴符合条件的n 4 向下，函数的对称轴为x=5,当x 的整数值为4和5. >5时，随x的增大而减小， 第3课时二次函数的综合应用 而12≤x≤18，故当x=18(m)1,C2.B3.D4.B 时，w有最小值为69240（元）， 5.(1)y=-10x2+110x+2100(0x 即当绿化区较长边为18m时，健 ≤15，且x为整数). 身广场投资费用最少，最少费用 (2)y=-10x2+110x+2100=- 为69240（元）. 10(x-5.5)2+2402.5, 第2课时建立二次函数模型 0<x≤15，且x为整数， 解决实际问题 ∴.当x=5或6时，ymz=2400,此 1.C2.B3.2√64.能 时售价为50+x=55或56. 5.该大门的高h为5m. 答：当售价定为每件55或56元， 6.600 7.40m&是m 每个月的利润最大，最大的月利 润是2400元. 9.(1)y=- 2+3x 6.B7.D 8.(1)当0<x≤20且x为整数时，y (2)方案二的内部支架节省材料. =40;当20<x≤60且x为整数 理由如下：方案一：由题意，得OB =3m,OC=9m,当x=3时，y= 时，y=一 x+50:当>60且x 3-6+9=翠，即AB= 为整数时，y=20. (2)设所获利润（元），①当0< m,同理可求CD- 4m,…方 x≤20且x为整数时，y=40,.w =(40-16)×20=480元， 案一内部支架材料长度为AB十 NP+cD-+9+智-号m,方 ②当20<x≤60且x为整数时，y 1 =-2x+50,w=(y-16)x= 案二：OB=4m,OC=8m,EF= B'C=4m,同理可求A'B′=8m, (-7x+50-16)x=-22+ CD'=8m,∴.方案二内部支架材 料长度为A'B'+EF+CD'=8 34x=-2(x-34)2+578, +4+8=20m,5>20, ”-2<0当x=34时，如最 方案二的内部支架节省材料。 大，最大值为578元 10.(1)C的最高点坐标为(3,2)， 答：一次批发34件时所获利润最 大，最大利润是578元. a=- 9c=1. 9.(1)y=0.08x2+0.9x. (2)由题意，可知接到沙包处点 (2)该司机是因为超速行驶导致 的坐标范围是(5,1)~(7,1)，当 了交通事故，理由如下： 29 在y=0.08x十0.9x中，令y=99 (3)由题意，可得新抛物线的表达 得：99=0.08z2+0.9x,解得：x= 式为y=一 2+++星 30或x= 165(舍去)， .'30m/s=108km/h>100km/h, 2+x3,令y=-2+ 4 4 该司机是因为超速行驶导致了 x+3=0,解得：五-1士5(m) 3 交通事故 (舍去负值)，故水柱落地处离池中 (3)由题意，得0.08x2十0.9x= 0.12x2+x,∴.0.04x2+(3-0.9)x 心的距离为(1十√5)m =0,10≤≤20x=09 5.(1)y= 20x+40 0.04’ 102a<2解得品号 (2)由题意，可知购买数量位于200 阶段提升自测（二） 与40之间，(-员x+40)x 1.(1)球抛出后经2秒回到起点. 7280,解得0=280，x2=520 (2)0.2s或1.8s后球离起点的高 (舍去). 度达到1.8m. (3)当200≤≤400时，w-(-0x (3)球离起点的高度不能达到 6m,理由如下：h=10t一5t=一5 +40-15）x=-02+25x= (t-1)2+5,当t=1时，h最大值 为5，∴.球离起点的高度不能达 20x-250y2+3125, 到6m. ∴.当x=250时，w有最大值，最 2.(1)y= 16+2x+1. 1 1 大值为3125；当400<x≤600 时，批发量固定，批发量越大，则 (2)令x=5得y= 25+5+1 16+2 利润越大，.当x=600时，利润 =1.9375>1.55,∴.此球能过网. 最大，最大值为600×(20-15) 3)令y得：+号x+1 =3000<3125(元)， ∴.当x=250时，批发部获得的利 -器解得x=1(含去)或x=7, 润最大，最大利润是3125元. 专题五 二次函数与几何图形的综合 .乙与球网的水平距离为7一5 1.(1)y=2x2-8x+6 =2m. (2)(n,2-8n十6) 3.(1)y=-3x2+24x5≤x<8 (2)由题意，得一3x2+24x=36, (3)Pc=-2(-)'+, 化简得x2-8x+12=0,解得 PC>0,∴.当n= =2(舍去)，m=6.即AB的长度 时，线段nC 为6m. (3)y=-3x2+24x=-3(x-4)2十 最大值为智 2.(1)点B(8,0),点C(0,4), 48(5≤x<8),.a=-3<0,开口 向下，∴.当x=5时，y大值=48-3(5 y-r+x+4 一4)2=45.故最大面积为45m2. 4a0A=是 (2):SAm=PE·0D,SE (2)图略，P所在抛物线的解析式为 =号PE,DB,Ss=Sae+ 4 S△PEB= 2PE0B,:点D,0 3021.4二次 第1课时 二次函数在 01基础达标 知识点图形的面积最大问题 1.用长8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗 框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的 最大透光面积是 () A.n D.4m2 D 1209 B 第1题图 第2题图 2.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD 总长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大 面积是 m2. 3.如图所示，正方形区域ABCD D 是某公园健身广场示意图，公 园管理处想在其四个角的三 角形区域内种植草皮加以绿 化（阴影部分），剩余部分安装 健身器材作为市民健身活动场所（四边形EF GH).其中AB=100m,且AE=AH=CF= CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动 场所的面积达到最大？ 23 函数的应用 面积最值问题中的应用 易错点求最值时忽略自变量的取值范围 4.如图，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔 离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分 成两个区域，中间用塑料膜隔开.已知整个隔 离区塑料膜总长为12m,如果隔离区出入口的 大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长， 设平行于墙的长度为xm,隔离区的面积为Sm. (1)求S关于x的函数解析式，并写出x的取 值范围。 (2)求隔离区面积的最大值 02能力提升 5.如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=4,点 E为BC的中点，连接AE,DE,点P,点Q分 别是AE,DE上的点，且PE=DQ.设△EPQ 的面积为y,PE的长为x,则y关于x的函数 关系式的图象大致是 23 24 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC =8cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以 1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边 BC向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点 停止运动时，另一点也随之停止，若P,Q两点 分别从A,B两点同时出发，在运动过程中， △PBQ的最大面积是 A.18cm2 B.12cm2 C.9cm2 D.3cm2 第6题图 第7题图 7.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙 (墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所 示的三处各留1宽的门.已知计划中的材料 可建墙体（不包括门）总长为27m,则能建成 的饲养室总占地面积最大为 m2. 8.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图 所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的 篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB, BC两边)，设AB=xm. (1)若花园的面积为Sm,求S与x的关系式. (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分 别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含 边界，不考虑树的粗细)，试求出x的取值范 围，并求出此时花园面积S的最大值。 03思维拓展 9.某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m 的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所 示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的 矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口 宽度相同，其宽度不小于14m,不大于26m,设 绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym. ←术m料 .50m (1)直接写出： ①用x的式子表示出口的宽度为 m; ②y与x的函数关系式及x的取值范围 (2)若活动区造价为50元/m,绿化区造价为 40元/m,则绿化区边长怎么设计，健身广场 投资费用最少，并求出最少费用. 第2课时建立二次 01 基础达标 知识点 建立二次函数模型，解决抛物线型建 筑、运动问题 1.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时 间t(s)的函数表达式为h=at2十bt,其图象如 图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的 高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是 () A第3秒 B.第3.5秒 C.第4.2秒 D.第6.5秒 h/m 026 第1题图 第2题图 2.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y=一 十35的一部分（如图），若命中篮圈 中心，则他与篮底的距离1是 A.3.5m B.4 m C.4.5m D.4.6m 3.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离 为2m时，水面宽度为4m,那么当水位下降1m 后，水面的宽度为 m. 3m 44m -6m→ 10m 第3题图 第4题图 4.如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正 前方10m处将球踢起射向球门，当球飞行的 水平距离是6m时，球达到最高点，此时球高 3m,将球的运行路线看成是一条抛物线，若球 门高为2.44m,则该球员 射中球门（填 “能”或“不能”) 25 函数模型解决实际问题 5.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为 10m,一身高为1.8m的同学站在门内，在离 门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶 在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该 大门的高h. 00 易错点“飞机停下来”不是y=0,而是y取最 大值 6.飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x (s)之间的函数解析式是y=60x-一1.5x2,则 飞机着陆后需滑行 m才能停下来. 02能力提升 7.如图，某抛物线形石拱门，已 200m 知其底部宽度为80m,高度为 150m 200m.则离地面150m处的水 平宽度（即CD的长）为 80m 8.(2025·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计 划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水 头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心 的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,水 柱落地处离池中心的水平距离也为3m,那么 水管的设计高度应为 26 9.(2025·陕西)某加工厂要加工一种抛物线型 钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部 宽度OM=12m,顶点P到底部OM的距离为 9m.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M 在x轴上.其内部支架有两个符合要求的设计 方案： 方案一是“川”字形内部支架（由线段AB,PN, DC构成)，点B,N,C在OM上，且OB=BN =NC=CM,点A,D在抛物线上，AB,PN, DC均垂直于OM. 方案二是“H”形内部支架（由线段A'B,DC, EF构成)，点B,C在OM上，且OB=BC'= CM,点A',D在抛物线上，A'B',D'C'均垂直 于OM,E,F分别是A'B',D'C的中点 (1)求该抛物线的函数表达式， (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种 构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？ 请说明理由 y/mt y/m OB N C Mx/m 0 B'C'M x/m 方案 方案二 03思维拓展 10.(2025·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同 学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长 度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看 成点)抛出，其运动路线为抛物线C:y= a(x-3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c) 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为 抛物线C:y一3r+号x十c十1的一部分， (1)写出C的最高点坐标，并求a,c的值. (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点 A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙 包，求符合条件的n的整数值 ↑ylm B C x/m 第3课时二次 01 基础达标) 知识点二次函数的综合应用 1.将进货价格为35元的商品按单价40元售出 时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1 元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价 上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系 式正确的是 A.y=(x-35)(200-5x) B.y=(x+40)(200-10x) C.y=(x+5)(200-5x) D.y=(x+5)(200-10x) 2.(2025·丽水)已知实心球运动的高度y(m)与 水平距离x(m)之间的函数关系是y=一(x 1)2十4，则该同学此次投掷实心球的成绩是 A.2m B.3m C.3.5mD.4m 3.黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污 染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企 业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月 获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数 关系式y=一n2十14n一24，则没有盈利的月 份为 ( ) A.2月和12月 B.2月至12月 C.1月 D.1月、2月和12月 4.如图，将一个小球从斜坡的。m 点O处抛出，小球的抛出路 线可以用二次函数y=4x一 4 2x刻画，斜坡可以用一次 O12345678x 函数)一x刻画，下列结论错误的是（ A.小球距O点水平距离超过4m呈下降趋势 B.当小球水平运动2m时，小球距离坡面的高 度为6m C.小球落地点距O点水平距离为7m D.当小球抛出高度达到8m时，小球距O点水 平距离为4m 27 函数的综合应用 易错点求最值时忽略自变量的取值范围 5.某商品的进价为每件40元，售价为每件50 元，每个月要卖出210件；如果每件商品的售 价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价 不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数)，每个月的销售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围， (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可 获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 02能力提升 6.某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作 出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y(间) 与定价x(元/间)之间满足y=4x-42(x≥ 168).若宾馆每天的日常运营成本为5000元， 有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支 出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润， 同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为 () A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 7.(2025·陕西)某物理兴趣小组对一款饮水机 的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的 滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗 的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2 28 所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部 分，则变阻器R消耗的电功率P最大为() ◆P/W 169 220V 4I/A 图1 图2 A.160WB.180WC.200WD.220W 8.某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产 品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批 发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正 整数)之间满足如图所示的函数关系. (1)直接写出y与x之间所满足的函数关系 式，并写出自变量x的取值范围， (2)若一次性批发量不超过60件，当批发量为 多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ yl元 40 20 020406080x阵 03思维拓展 9.行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续 向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为 “刹车距离”.为了了解制造车间某型号汽车的 刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出 汽车A刹车后刹车距离y(m)与刹车时的速 度x(m/s)满足二次函数y=0.08x2+bx十c. 测得部分数据如下表： 刹车时车速(m/s) 0 5 10 15 20 25 刹车距离(m) 0 6.5 17 31.550 72.5 (1)求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达 式（不必写自变量的取值范围） (2)有一辆该型号汽车A在公路上（限速 100km/h)发生了交通事故，现场测得刹车距 离为99m,请问司机是否因为超速行驶导致了 交通事故？请说明理由， (3)制造车间生产另一型号汽车B,其刹车距 离y(m)与刹车速度x(m/s)满足：y=0.12x2 十Bx,若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内 某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求3 的取值范围