22.5 简单的位似图形分层同步练习 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学位似图形同步练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，实现从单一性质应用到跨情境综合探究的知识巩固，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|位似图形性质、坐标变换、简单作图|选择/填空/基础作图，聚焦位似比与面积比计算，强化空间观念| |能力提升|位似比综合计算、非原点位似中心变换|含坐标推理与无刻度直尺作图，提升运算能力与几何直观| |拓展创新|规律探究、机械结构应用、函数与位似结合|跨学科情境题（如机械连杆）与动态规律题，发展模型观念与创新意识|

沪科版数学九年级上册22.5简单的位似图形分层同步练习 一、夯实基础 1．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，若△ABC 的面积为9，则△A'B'C'的面积为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2026九上·成华期末）如图，四边形ABCD和四边形 A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A的坐标为（2， 0) ， 点A'的坐标为（3， 0) . 若 CD 的长为3， 则C'D'的长为（　　） A． B．4 C． D．5 3．（2026·游仙模拟）如图，在平面直角坐标系中△AOB 与△COD 是位似图形，以原点O为位似中心，若CD=3AB，B点坐标为(2，1)，则点D的坐标为(　　) A．(4， 2) B．(4， 6) C．(6， 3) D．(6， 2） 4．（2026·惠阳模拟）如下图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，若，则=　 　。 5．（2026·南山模拟）如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为（2，0），（3，0）.若DE的长为3，则D'E'的长为　 　. 6．（2026·浙江模拟） 如图， 以△ABC的顶点 A为位似中心，作△ABC的位似图形△ADE. 若∠C=35°，则∠E=　 　°. 7．（2026九上·海曙期末）在下面图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与△ABO关于坐标原点O位似，且其边长是△ABO 的边长的两倍. 8．（2025九上·红古期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，以原点为位似中心，在直线上方，画出的位似图形，使它与的相似比为． 9．（2024九上·祁东期末）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 二、能力提升 10．（2026·庆元模拟）如图，四边形 ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形.已知点A(4，12)的对应点为A'(1，3)，若.A'B'=3.5，则 AB 的长为(　　) A．10.5 B．12 C． D．14 11．（2026九上·金华月考） 如图， △ABC三个顶点的坐标分别为A （-2， 2) ， B（-4，1) ， C（-1，-1) ， 以点C为位似中心，在x轴下方作把△ABC放大为原来的2倍的位似图形△A'B'C'，则点B'的坐标为（　　） A．（3， - 7) B．（5， - 7) C．（5， - 5) D．（2， - 5) 12．（2026·杭州模拟）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（2，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是　 　 ． 13．（2026·新昌二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 和矩形 DEFG位似，位似中心为点 O.已知点A，D，G都在x轴上，且点B 的坐标为(4，4).若E为CD的中点，则点 F的坐标为　 　. 14．（2026九上·越城期末） 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（说明：图中点，，，均在格点上） （1）在图中，作点关于的对称点，并连结， （2）在图中，以为位似中心，作四边形的位似图形，并把四边形的边长扩大到原来的倍. 15．（2025九上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-1，1），B（-2，1），C（-1，3）． ⑴画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． ⑵在第四象限内画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2． 三、拓展创新 16．（2024九上·常德期末）如上图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形…，若，则正方形的面积是　 　． 17．（2026·甘孜）平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件.这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动.如图，四边形AFDE 是平行四边形， （1）【初步感知】 如图1，连接BD，CD，则∠1+∠2+∠3＝　 　度； （2）【变化探寻】 如图2，AB＝10，AC＝15，固定点 D，当k为何值时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B 相等. （3）【深入探究】 如图3，固定点D，若移动点B到点B'，则点 C随之移动到点C'. ①判断线段 CC'与BB'的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点 B 处安装一支描图针，在点 C 处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形L1描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形 L2，求图形L2的面积.（用含k的代数式表示） 18．（2026九上·深圳期末）【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 图1 【定义】将二次函数图像上任意一点的横、纵坐标同乘实数，得到新的点称为点的“倍位似点”，连接二次函数图像上所有点的“倍位似点”所形成的曲线称为二次函数的“倍位似曲线”． 【探究】“探思社”的同学对二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”进行了探究： 上的点 … … 对应“倍位似点” … … 对应“倍位似点” … … （1）①列表：填写表格，其中点的坐标为_____； ②描点：将二次函数图像上点所对应的“倍位似点”与“倍位似点”分别描在下面的图与图中； ③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数的“倍位似曲线”与“倍位似曲线”． 【发现】（2）①发现：的“倍位似曲线” 的表达式为：_____； 的“倍位似曲线” 的表达式为：_____； ②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为_____； ③验证：请用证明验证你的猜想． 【拓展应用】（3）若二次函数：的顶点为，其所对应的“倍位似曲线” 与轴分别交于两点，若满足，请求出的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质 【解析】【解答】∵ △A'B'C' 与 △ABC 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ 这两个三角形相似，位似比就是相似比。 从图上能直接看出，△A'B'C' 离位似中心 O 更近，是缩小后的图形， 所以A'B' ： AB = 2 ： 3。 相似三角形面积比等于相似比的平方，因此S△A'B'C' ： S△ABC = (2 ： 3)2 = 4 ： 9。 已知 S△ABC = 9， ∴ S△A'B'C' = 9 × = 4。 故答案为：A. 【分析】 本题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形面积比与相似比的关系。首先根据位似中心 O 确定 △A'B'C' 与 △ABC 相似，且位似比 2：3 即为相似比（从图上看 A'B'C' 离 O 更近，是缩小后的图形）。然后利用"相似三角形面积比等于相似比的平方"，得到面积比为 (2：3)2 = 4：9。最后结合已知 S△ABC = 9，按 9 ×= 4 算出 △A'B'C' 的面积，即可得到结果。 2．【答案】C 【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解：由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为 ∴ ∵CD的长为3， ∴ 故答案为：C. 【分析】由题意得，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的相似比为，则，进而可得答案. 3．【答案】C 【知识点】图形位似变换的点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 【分析】根据位似变换的点的横、纵坐标同时乘以k或-k计算，得到答案． 4．【答案】 【知识点】位似变换 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 故答案为：． 【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案． 5．【答案】 【知识点】相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质 【解析】​​​​​​【解答】解：∵五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形 ∴△ODE∽△OD'E' ∴ ∵DE=3 ∴ 故答案为： 【分析】根据位似图形性质即可求出答案. 6．【答案】35 【知识点】位似图形的性质 【解析】【解答】解：以△ABC的顶点 A为位似中心，作△ABC的位似图形△ADE. ∠C=∠E=35°. 故填：35°. 【分析】根据位似图形的性质可得∠C=∠E. 7．【答案】解：如图， 【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质 【解析】【分析】由条件判断所画三角形与 △ABO 相似且相似比为2，在坐标系中可知要画的三角形可能位于第一象限，也可能位于第三象限。 8．【答案】解：如图所示，为所求： 【知识点】作图﹣位似变换 【解析】【分析】根据位似图形定义作图即可. 9．【答案】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求 ∴. ​​​​​​​ 【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；作图-画给定对称轴的对称图形 【解析】【分析】（1）先根据轴对称图形的性质得到对称点，然后顺次连接对称点即可； （2）利用位似图形的性质得到对应点，从而顺次连接对应点，进而得到的坐标. 10．【答案】D 【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵点A(4，12)的对应点为A'(1，3)， ∴位似比， ∵位似图形对应边的比等于位似比， ∴， 又∵A'B'=3.5， ∴． 故答案为：D． 【分析】先根据点A(4，12)和A'(1，3)的坐标，利用勾股定理计算出，，得到位似比；再根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即；最后代入A'B'的值，计算得AB=14． 11．【答案】C 【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解：由题意可得：，且相似比为， ， ，， ，， ． 故答案为：C. 【分析】根据平面直角坐标系内位似图形的性质解答即可． 12．【答案】﹣2a+6 【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似 【解析】【解答】解：如图所示，过点.B'作. 轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D， ∴BD∥B'E， ∵设点B的横坐标是a， C(2，0)， ∴CD=a﹣2， ∵在x轴的下方作△ABC的位似图形. 以点C为位似中心，并把△ABC的边长放大到原来的2倍， 即 ∴CE=2a﹣4， ∴OE=CE-OC=2a﹣4﹣2=2a﹣6， ∵点B'在第三象限， ∴点B的横坐标是a，点.B'的横坐标为-2a+6， 故答案为： -2a+6. 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B'作B'E⊥x轴于点E，得 结合题意得到 代入计算即可求解. 13．【答案】(1， 2) 【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解： ∵矩形ABCD， 点B的坐标为(4，4)， ∵点E是CD的中点， ∴GF=DE=2 ∵矩形 ABCD 和矩形 DEFG位似，位似中心为点 O， OG=1， 故点F的坐标是(1，2). 故答案为： (1，2). 【分析】直接利用位似图形的性质结合矩形的性质得出OG，GF的长，即可得出答案. 14．【答案】（1）解：如图所示，点C即为所作； （2）解：如图，四边形 即为所作； 【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换 【解析】【分析】（1）取格点C，连接BC和CD，得到四边形ABCD即可； （2）根据位似性质得到点A，B，C，D的对应点的位置，然后依次连接得到四边形 即可. 15．【答案】解： 【知识点】作图﹣位似变换；作图-画给定对称轴的对称图形 【解析】【分析】(1)作出点A、点B、点C关于y轴对称的点的坐标再首尾顺次相连即可得到△A1B1C1； (2)将点A、点B、点C的坐标乘以-2，从而确定A2、B2、C2的坐标，再首尾顺次相连即可得出答案。 16．【答案】 【知识点】探索图形规律；图形位似变换的点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 同理可得， ∴ ∴ ∴正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， …… ∴正方形的面积是． 故答案为：． 【分析】根据相似比为求得，再证明，利用相似三角形的对应边成比例及 ，求得，依次类推，求得，，……，从而得到 正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，根据规律即可求得正方形的面积. 17．【答案】（1）180 （2）解：∵四边形AFDE是平行四边形， ∴AE＝DF， AF＝DE， FD∥AC 设AE＝DF＝x， BF＝y， 则CE＝ kx， AF＝DE＝ ky， ∵∠A＝∠A， ∠AEF＝∠B ∴∠AEF∽△ABC ∵DE∥AF ∴∠EDC＝∠B， ∠DEC＝∠A ∴∠EDC＝∠AEF ∴△EDC∽△AEF ，即 ∵FD∥AC ∴△BFD∽△BAC ∵AB＝10， AC＝15， ∴当 时，在移动点B的过程中，始终有∠AEF与∠B相等. （3）解：①BB'∥CC'， 理由如下： 如图， 连接BC， B'C'， 同 （1） 可得∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180° ∴B， C， D， B'， D， C'三点共线， ∵F'D∥A'C ∴△B'FD∽△B'A'C' ∵FD∥AC 又∵∠BDB'＝∠CDC' ∴△BB'D∽△CC'D ②由①可得 依题意，L1与L2是关于点D的位似图形，且位似比为k，则面积比为k2， ∵等腰直角三角形L1的边长为2，面积为 ∴图形L2的面积为2k2． 【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；位似图形的性质 【解析】【解答】解：（1）∵四边形AFDE是平行四边形， ∴AE＝DF， AF＝DE， AE∥DF， AF∥DE， ∴△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD， ∴∠CED＝∠A＝∠DFB， ∴△CDE∽△DFA ∴∠1＝∠C ∵AC∥DF ∴∠C+∠2+∠3＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝180°； 故答案为：180； 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到△ABC∽△EDC， △ABC∽△FBD， 即可可得，，进而可得，然后根据两边成比例且夹角相等得到，，即可得到，再根据平行线的性质解答即可； （2）设，，即可得到，，根据两角相等得到，即可得到，然后根据平行线得到，利用对应边成比例得到，解答即可； （3）①连接，然后推理得到，，根据相似三角形的性质解答即可； ②根据题意得到与是关于点的位似图形，则面积比为，据此解答即可． 18．【答案】（1）①； ②； ③； （2）①；； ②； ③证明：设为二次函数对应的“倍位似曲线”上的任意一点， 则在二次函数图像上， ， ； （3）解：令， 或，即图像与轴交点为， 分别为，故， 又顶点为，即， ， ，即， 解得或， 或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；坐标与图形变化﹣位似 【解析】【解答】（1）解：①过点， 对应“倍位似点”为， （2）解：①设的表达式为， 把点、点、点代入得 ，解得， 的表达式为， 同理：的表达式为， ②猜想：对于任意二次函数：对应的“倍位似曲线”的表达式为； 故答案为：（1）①；（2）①；；②； 【分析】（1）①根据题意将的横纵坐标分别乘以即可； ②根据题中表格给出的坐标，分别在图和图中描出即可； ③在②的基础上分别用光滑的曲线顺次连接各点即可得到两个二次函数的图象． （2）①根据题中给出的点，先设出表达式，然后利用待定系数法将点、点、点代入，计算即可得出C1的解析式；同理代入计算即可求出C2的表达式； ②利用①得出的两个解析式，与进行对比，找到相同之处与不同之处，即可得出猜想结论； ③得出的“倍位似曲线”的对应点为，然后利用待定系数法将代入整理即可． （3）先由推出两点的坐标，结合顶点的坐标表示出的表达式，最后根据题中给出的范围解出即可． 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