23.1 锐角的三角函数 分层同步练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级上册锐角三角函数同步练，通过三层递进设计，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|特殊角三角函数值、定义应用、简单计算|8题，如特殊角余弦值直接应用、网格中正弦值求解，强化概念理解与基础运算| |能力提升|几何图形与三角函数结合、综合计算|6题，如正方形中相似求正切、矩形折叠问题，培养推理能力与几何直观| |拓展创新|同角三角函数关系、规律探究|2题，如公式推导证明、含参数问题，发展创新意识与数学思维|

沪科版数学九年级上册23.1锐角的三角函数分层同步练习 一、夯实基础 1．（2026九下·湘桥月考） 在中，，则（　　） A． B． C． D．1 2．（2026·坪山模拟）如图，已知A、B、C、D四个点均在格点上，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 3．（2026·威远模拟）如图，在中，，，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 4．（2026·广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑.如图，，若，，则＝　 　. 5．（2026九下·惠东期中）计算：　 　． 6．（2026·广东模拟）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点B，再以B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，画射线，则的值为 　 　． 7．计算： （1）(π－1)0＋9tan 30°－＋|－3|－； （2）sin 45°－2cos 30°＋. 8．（2026·岳池三模） （1） 计算： （2）先化简，再求 的值，其中x是不等式2x-1<5的非负整数解. 二、能力提升 9．若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sin α－|＋(－tan β)2＝0，则此三角形的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．（2026·广宁模拟）如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE，F是DE的中点，连接CF，作CG⊥DE于点C，则tan∠GCF的值是（　　） A． B． C． D． 11．（2026·南充二模）如图，在▱ABCD中，若∠A+∠C=∠B，则cosA的值为　 　. 12．（2026·珠海模拟）如图所示的衣架可近似看成一个等腰三角形．若，，则衣架宽约为　 　cm．（参考数据：，，） 13．（2026·二道模拟）(10分)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=6.点 E 在边 AB上，点A 关于直线DE的对称点为点 F，连结DF、EF，延长EF 交射线 DC 于点 G. （1）下列线段中，始终与线段 DG相等的是　 　： ① BE ② DE ③ GE （2）当点G与点C重合时，求 的值； （3）当CG=1时，求AE的长； （4）连接BG，当BG=DE时，直接写出线段AE的长. 14．（2026·藤县模拟）如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． （1）作，垂足为，求的长； （2）求的值． 三、拓展创新 15．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 16．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题： 如图1： ▲ . 如图2： ▲ . 如图3： ▲ . ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ▲ ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】求特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：已知，根据特殊锐角的余弦函数值，，因此。 故答案为：A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的应用。根据余弦函数的定义，60°角的余弦值为固定常数，直接将角度代入对应三角函数值，即可得到计算结果。 2．【答案】D 【知识点】等腰三角形的判定与性质；求正弦值；在网格中求锐角三角函数值 【解析】【解答】解：如图所示： 依题意，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：D 【分析】由网格得，则是等腰直角三角形，即 . 3．【答案】B 【知识点】求正弦值 【解析】【解答】解：， ， 故选：B． 【分析】本题以直角三角形为背景，考查了锐角三角函数的定义，重点是对正弦概念的理解与运用。正弦值等于直角三角形中锐角的对边与斜边之比。解题时，先识别∠A的对边BC和斜边AB，再代入已知边长计算比值并化简即可。 4．【答案】6 【知识点】已知正切值求边长 【解析】【解答】解：由题意可得：∠1+∠AOD=90°，∠2+∠BOC=90° ∵∠1=∠2 ∴∠AOC=∠BOC ∵ ∴ 在Rt△OBC中，∠OBC=90°，OB=8 ∴ 解得：BC=6 故答案为：6 【分析】根据角之间的关系可得∠AOC=∠BOC，则，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案. 5．【答案】 【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算 【解析】【解答】解：原式， ． 故答案为：． 【分析】先根据题意计算cos60°的数值和负整数指数幂，再计算加法即可求解。 6．【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值；求正切值 【解析】【解答】解：连接，如图所示： 根据作图可知：， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 【分析】连接，由作图可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则∠AOC=60°，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案. 7．【答案】（1）解：原式＝1＋9×－3＋3＋2＝1＋3－3＋3＋2＝6. （2）原式＝×－2×＋ ＝1－＋－1 ＝0. 【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算 【解析】【分析】（1）先运算零次幂、二次根式的化简、绝对值、负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算二次根式的乘法，再合并同类项解答即可； （2）代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式和运算乘法，然后合并同类二次根式即可. 8．【答案】（1）原式 （2）原式 解2x-1<5得x<3， 不等式的非负整数解为0、1、2， x-1≠0且x-2≠0， ∴x≠1且x≠2， ∴x=0 则原式 【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入 【解析】【分析】（1）先计算觉渎职，负整数次幂，零次幂，代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再和并同类二次根式即可； （2）先把括号内分式通分，然后把除法化为乘法，然后约分化简，解不等式求出非负整数解，再根据分式有意义的条件得到x的值，代入求出分式的值即可. 9．【答案】C 【知识点】等边三角形的判定；根据三角函数值（范围）判断锐角的大小 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， 又 都是锐角， ， 此三角形的形状是等边三角形. 故选： . 【分析】根据非负数的性质可知 ， ；根据 都是锐角可知 ，从而判断三角形的形状. 10．【答案】C 【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则。 ∵E是AB边的中点， ∴。 在中，由勾股定理得： 。 ∵F是DE的中点， ∴。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵，∴， 又， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴， 代入线段长得， 解得，。 ∴。 在中， 。 故答案为：C 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，属于几何综合题型。解题时可先设正方形边长为参数，利用中点定义得到AE的长度，再根据勾股定理求出DE的长度，结合中点定义得到DF的长度；接着利用正方形对边平行的性质，得到内错角与相等，结合两个直角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明与相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式求出DG与CG的长度；通过线段和差计算出GF的长度后，在直角三角形CGF中，根据正切的定义“对边比邻边”，用GF的长度除以CG的长度，化简后即可得到的值。 11．【答案】 【知识点】平行四边形的性质；求余弦值；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC，∠A=∠C ∴∠A+∠B=180° ∵∠A+∠C=∠B ∴3∠A=180° ∴∠A=60° ∴ 故答案为：. 【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，∠A=∠C，再根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，再根据题意等量代换可得∠A=60°，进而即可求出余弦值. 12．【答案】32.04 【知识点】已知余弦值求边长；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】如图，过点A作，垂足为D， 因为， 所以BC=2BD， 又因为， 所以（cm）， ∴BC=2BD=32.04. 故答案为：32.04． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的三线合一得出BC=2BD，在Rt△ABD中，由∠A的余弦函数可算出BD，从而即可得出BC的长. 13．【答案】（1）③ （2）由折叠性质， AD=DF=3， ∠DFE=∠A=90°，故∠DFC=90°. 在 Rt△DFC中， ∴在 Rt△ADE中， ； （3）解：①当点 在点 的左侧时，如图， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴； ②当点 在点 的右侧时，如图， 同理可得，， 在中，， ∴； 综上所述，或； （4）或3或1 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质；求正切值 【解析】【解答】（1）解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， 而在点 的运动过程中，线段 、线段 与线段 不一定相等， ∴始终与线段 相等的是线段 ； 故答案为：③； （4）解：设， ①当点 在点 的右侧时，如图， ∵四边形 是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理（3）可得，，，， ∴， 在中，， ∴； ②当点 在点 的左侧时，如图，作于点 ， 同理①可得，， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得 或； 当时，点 和点 重合且是 的中点，点 是 的中点，满足 ，符合题意， 综上所述， 的长为或 或 ． 故答案为：或 或 ． 【分析】（1）由矩形的性质和轴对称的性质可得，根据等角对等边解答即可； （2）根据折叠的性质得到∠DFC=90°，然后根据勾股定理求出CF长，即可得到，然后根据正切的定义解答即可； （3）分为点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况，根据矩形的性质和轴对称图形的性质求出 与 ，再根据勾股定理求出 ，然后根据线段的和差解答即可； （4）设，分为点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两种情况，当点 在点 的右侧时，根据HL得到，即可得到，根据勾股定理求出 ，根据线段的和差解答 ；当点 在点 的左侧时，同理可得，作于点 ，即可得到四边形是矩形，进而可得，，在中根据勾股定理解出 的值即可． 14．【答案】（1）解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； （2）解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；求正切值；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）如图，作，垂足为，首先根据直角三角形斜边上的中线的性质得出 ．进而根据勾股定理可得出AB=．然后再根据直角三角形面积的两种求法可得出，进而得出； （2）过点作，交于，首先可证，得出，进而即可根据正切的定义得出． 15．【答案】D 【知识点】同角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算 【解析】【解答】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】 先将已知等式两边平方，再利用同角三角函数的平方关系，通过移项和化简求出值即可. 16．【答案】解：1，1，1； ①1； ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【知识点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． 【分析】 ①根据正弦函数定义，等于角A的对边与斜率的比值，等于角B的对边与斜率的比值，然后计算这两个正弦值的平方和； ②通过计算发现，对于直角三角形，角A和角B的正弦值平方和恒等于1，利用正弦函数定义和勾股定理可以证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $