第二十五章 一元二次方程 单元自主练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学一元二次方程单元复习卷，聚焦方程定义、解法及实际应用，通过文化情境与生活实例融合，培养抽象能力、模型意识与运算能力，适配单元知识巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|一元二次方程定义、根的判别式（如第3题）|结合《九章算术》门高问题（文化传承）| |填空题|6|实际传染问题（第12题）、等腰三角形边长（第13题）|生活情境体现应用意识| |解答题一|3|解方程、根的判别式证明（第18题）|基础运算与推理能力训练| |解答题二|3|几何动点（第22题）、新能源汽车增长率（第21题）|时代热点与几何直观结合，培养模型意识|

2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第二十五章一元二次方程周末课后单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 5．关于x的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 7．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(   )．    A．9 B．10 C．11 D．12 10．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 二、填空题（共6小题） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12．有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） 13．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 14．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度（m）与弹出的时间（s）满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间为______秒． 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题一（共3题） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19．已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 四、解答题二（共3题） 20．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 21．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 22．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年第一学期 人教版九年级数学第二十五章一元二次方程周末课后单元自主练习卷 一、单选题(共10小题） 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 4．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．关于x的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【详解】解：依题意得， 当，即时， 方程变为一元一次方程，解得， 此时方程有实根，故符合条件； 当，即时， 方程为一元二次方程，此时， 解得，此时需满足，但已在第一种情况中单独讨论并允许存在， 综上所述，， 故答案为：． 6．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 7．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 8．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 9．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则(   )．    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有4×(4+1)+2=22个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故选：C． 10．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（    ） A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s 【答案】D 【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm， 根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102， 解得：x1=2，x2=， 答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm． 故选：D． 二、填空题（共6小题） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：方程是一元二次方程， 的最高次数为2，即， 解得； 二次项系数不为0， ， 解得． 综上，． 故答案为： 12．有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） 【答案】11 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 13．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 14．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度（m）与弹出的时间（s）满足的关系式为．当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间为______秒． 【答案】 【详解】解：当时，可得：， 即， 解得：，， ∴在时，小球弹出上升的高度达到，小球上升至最高点后下落，在时，它的高度又为， ∴当小球第一次距离地面时，小球弹出的时间为秒． 故答案为： 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 16．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题一（共3题） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：移项、化简，得：， 因式分解，得， 则有， 解得． （2）解：移项，得， 即， 因式分解，得， 则有或， 解得，． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19．已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴， ∴m的值为． 四、解答题二（共3题） 20．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． 21．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)万元 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 22．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $