统计与成对数据的统计分析专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项以新高考统计考情为导向，构建“基础-重点-难点”递进体系，融合概念梳理与题型训练，突出数据分析与统计决策能力，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情分析|5年真题考情|高频考向与命题趋势归纳|从考情数据提炼核心考点| |基础考点|3考点×5题|抽样方法/数字特征计算/相关性判断|从数据获取到特征描述的基础逻辑| |重点考点|3考点×5题|回归方程求法/独立性检验步骤/样本估计方法|从数据关联到统计推断的深化逻辑| |难点突破|3考点×5题|非线性回归转化/统计决策规范|从单一分析到综合应用的拓展逻辑|

高三一轮复习专题：统计与成对数据的统计分析（新高考） 1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析 1.1 题型与分值 统计与成对数据的统计分析是新高考的必考内容，通常一道解答题（第 题左右），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷统计相关总分值通常在 分。 年份 卷别 主要考查内容 2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考分层抽样、频率分布直方图；解答题考独立性检验（2×2列联表）+ 概率 2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考平均数方差、百分位数；解答题考线性回归方程 + 预测 + 残差分析 2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考相关系数、茎叶图；解答题考独立性检验 + 条件概率 + 决策建议 2025 新高考卷 小题考频率分布直方图估计、标准差；解答题考非线性回归（对数变换）+ 拟合优度 2026 新高考卷 小题保持稳定，考数字特征与抽样；解答题考回归分析 + 独立性检验综合 + 实际决策 1.2 高频考向 1. 基础：随机抽样（分层抽样）、频率分布直方图、茎叶图、平均数/中位数/方差/百分位数； 2. 重点：一元线性回归方程（最小二乘法）、相关系数、2×2列联表与卡方独立性检验； 3. 难点：非线性回归转化、残差分析与拟合优度、独立性检验与概率交汇、统计决策与建议。 1.3 命题趋势 · 解答题常以实际问题为背景（医学、经济、体育、环境等），考查数据分析核心素养； · 回归分析和独立性检验交替出现，近年有综合考查趋势（一题两问分别考回归和检验）； · 小题常考频率分布直方图中平均数/方差/百分位数的估计、分层抽样的样本量计算； · 易错点：卡方公式记错、临界值混淆（）、回归方程必过样本中心点、百分位数计算规则。 2. 基础考点讲解 2.1 考点一：随机抽样与统计图表 2.1.1 概念梳理 1. 简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取个体，每个个体被抽到的机会相等。常用方法：抽签法、随机数法。 2. 分层抽样：将总体分成互不交叉的层，然后按一定比例从各层独立抽取。适用于总体由差异明显的几部分组成。各层抽取数量 该层个体数 抽样比。 3. 系统抽样：将总体平均分成若干部分，按规则从每部分抽取一个个体。适用于总体容量较大且个体无明显差异。 4. 频率分布直方图：横轴表示数据分组，纵轴表示 ；每个小矩形面积 该组频率；所有小矩形面积之和为 。 5. 茎叶图：中间一列表示茎（高位数字），两边表示叶（低位数字）；优点是保留原始数据，便于比较两组数据。 2.1.2 试题 单选1　某校有高中生 人，其中高一 人，高二 人，高三 人。为了解学生视力情况，采用分层抽样抽取 人，则高三年级应抽取（　　） A. 人　　B. 人　　C. 人　　D. 人 单选2　在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 不确定 多选3　下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（　　） A. 从全班50人中随机抽取5人　　B. 抽签法抽取样本 C. 随机数法抽取样本　　D. 按学号每隔10人抽取1人 多选4　关于频率分布直方图，下列正确的是（　　） A. 纵轴表示频率/组距　　B. 每个小矩形面积等于该组频率 C. 所有小矩形面积之和为1　　D. 可以通过直方图估计总体分布 填空5　某工厂生产产品，用系统抽样从 件产品中抽取 件，则分段间隔为 2.1.3 解析（高考标准步骤） 单选1：抽样比 ；高三抽取 人，选 B。 单选2：频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 （频率之和），选 C。 多选3：A、B、C均为简单随机抽样；D为系统抽样；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：A、B、C、D均为频率分布直方图的基本性质，全部正确，选 ABCD。 填空5：分段间隔 。 2.2 考点二：样本的数字特征 2.2.1 概念梳理 1. 平均数：，反映数据的平均水平。 2. 中位数：将数据从小到大排列，中间位置的数（ 为奇数取中间， 为偶数取中间两数的平均数）。 3. 众数：出现次数最多的数。 4. 方差：；标准差：。方差/标准差越小，数据越稳定。 5. 极差：最大值减最小值。 6. 百分位数：将 个数据从小到大排列，计算 ；若 不是整数，向上取整，对应位置的数为第 百分位数；若 是整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数。 2.2.2 试题 单选1　数据 的众数和中位数分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　已知数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　下列说法正确的是（　　） A. 平均数反映数据的平均水平　　B. 方差反映数据的离散程度 C. 中位数不受极端值影响　　D. 众数一定唯一 多选4　已知甲组数据的方差为 ，乙组数据的方差为 ，则（　　） A. 甲组数据比乙组稳定　　B. 乙组数据比甲组稳定 C. 甲组数据的标准差为 　　D. 乙组数据的极差一定更大 填空5　数据 的第 百分位数为 2.2.3 解析 单选1： 出现3次最多，众数为5；7个数中位数为第4个，即5，选 A。 单选2：；，选 A。 多选3：A、B、C正确；D错误，众数可能不唯一（多个数出现次数相同且最多）；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：方差越小越稳定，A正确B错误；标准差 ，C正确；方差大不代表极差一定大，D错误；A、C正确，选 AC。 填空5：，不是整数，向上取整为8，第8个数为 。 2.3 考点三：成对数据的统计相关性 2.3.1 概念梳理 1. 相关关系：两个变量之间存在的不确定关系（不同于函数关系的确定性）。 2. 正相关/负相关：一个变量增大时另一个变量也增大，为正相关；一个增大另一个减小，为负相关。 3. 散点图：将成对数据 描在坐标系中，观察点的分布趋势判断相关性。 4. 相关系数： ； 正相关， 负相关； 越接近 线性相关程度越强，越接近 越弱。通常 认为线性相关程度较强。 2.3.2 试题 单选1　下列两个变量之间的关系是相关关系的是（　　） A. 正方形的边长与面积　　B. 匀速行驶的路程与时间 C. 人的身高与体重　　D. 圆的半径与周长 单选2　若相关系数 ，则两个变量之间（　　） A. 高度正相关　　B. 高度负相关　　C. 低度正相关　　D. 不相关 多选3　关于相关系数 ，下列正确的是（　　） A. 　　B. 表示正相关 C. 越接近1，线性相关程度越强　　D. 表示两个变量没有任何关系 多选4　下列散点图中，表示两个变量正相关的是（　　） A. 点从左下到右上分布　　B. 点从左上到右下分布 C. 点集中在一条上升直线附近　　D. 点集中在一条下降直线附近 填空5　若相关系数 ，则两个变量之间是 相关（填"正"或"负"），线性相关程度较 （填"强"或"弱"）。 2.3.3 解析 单选1：A、B、D均为确定的函数关系；C身高与体重是相关关系，选 C。 单选2：， 接近1且为负，高度负相关，选 B。 多选3：A、B、C正确；D错误， 只表示没有线性相关关系，可能有非线性关系；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：正相关表现为点从左下到右上分布或集中在上升直线附近，A、C正确；B、D为负相关；选 AC。 填空5：，正相关；，线性相关程度较 强。答案：正，强。 3. 重点考点讲解 3.1 考点一：一元线性回归模型 3.1.1 概念梳理 1. 回归直线方程：，其中 1. 样本中心点：，回归直线必过样本中心点。 2. 最小二乘法：使残差平方和 最小的方法。 3. 残差：，残差图均匀分布在以0为中心的水平带状区域内，说明模型拟合效果好。 4. 决定系数：， 越接近1，拟合效果越好。 3.1.2 试题 单选1　已知 的数据如下表，回归直线方程为 ，则 （　　） 1 2 3 3 5 7 A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　回归直线 必过点（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　关于线性回归分析，下列正确的是（　　） A. 回归直线必过样本中心点 B. 残差平方和越小，模型拟合效果越好 C. 越接近1，拟合效果越好 D. 相关系数 越大，拟合效果越好 多选4　已知回归方程 ，则（　　） A. 每增加1个单位， 平均增加0.6个单位 B. 当 时， C. 两个变量正相关 D. 该方程可以用于预测 填空5　已知 满足回归方程 ，且 ，则 3.1.3 解析 单选1：；回归直线过 ，，，选 B。 单选2：回归直线必过样本中心点 ，选 D。 多选3：A、B、C正确；D错误，应是 越接近1拟合效果越好， 为负时绝对值大也拟合好；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：斜率0.6表示x每增1，y平均增0.6； 时 ；斜率为正，正相关；回归方程可用于预测；A、B、C、D全正确，选 ABCD。 填空5：回归直线过样本中心点，。 3.2 考点二：列联表与独立性检验 3.2.1 概念梳理 1. 2×2列联表： 合计 合计 1. 卡方统计量： 1. 独立性检验基本思想：提出零假设 ：两个变量独立（无关联）；计算 ；与临界值比较，若 大于临界值，则拒绝 ，认为两个变量有关联。 2. 常用临界值： （显著性水平） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 （临界值） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.2.2 试题 单选1　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 在犯错误概率不超过0.05的前提下认为两变量有关 B. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关 C. 有99%的把握认为两变量无关 D. 有95%的把握认为两变量无关 单选2　2×2列联表中，，则 约为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　关于独立性检验，下列正确的是（　　） A. 零假设 是两个变量独立 B. 越大，越有理由认为两变量有关 C. 若 ，则有99%的把握认为两变量有关 D. 独立性检验可以证明因果关系 多选4　下列关于2×2列联表的说法正确的是（　　） A. 　　B. C. 越大，两变量关系越强　　D. 列联表中每个数据都是非负整数 填空5　在独立性检验中，若有99%的把握认为两个变量有关，则 至少为 3.2.3 解析 单选1：，在犯错误概率不超过0.05的前提下认为有关；，达不到99%把握；选 A。 单选2：，；，不在选项。重新计算：，分母 ；分子 ；。最接近A 。选 A。 多选3：A、B、C正确；D错误，独立性检验只能判断关联，不能证明因果；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：A、B、D正确；C错误， 越大关系越强（需考虑样本量），且应说 越大关系越强；A、B、D正确，选 ABD。 填空5：99%把握对应显著性水平0.01，临界值为 。 3.3 考点三：用样本估计总体 3.3.1 概念梳理 1. 频率分布直方图估计平均数：，其中 为第 组的组中值， 为该组频率。 2. 频率分布直方图估计方差：。 3. 频率分布直方图估计百分位数：找到累计频率首次超过 的组，设该组下限为 ，组距为 ，前一组累计频率为 ，该组频率为 ，则第 百分位数 。 4. 分层抽样的平均数：若总体分为 层，各层平均数为 ，个体数为 ，则总体平均数 。 3.3.2 试题 单选1　某班50名学生数学成绩的频率分布直方图中， 组的频率为 ，则该组的频数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　频率分布直方图中， 组频率为 ， 组频率为 ， 组频率为 ，则中位数所在组为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定 多选3　在频率分布直方图中，可以估计的总体数字特征有（　　） A. 平均数　　B. 中位数　　C. 方差　　D. 百分位数 多选4　某校高一、高二、高三学生人数分别为 ，平均身高分别为 cm，则（　　） A. 全校学生总数为1500人　　B. 全校平均身高约为167.3 cm C. 高一学生人数占比最大　　D. 高三平均身高最高 填空5　频率分布直方图中， 频率0.1， 频率0.2， 频率0.4， 频率0.2， 频率0.1，则第60百分位数所在组为 3.3.3 解析 单选1：频数 ，选 B。 单选2：累计频率： 后0.2， 后0.5，中位数在累计频率达0.5的组，即 的上限，实际中位数为80？累计到 结束为0.5，中位数为80，属于 的下限。严格来说中位数在 组内（因为0.2<0.5≤0.5），选 B。 多选3：频率分布直方图可以估计平均数、中位数、方差、百分位数，A、B、C、D全正确，选 ABCD。 多选4：总数 ；平均身高 ；高一人数最多；高三平均身高最高；A、B、C、D全正确，选 ABCD。 填空5：累计频率： 后0.1， 后0.3， 后0.7；0.6在0.3到0.7之间，第60百分位数在 组。 4. 难点突破讲解 4.1 考点一：回归分析的综合应用 4.1.1 概念梳理 1. 非线性回归转化：对于非线性关系，通过变量变换转化为线性关系。常见类型： ① 指数型 ：取对数 ，令 ，则 线性； ② 幂函数型 ：取对数 ，令 ，则 线性。 1. 拟合优度判断：比较不同模型的 （决定系数）， 越接近1拟合越好；或比较残差平方和，越小越好。 2. 回归预测：利用回归方程对自变量在样本范围内的取值进行预测（内插预测较可靠，外推需谨慎）。 3. 回归系数的实际意义： 表示自变量每增加1个单位，因变量平均变化 个单位。 4.1.2 试题 单选1　已知 与 满足 ，令 ，得到线性回归方程 ，则 分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　两个回归模型的决定系数分别为 ，，则（　　） A. 模型1拟合效果更好　　B. 模型2拟合效果更好 C. 两个模型拟合效果相同　　D. 无法比较 多选3　关于回归分析，下列正确的是（　　） A. 非线性回归可以通过变量变换转化为线性回归 B. 越接近1，残差平方和越小 C. 回归方程可以用于样本范围内的预测 D. 残差图中残差点均匀分布在0附近，说明模型合适 多选4　某产品的广告费 （万元）与销售额 （万元）的回归方程为 ，则（　　） A. 广告费每增加1万元，销售额平均增加8万元 B. 当广告费为5万元时，销售额预测为55万元 C. 广告费与销售额正相关 D. 该方程表明广告费是销售额的唯一影响因素 填空5　已知 与 满足 ，令 ，得线性回归方程 ，则 ， 4.1.3 解析 单选1：，，故 ，选 A。 单选2： 越接近1拟合越好，，模型1更好，选 A。 多选3：A、B、C、D均为回归分析的正确结论，全部正确，选 ABCD。 多选4：斜率8表示每增1万元广告费，销售额平均增8万元； 时 ；斜率为正，正相关；D错误，回归方程只表明相关关系，不是唯一因素；A、B、C正确，选 ABC。 填空5：，，故 ，。 4.2 考点二：独立性检验的综合应用 4.2.1 概念梳理 1. 独立性检验完整步骤：①提出零假设 ：两个变量独立；②根据列联表计算 ；③与临界值比较；④作出判断（拒绝或不拒绝 ）；⑤给出实际结论。 2. 结论表述规范：若 ，则"在犯错误的概率不超过 的前提下，认为两个变量有关联"（或"有 的把握认为两个变量有关联"）；若 ，则"没有充分证据认为两个变量有关联"。 3. 注意事项：①独立性检验只判断关联，不判断因果；②样本量越大，检验越可靠；③ 公式中 的平方，与顺序无关。 4.2.2 试题 单选1　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 有95%的把握认为两变量有关　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 有99.5%的把握认为两变量有关　　D. 没有充分证据认为两变量有关 单选2　某医疗机构为研究吸烟与患肺病的关系，随机调查了100人，得到2×2列联表，计算得 ，则（　　） A. 在犯错误概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关 B. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关 C. 吸烟一定导致患肺病 D. 吸烟与患肺病无关 多选3　在独立性检验中，若 ，则下列正确的是（　　） A. 拒绝零假设 　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关　　D. 两变量存在因果关系 多选4　关于独立性检验的结论，下列正确的是（　　） A. "有95%的把握认为有关"意味着还有5%的可能性判断错误 B. 若不拒绝 ，说明两变量一定独立 C. 独立性检验的结论是统计推断，不是绝对结论 D. 样本量越大，检验结论越可靠 填空5　在独立性检验中，若在犯错误概率不超过0.005的前提下认为两变量有关，则 至少为 4.2.3 解析 单选1：，有99%把握认为有关；，达不到99.5%；选 B。 单选2：，在犯错误概率不超过0.05的前提下认为有关；，达不到99%；C、D错误；选 A。 多选3：，拒绝 ，有99%把握认为有关，A、B、C正确；D错误，关联不等于因果；A、B、C正确，选 ABC。 多选4：A正确，95%把握意味着5%犯错概率；B错误，不拒绝 只说明没有充分证据，不代表一定独立；C正确，统计推断有不确定性；D正确，大样本更可靠；A、C、D正确，选 ACD。 填空5：0.005对应临界值 。 4.3 考点三：统计综合问题 4.3.1 概念梳理 1. 统计与概率交汇：用频率估计概率，结合古典概型、条件概率、分布列等知识综合考查。 2. 抽样与数字特征结合：先分层抽样确定样本，再计算样本的平均数、方差等数字特征，进而估计总体。 3. 数据分析与决策：根据统计结果（平均数、方差、回归预测、独立性检验）给出实际建议或决策，需结合数据说明理由。 4. 综合解题策略：①读懂题意和图表；②明确考查的统计方法；③按公式规范计算；④结合实际背景给出结论和建议。 4.3.2 试题 单选1　某工厂从一批产品中随机抽取100件，其中合格品95件，则估计这批产品的合格率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　甲、乙两名运动员近5次比赛成绩的平均数相同，甲的方差为2，乙的方差为5，则（　　） A. 甲成绩更稳定　　B. 乙成绩更稳定 C. 甲、乙成绩一样稳定　　D. 无法比较 多选3　某班统计了50名学生的数学成绩，得到平均数为80，方差为25，则（　　） A. 标准差为5　　B. 约有68%的学生成绩在75到85之间 C. 极差一定不超过20　　D. 中位数一定为80 多选4　为比较两种肥料的效果，分别在10块试验田使用，得到产量数据，下列可以用于比较的统计量有（　　） A. 平均产量　　B. 产量的方差　　C. 产量的中位数　　D. 产量的极差 填空5　某班40名学生中，男生25人平均身高172cm，女生15人平均身高162cm，则全班平均身高为 cm 4.3.3 解析 单选1：合格率 ，用频率估计概率，选 C。 单选2：方差越小越稳定，甲方差2<乙方差5，甲更稳定，选 A。 多选3：标准差 ，A正确；若成绩近似正态分布，约68%在 即75到85之间，B正确；C错误，方差25不能推出极差不超过20；D错误，平均数80不代表中位数80；A、B正确，选 AB。 多选4：比较两种肥料效果可以用平均产量（平均水平）、方差（稳定性）、中位数（中间水平）、极差（波动范围），A、B、C、D全正确，选 ABCD。 填空5：全班平均身高 cm。 5. 跟踪训练 5.1 试题 1.（单选）　某校有学生 人，其中高一 人，高二 人，高三 人。采用分层抽样抽取 人，则高二年级应抽取（　　） A. 人　　B. 人　　C. 人　　D. 人 2.（单选）　数据 的方差为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（单选）　已知回归方程 ，则当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（单选）　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 有90%的把握认为两变量有关　　B. 有95%的把握认为两变量有关 C. 有99%的把握认为两变量有关　　D. 没有充分证据认为两变量有关 5.（单选）　数据 的第 百分位数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.（单选）　已知变量 的相关系数 ，则（　　） A. 高度正相关　　B. 高度负相关　　C. 低度正相关　　D. 不相关 7.（单选）　频率分布直方图中， 频率0.1， 频率0.2， 频率0.3， 频率0.25， 频率0.15，则平均数估计值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.（单选）　已知 与 满足 ，令 ，得 ，则当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9.（多选）　下列属于分层抽样适用场景的是（　　） A. 总体由差异明显的几部分组成　　B. 总体容量较小 C. 调查不同年级学生的视力情况　　D. 调查某班学生的身高 10.（多选）　关于线性回归方程 ，下列正确的是（　　） A. 必过样本中心点 　　B. 是回归系数 C. 可以用 计算截距　　D. 越大，相关程度越强 11.（多选）　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 拒绝零假设 　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关　　D. 两变量一定存在因果关系 12.（填空）　已知数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的方差为 13.（填空）　某班50名学生的数学成绩频率分布直方图中， 组的频率为 ，则该组的频数为 14.（填空）　已知2×2列联表中 ，则 （保留两位小数） 5.2 解析（高考标准步骤） 1.　抽样比 ；高二抽取 人，选 A。 2.　平均数 ；方差 ，选 B。 3.　，选 C。 4.　，有95%把握认为有关；，达不到99%；选 B。 5.　，是整数，第40百分位数为第2项和第3项的平均数 ，选 C。 6.　， 接近1且为负，高度负相关，选 B。 7.　组中值分别为5,15,25,35,45；平均数 ，选 B。 8.　，，选 B。 9.　分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成，A、C正确；B、D适合简单随机抽样；选 AC。 10.　A、B、C正确；D错误， 大不代表相关程度强，相关程度由相关系数 衡量；A、B、C正确，选 ABC。 11.　，拒绝 ，有99%把握认为有关，A、B、C正确；D错误，关联不等于因果；A、B、C正确，选 ABC。 12.　。 13.　频数 。 14.　，；。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习专题：统计与成对数据的统计分析（新高考） 1. 2022—2026年全国新高考考查情况分析 1.1 题型与分值 统计与成对数据的统计分析是新高考的必考内容，通常一道解答题（第 题左右），分值 分；同时 道选择或填空题，分值 分。全卷统计相关总分值通常在 分。 年份 卷别 主要考查内容 2022 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考分层抽样、频率分布直方图；解答题考独立性检验（2×2列联表）+ 概率 2023 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考平均数方差、百分位数；解答题考线性回归方程 + 预测 + 残差分析 2024 新高考Ⅰ、Ⅱ卷 小题考相关系数、茎叶图；解答题考独立性检验 + 条件概率 + 决策建议 2025 新高考卷 小题考频率分布直方图估计、标准差；解答题考非线性回归（对数变换）+ 拟合优度 2026 新高考卷 小题保持稳定，考数字特征与抽样；解答题考回归分析 + 独立性检验综合 + 实际决策 1.2 高频考向 1. 基础：随机抽样（分层抽样）、频率分布直方图、茎叶图、平均数/中位数/方差/百分位数； 2. 重点：一元线性回归方程（最小二乘法）、相关系数、2×2列联表与卡方独立性检验； 3. 难点：非线性回归转化、残差分析与拟合优度、独立性检验与概率交汇、统计决策与建议。 1.3 命题趋势 · 解答题常以实际问题为背景（医学、经济、体育、环境等），考查数据分析核心素养； · 回归分析和独立性检验交替出现，近年有综合考查趋势（一题两问分别考回归和检验）； · 小题常考频率分布直方图中平均数/方差/百分位数的估计、分层抽样的样本量计算； · 易错点：卡方公式记错、临界值混淆（）、回归方程必过样本中心点、百分位数计算规则。 2. 基础考点讲解 2.1 考点一：随机抽样与统计图表 2.1.1 概念梳理 1. 简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取个体，每个个体被抽到的机会相等。常用方法：抽签法、随机数法。 2. 分层抽样：将总体分成互不交叉的层，然后按一定比例从各层独立抽取。适用于总体由差异明显的几部分组成。各层抽取数量 该层个体数 抽样比。 3. 系统抽样：将总体平均分成若干部分，按规则从每部分抽取一个个体。适用于总体容量较大且个体无明显差异。 4. 频率分布直方图：横轴表示数据分组，纵轴表示 ；每个小矩形面积 该组频率；所有小矩形面积之和为 。 5. 茎叶图：中间一列表示茎（高位数字），两边表示叶（低位数字）；优点是保留原始数据，便于比较两组数据。 2.1.2 试题 单选1　某校有高中生 人，其中高一 人，高二 人，高三 人。为了解学生视力情况，采用分层抽样抽取 人，则高三年级应抽取（　　） A. 人　　B. 人　　C. 人　　D. 人 单选2　在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 不确定 多选3　下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（　　） A. 从全班50人中随机抽取5人　　B. 抽签法抽取样本 C. 随机数法抽取样本　　D. 按学号每隔10人抽取1人 多选4　关于频率分布直方图，下列正确的是（　　） A. 纵轴表示频率/组距　　B. 每个小矩形面积等于该组频率 C. 所有小矩形面积之和为1　　D. 可以通过直方图估计总体分布 填空5　某工厂生产产品，用系统抽样从 件产品中抽取 件，则分段间隔为 2.2 考点二：样本的数字特征 2.2.1 概念梳理 1. 平均数：，反映数据的平均水平。 2. 中位数：将数据从小到大排列，中间位置的数（ 为奇数取中间， 为偶数取中间两数的平均数）。 3. 众数：出现次数最多的数。 4. 方差：；标准差：。方差/标准差越小，数据越稳定。 5. 极差：最大值减最小值。 6. 百分位数：将 个数据从小到大排列，计算 ；若 不是整数，向上取整，对应位置的数为第 百分位数；若 是整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数。 2.2.2 试题 单选1　数据 的众数和中位数分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　已知数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　下列说法正确的是（　　） A. 平均数反映数据的平均水平　　B. 方差反映数据的离散程度 C. 中位数不受极端值影响　　D. 众数一定唯一 多选4　已知甲组数据的方差为 ，乙组数据的方差为 ，则（　　） A. 甲组数据比乙组稳定　　B. 乙组数据比甲组稳定 C. 甲组数据的标准差为 　　D. 乙组数据的极差一定更大 填空5　数据 的第 百分位数为 2.3 考点三：成对数据的统计相关性 2.3.1 概念梳理 1. 相关关系：两个变量之间存在的不确定关系（不同于函数关系的确定性）。 2. 正相关/负相关：一个变量增大时另一个变量也增大，为正相关；一个增大另一个减小，为负相关。 3. 散点图：将成对数据 描在坐标系中，观察点的分布趋势判断相关性。 4. 相关系数： ； 正相关， 负相关； 越接近 线性相关程度越强，越接近 越弱。通常 认为线性相关程度较强。 2.3.2 试题 单选1　下列两个变量之间的关系是相关关系的是（　　） A. 正方形的边长与面积　　B. 匀速行驶的路程与时间 C. 人的身高与体重　　D. 圆的半径与周长 单选2　若相关系数 ，则两个变量之间（　　） A. 高度正相关　　B. 高度负相关　　C. 低度正相关　　D. 不相关 多选3　关于相关系数 ，下列正确的是（　　） A. 　　B. 表示正相关 C. 越接近1，线性相关程度越强　　D. 表示两个变量没有任何关系 多选4　下列散点图中，表示两个变量正相关的是（　　） A. 点从左下到右上分布　　B. 点从左上到右下分布 C. 点集中在一条上升直线附近　　D. 点集中在一条下降直线附近 填空5　若相关系数 ，则两个变量之间是 相关（填"正"或"负"），线性相关程度较 （填"强"或"弱"）。 3. 重点考点讲解 3.1 考点一：一元线性回归模型 3.1.1 概念梳理 1. 回归直线方程：，其中 1. 样本中心点：，回归直线必过样本中心点。 2. 最小二乘法：使残差平方和 最小的方法。 3. 残差：，残差图均匀分布在以0为中心的水平带状区域内，说明模型拟合效果好。 4. 决定系数：， 越接近1，拟合效果越好。 3.1.2 试题 单选1　已知 的数据如下表，回归直线方程为 ，则 （　　） 1 2 3 3 5 7 A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　回归直线 必过点（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　关于线性回归分析，下列正确的是（　　） A. 回归直线必过样本中心点 B. 残差平方和越小，模型拟合效果越好 C. 越接近1，拟合效果越好 D. 相关系数 越大，拟合效果越好 多选4　已知回归方程 ，则（　　） A. 每增加1个单位， 平均增加0.6个单位 B. 当 时， C. 两个变量正相关 D. 该方程可以用于预测 填空5　已知 满足回归方程 ，且 ，则 3.2 考点二：列联表与独立性检验 3.2.1 概念梳理 1. 2×2列联表： 合计 合计 1. 卡方统计量： 1. 独立性检验基本思想：提出零假设 ：两个变量独立（无关联）；计算 ；与临界值比较，若 大于临界值，则拒绝 ，认为两个变量有关联。 2. 常用临界值： （显著性水平） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 （临界值） 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.2.2 试题 单选1　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 在犯错误概率不超过0.05的前提下认为两变量有关 B. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关 C. 有99%的把握认为两变量无关 D. 有95%的把握认为两变量无关 单选2　2×2列联表中，，则 约为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 多选3　关于独立性检验，下列正确的是（　　） A. 零假设 是两个变量独立 B. 越大，越有理由认为两变量有关 C. 若 ，则有99%的把握认为两变量有关 D. 独立性检验可以证明因果关系 多选4　下列关于2×2列联表的说法正确的是（　　） A. 　　B. C. 越大，两变量关系越强　　D. 列联表中每个数据都是非负整数 填空5　在独立性检验中，若有99%的把握认为两个变量有关，则 至少为 3.3 考点三：用样本估计总体 3.3.1 概念梳理 1. 频率分布直方图估计平均数：，其中 为第 组的组中值， 为该组频率。 2. 频率分布直方图估计方差：。 3. 频率分布直方图估计百分位数：找到累计频率首次超过 的组，设该组下限为 ，组距为 ，前一组累计频率为 ，该组频率为 ，则第 百分位数 。 4. 分层抽样的平均数：若总体分为 层，各层平均数为 ，个体数为 ，则总体平均数 。 3.3.2 试题 单选1　某班50名学生数学成绩的频率分布直方图中， 组的频率为 ，则该组的频数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　频率分布直方图中， 组频率为 ， 组频率为 ， 组频率为 ，则中位数所在组为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定 多选3　在频率分布直方图中，可以估计的总体数字特征有（　　） A. 平均数　　B. 中位数　　C. 方差　　D. 百分位数 多选4　某校高一、高二、高三学生人数分别为 ，平均身高分别为 cm，则（　　） A. 全校学生总数为1500人　　B. 全校平均身高约为167.3 cm C. 高一学生人数占比最大　　D. 高三平均身高最高 填空5　频率分布直方图中， 频率0.1， 频率0.2， 频率0.4， 频率0.2， 频率0.1，则第60百分位数所在组为 4. 难点突破讲解 4.1 考点一：回归分析的综合应用 4.1.1 概念梳理 1. 非线性回归转化：对于非线性关系，通过变量变换转化为线性关系。常见类型： ① 指数型 ：取对数 ，令 ，则 线性； ② 幂函数型 ：取对数 ，令 ，则 线性。 1. 拟合优度判断：比较不同模型的 （决定系数）， 越接近1拟合越好；或比较残差平方和，越小越好。 2. 回归预测：利用回归方程对自变量在样本范围内的取值进行预测（内插预测较可靠，外推需谨慎）。 3. 回归系数的实际意义： 表示自变量每增加1个单位，因变量平均变化 个单位。 4.1.2 试题 单选1　已知 与 满足 ，令 ，得到线性回归方程 ，则 分别为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　两个回归模型的决定系数分别为 ，，则（　　） A. 模型1拟合效果更好　　B. 模型2拟合效果更好 C. 两个模型拟合效果相同　　D. 无法比较 多选3　关于回归分析，下列正确的是（　　） A. 非线性回归可以通过变量变换转化为线性回归 B. 越接近1，残差平方和越小 C. 回归方程可以用于样本范围内的预测 D. 残差图中残差点均匀分布在0附近，说明模型合适 多选4　某产品的广告费 （万元）与销售额 （万元）的回归方程为 ，则（　　） A. 广告费每增加1万元，销售额平均增加8万元 B. 当广告费为5万元时，销售额预测为55万元 C. 广告费与销售额正相关 D. 该方程表明广告费是销售额的唯一影响因素 填空5　已知 与 满足 ，令 ，得线性回归方程 ，则 ， 4.2 考点二：独立性检验的综合应用 4.2.1 概念梳理 1. 独立性检验完整步骤：①提出零假设 ：两个变量独立；②根据列联表计算 ；③与临界值比较；④作出判断（拒绝或不拒绝 ）；⑤给出实际结论。 2. 结论表述规范：若 ，则"在犯错误的概率不超过 的前提下，认为两个变量有关联"（或"有 的把握认为两个变量有关联"）；若 ，则"没有充分证据认为两个变量有关联"。 3. 注意事项：①独立性检验只判断关联，不判断因果；②样本量越大，检验越可靠；③ 公式中 的平方，与顺序无关。 4.2.2 试题 单选1　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 有95%的把握认为两变量有关　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 有99.5%的把握认为两变量有关　　D. 没有充分证据认为两变量有关 单选2　某医疗机构为研究吸烟与患肺病的关系，随机调查了100人，得到2×2列联表，计算得 ，则（　　） A. 在犯错误概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关 B. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺病有关 C. 吸烟一定导致患肺病 D. 吸烟与患肺病无关 多选3　在独立性检验中，若 ，则下列正确的是（　　） A. 拒绝零假设 　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关　　D. 两变量存在因果关系 多选4　关于独立性检验的结论，下列正确的是（　　） A. "有95%的把握认为有关"意味着还有5%的可能性判断错误 B. 若不拒绝 ，说明两变量一定独立 C. 独立性检验的结论是统计推断，不是绝对结论 D. 样本量越大，检验结论越可靠 填空5　在独立性检验中，若在犯错误概率不超过0.005的前提下认为两变量有关，则 至少为 4.3 考点三：统计综合问题 4.3.1 概念梳理 1. 统计与概率交汇：用频率估计概率，结合古典概型、条件概率、分布列等知识综合考查。 2. 抽样与数字特征结合：先分层抽样确定样本，再计算样本的平均数、方差等数字特征，进而估计总体。 3. 数据分析与决策：根据统计结果（平均数、方差、回归预测、独立性检验）给出实际建议或决策，需结合数据说明理由。 4. 综合解题策略：①读懂题意和图表；②明确考查的统计方法；③按公式规范计算；④结合实际背景给出结论和建议。 4.3.2 试题 单选1　某工厂从一批产品中随机抽取100件，其中合格品95件，则估计这批产品的合格率为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 单选2　甲、乙两名运动员近5次比赛成绩的平均数相同，甲的方差为2，乙的方差为5，则（　　） A. 甲成绩更稳定　　B. 乙成绩更稳定 C. 甲、乙成绩一样稳定　　D. 无法比较 多选3　某班统计了50名学生的数学成绩，得到平均数为80，方差为25，则（　　） A. 标准差为5　　B. 约有68%的学生成绩在75到85之间 C. 极差一定不超过20　　D. 中位数一定为80 多选4　为比较两种肥料的效果，分别在10块试验田使用，得到产量数据，下列可以用于比较的统计量有（　　） A. 平均产量　　B. 产量的方差　　C. 产量的中位数　　D. 产量的极差 填空5　某班40名学生中，男生25人平均身高172cm，女生15人平均身高162cm，则全班平均身高为 cm 5. 跟踪训练 5.1 试题 1.（单选）　某校有学生 人，其中高一 人，高二 人，高三 人。采用分层抽样抽取 人，则高二年级应抽取（　　） A. 人　　B. 人　　C. 人　　D. 人 2.（单选）　数据 的方差为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3.（单选）　已知回归方程 ，则当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4.（单选）　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 有90%的把握认为两变量有关　　B. 有95%的把握认为两变量有关 C. 有99%的把握认为两变量有关　　D. 没有充分证据认为两变量有关 5.（单选）　数据 的第 百分位数为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.（单选）　已知变量 的相关系数 ，则（　　） A. 高度正相关　　B. 高度负相关　　C. 低度正相关　　D. 不相关 7.（单选）　频率分布直方图中， 频率0.1， 频率0.2， 频率0.3， 频率0.25， 频率0.15，则平均数估计值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8.（单选）　已知 与 满足 ，令 ，得 ，则当 时，（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9.（多选）　下列属于分层抽样适用场景的是（　　） A. 总体由差异明显的几部分组成　　B. 总体容量较小 C. 调查不同年级学生的视力情况　　D. 调查某班学生的身高 10.（多选）　关于线性回归方程 ，下列正确的是（　　） A. 必过样本中心点 　　B. 是回归系数 C. 可以用 计算截距　　D. 越大，相关程度越强 11.（多选）　在独立性检验中，若 ，则（　　） A. 拒绝零假设 　　B. 有99%的把握认为两变量有关 C. 在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两变量有关　　D. 两变量一定存在因果关系 12.（填空）　已知数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的方差为 13.（填空）　某班50名学生的数学成绩频率分布直方图中， 组的频率为 ，则该组的频数为 14.（填空）　已知2×2列联表中 ，则 （保留两位小数） 学科网（北京）股份有限公司 $