成对数据的统计分析 专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦成对数据统计分析，以题载知构建“数据获取-模型选择-推断预测”完整训练链，强化数据观念与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |独立性检验|2题|χ²计算与推断|从列联表数据到关联性判断，强化统计推断思维| |回归模型分析|2题|模型选择与非线性变换|依据散点图特征选择模型，通过对数变换实现线性化| |线性回归应用|2题|方程求解与预测|从样本数据到回归方程建立，结合残差分析提升预测可靠性|

成对数据的统计分析 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表： 认为工作量大 认为工作量不大 合计 男士 40 20 60 女士 20 20 40 合计 60 40 100 若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不大于(　　) 附：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.025 0.01 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01 答案　A 解析　χ2=≈2.778>2.706=x0.1， 根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为此推断不成立，所以这种推断犯错误的概率不大于0.1. 2.雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v(单位：m/s)与直径d(单位：mm)的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是(　　) A.v=a+b B.v=a+bd C.v=a+bd2 D.v=a+bed 答案　A 解析　 由一次函数、二次函数及指数函数的性质可知，B，C，D不符合散点的变化趋势， 由散点图分布可知，散点图分布在一个幂函数的图象附近，因此，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是v=a+b. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 3.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b=12a，则(　　) 患疾病A 不患疾病A 合计 过量饮酒 3a b 不过量饮酒 a 2b 合计 400 参考公式与临界值表：χ2=. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.任意一人不患疾病A的概率为0.9 B.任意一人不过量饮酒的概率为 C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为 D.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关 答案　ACD 解析　由已知得4a+3b=400，又b=12a， 所以a=10，b=120. 任意一人不患疾病A的概率为=0.9，所以A正确； 任意一人不过量饮酒的概率为=，所以B错误； 任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为=，所以C正确； 对于D，2×2列联表如下： 患疾病A 不患疾病A 合计 过量饮酒 30 120 150 不过量饮酒 10 240 250 合计 40 360 400 零假设为H0：过量饮酒与患疾病A无关， 则χ2==≈26.67， 由于26.67>10.828， 依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确. 4.某人工智能公司近5年的利润情况如表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为=1.2x+，则下列说法正确的是(　　) A.=0.6 B.变量y与x之间的样本相关系数r<0 C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D.残差绝对值的最大值为0.4 答案　ACD 解析　依题意得=×(1+2+3+4+5)=3， =×(2+3+4+5+7)=4.2， 因为经验回归方程=1.2x+必过点(，)， 则4.2=1.2×3+，解得=0.6，故A正确； 经验回归方程=1.2x+0.6，则x与y正相关，即样本相关系数r>0，故B错误； 当x=6时，=1.2×6+0.6=7.8，即预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确； 当x=1时，=1.2×1+0.6=1.8，残差绝对值为|1.8-2|=0.2， 当x=2时，=1.2×2+0.6=3，残差绝对值为|3-3|=0， 当x=3时，=1.2×3+0.6=4.2，残差绝对值为|4.2-4|=0.2， 当x=4时，=1.2×4+0.6=5.4，残差绝对值为|5.4-5|=0.4， 当x=5时，=1.2×5+0.6=6.6，残差绝对值为|6.6-7|=0.4， 所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确. 三、填空题(共5分) 5.已知变量y与x线性相关，由样本点(1，y1)，(2，y2)，…，(5，y5)求得的经验回归方程为=x+，若点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，=3，则yi=　　　　. 答案　12 解析　由点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，可得2=×1+，解得=， 所以经验回归方程为=x+， 又由点(3，)在经验回归直线上，可得=×3+=， 所以yi=5×=5×=12. 四、解答题(共13分) 6.(13分)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据. (xi-)(yi-) (xi-)(wi-) 73.5 3.85 -95 -2.24 表中：wi=ln(yi-25)，=wi. (1)根据散点图判断，①y=a+bx与②y=d·cx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(7分) (2)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(6分) 参考数据：e-0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. 解　(1)由散点图知，更适宜的回归方程为②， 即y=d·cx+25. 由y=d·cx+25，得y-25=d·cx，两边取自然对数，得ln(y-25)=ln d+xln c， 令w=ln(y-25)，则w=ln d+xln c， =xi==3， (xi-)2=(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32=28， 结合表中数据， 得ln c===-0.08， 结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92，由ln d=-ln c=3.85-3×(-0.08)=4.09，得d=e4.09≈60， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为y=60×0.92x+25. (2)依题意，茶水温度降至60 ℃口感最佳， 即60=60×0.92x+25， 整理得xln 0.92=ln ， 于是xln 0.92=ln 7-2ln 2-ln 3≈1.9-2×0.7-1.1=-0.6， 解得x≈=7.5， 所以大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感. .第 1 页 共 7 页 第 2 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成对数据的统计分析 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分，共10分) 1.某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表： 认为工作量大 认为工作量不大 合计 男士 40 20 60 女士 20 20 40 合计 60 40 100 若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不大于(　　) 附：χ2=，n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.025 0.01 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01 2.雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v(单位：m/s)与直径d(单位：mm)的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是(　　) A.v=a+b B.v=a+bd C.v=a+bd2 D.v=a+bed 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 3.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b=12a，则(　　) 患疾病A 不患疾病A 合计 过量饮酒 3a b 不过量饮酒 a 2b 合计 400 参考公式与临界值表：χ2=. α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.任意一人不患疾病A的概率为0.9 B.任意一人不过量饮酒的概率为 C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为 D.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关 4.某人工智能公司近5年的利润情况如表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为=1.2x+，则下列说法正确的是(　　) A.=0.6 B.变量y与x之间的样本相关系数r<0 C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D.残差绝对值的最大值为0.4 三、填空题(共5分) 5.已知变量y与x线性相关，由样本点(1，y1)，(2，y2)，…，(5，y5)求得的经验回归方程为=x+，若点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，=3，则yi=　　　　. 四、解答题(共13分) 6.(13分)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据. (xi-)(yi-) (xi-)(wi-) 73.5 3.85 -95 -2.24 表中：wi=ln(yi-25)，=wi. (1)根据散点图判断，①y=a+bx与②y=d·cx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(7分) (2)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(6分) 参考数据：e-0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. .第 1 页 共 7 页 第 2 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $