22.3相似三角形讲义 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似三角形核心知识点，以定义为基础，系统梳理性质（对应角相等、对应边比相等，周长及对应线段比等于相似比，面积比为相似比平方）、判定（平行线法、三边法等）、判定与性质综合应用及实际应用（测量高度、距离等）的完整知识脉络。 资料精选中考真题与模拟题，题型多样且参考答案解析详尽，通过实际问题（如测量树高、河宽）培养学生用数学眼光观察现实世界，借助推理证明与比例计算发展数学思维，规范解题步骤提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

华东师大版（2024）九年级上册22.3相似三角形 【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋•淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 2.（2025•柳州模拟）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 3.（2025秋•江夏区校级月考）两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为______． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2025春•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠ADE=∠C B． C．AD•BC=AC•DE D．AD•AB=AC•AE 2.（2024•汨罗市开学）已知△ABC中，点D在边AC上．下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（　　） A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D． 3.（2025秋•浦东新区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有 ______个． 4.（2024秋•长春校级月考）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②△DCF∽△AGF；；④△AGF为正三角形，其中正确结论有______． 【知识点3】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025•电白区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：81 2.（2025•北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形． ①∠A=∠BCD； ②∠A+∠BCD=∠ADC； ③． 所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3.（2025秋•合川区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AB=10，DE=3，则BC的长度为______． 【知识点4】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m,则树高为（　　）m. A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 2.（2024•柳州一模）某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,则河的宽度PQ是（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 3.（2025秋•怀化期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm,蜡烛AB与凸透镜的距离BE为30cm,蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为10cm,则像CD的高为______cm. 华东师大版（2024）九年级上册22.3相似三角形 (参考答案) 【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋•淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（　　） A．25° B．30° C．55° D．100° 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理求出∠C=25°，由相似三角形的性质推出∠C′=∠C=25°． 【解答】解：∵∠A=55°，∠B=100°， ∴∠C=180°-55°-100°=25°， ∵ABC∽△A'B'C， ∴∠C′=∠C=25°． 故选：A． 2.（2025•柳州模拟）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 【答案】B 【分析】由相似三角形的对应边的比相等推出AB：DE=AC：EC，即可求出DE的长． 【解答】解：∵△ABC∽△EDC， ∴AB：DE=AC：EC， ∵AC：EC=3：4，AB=6， ∴DE=8． 故选：B． 3.（2025秋•江夏区校级月考）两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为______． 【答案】2：3． 【分析】相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，由此即可得到答案． 【解答】两个相似三角形的面积比是4：9，那么这两个三角形最大角的角平分线之比为2：3． 故答案为：2：3． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2025春•长宁区校级月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A．∠ADE=∠C B． C．AD•BC=AC•DE D．AD•AB=AC•AE 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【解答】解：A．由∠ADE=∠C，∠A=∠A，可判定△ADE∽△ACB，故A选项正确，不符合题意； B．由可判定△ADE∽△ACB，故B选项正确，不符合题意； C．由AD•BC=AC•DE可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意； D．由AD•AB=AC•AE可得且∠A=∠A，可判定△ADE∽△ACB，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 2.（2024•汨罗市开学）已知△ABC中，点D在边AC上．下列条件中，不能推断△ADB与△ABC相似的是（　　） A．∠ADB=∠ABC B．∠ABD=∠C C． D． 【答案】D 【分析】根据题意根据选项逐一判断即可得到本题答案． 【解答】解：∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故A选项能判定； ∵∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故B选项能判定； ∵，∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC，故C选项能判定； ∵，条件不足，故D选项不能判定； 故选：D． 3.（2025秋•浦东新区校级期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有 ______个． 【答案】6． 【分析】根据网格画出使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形ADE只算一个）的格点三角形即可． 【解答】解：如图， 所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个． 故答案为：6． 4.（2024秋•长春校级月考）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DF⊥AE于点F，连接CF，FG⊥CF交AD于点G，下列结论：①CF=CD；②△DCF∽△AGF；；④△AGF为正三角形，其中正确结论有______． 【答案】①②． 【分析】过点C作CM⊥DF于点M，根据同角的余角相等等量代换得到∠ADF=∠DCM，结合正方形的性质可证得△DAF≌△CDM（AAS），可得CM=DF，DM=AF，再通过角的等量代换证明△ABE∽△DFA，可得，结合E为BC中点，通过线段的等量代换得到，即CM垂直平分DF，从而得证CF=CD，故可判断结论①；分别证得DG=FG，AG=FG，可得AG=DG，即G为AD中点，再根据角的等量代换证得∠GAF=∠AFG=∠CDF=∠CFD，可得△DCF∽△AGF，故可判断结论②；设AF=a,则DF=2a,利用勾股定理和线段和差关系分别用a表示出BE、EF，进而可判断结论③；由③可知AF=a,，可得AF≠AG，故可判断结论④． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥DF于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠ADC=90°， ∴∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°， 又∵CM⊥FD， ∴∠DMC=90°， ∴∠CDF+∠DCM=180°-90°=90°， ∴∠ADF=∠DCM， ∵DF⊥AE，CM⊥DF， ∴∠AFD=∠CMD=90°， 在△DAF和△CDM中，  ， ∴△DAF≌△CDM（AAS）， ∴CM=DF，DM=AF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=∠ADF+∠DAF=90°， 又∵∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠ADF， ∴∠AEB=∠DAF， ∵∠B=∠AFD=90°， ∴△ABE∽△DFA， ∴， ∵E为BC中点， ∴BC=2BE， ∴AB=2BE， ∴，即， ∴， ∴CM垂直平分DF， ∴CF=CD，故①正确； ∴∠CDF=∠CFD， ∵∠CDG=∠CFG=90°， ∴∠CDF+∠GDF=∠CFD+∠GFD， ∴∠GDF=∠GFD， ∴DG=FG， ∵∠GDF+∠GAF=90°，∠GFD+∠AFG=90°， ∴∠GAF=∠AFG， ∴AG=FG， ∴，即G为AD中点， ∵AD=BC， ∴， ∵∠AFG+∠GFD=∠AFD=90°，∠GFD+∠CFD=∠GFC=90°， ∴∠AFG=∠CFD， 在△DCF和△AGF中， ∵∠GAF=∠AFG，∠CDF=∠CFD， ∴∠GAF=∠AFG=∠CDF=∠CFD， ∴△DCF∽△AGF，故②正确； 设AF=a,则DF=2a, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵AF=a,， ∴AF≠AG， ∴△AGF不是等边三角形，故④错误； 综上可知，正确结论有①②． 故答案为：①②． 【知识点3】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025•电白区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：81 【答案】A 【分析】先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【解答】解：根据题意，AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∵S△AOD：S△COB=1：9， ∴， 则S△AOD：S△DOC=1：3， 所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3， 故选：A． 2.（2025•北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形． ①∠A=∠BCD； ②∠A+∠BCD=∠ADC； ③． 所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】证明△ABC是直角三角形，即证明其中有90°角，根据所给的条件逐一进行证明即可． 【解答】解：①∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠A=∠BCD， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°， ∴△ABC是直角三角形， 故①符合题意， ②∵∠ADC=90°， ∠A+∠BCD=∠ADC， ∴∠A+∠BCD=90°， ∵∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠B， 不能证明∠ACB是90°， 故②不合题意， ③∵∠ADC=∠BDC=90°， ， ∴△ADC∽△CDB， ∴∠A=∠BCD， 由①可知，△ABC是直角三角形， 故③符合题意， ∴可证明△ABC是直角三角形只需添加的条件有①或③， 故选：B． 3.（2025秋•合川区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AB=10，DE=3，则BC的长度为______． 【答案】7.5． 【分析】根据△ADE∽△ABC，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD=4，AB=10，DE=3， ∴， 解得：BC=7.5． 故答案为：7.5． 【知识点4】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024春•沂源县期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m,树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m,则树高为（　　）m. A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5 【答案】B 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，所以构成两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米， 则=， ∴x=5.1m. 故选：B． 2.（2024•柳州一模）某数学兴趣小组为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,则河的宽度PQ是（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得出=，进而代入求出即可． 【解答】解：根据题意得出：QR∥ST， 则△PQR∽△PST， 故=， ∵QS=45m,ST=90m,QR=60m, ∴=， 解得：PQ=90（m）， 故选：C． 3.（2025秋•怀化期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为15cm,蜡烛AB与凸透镜的距离BE为30cm,蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为10cm,则像CD的高为______cm. 【答案】5． 【分析】根据AB⊥BD，CD⊥BD，证明△ABE∽△CDE，再把数值代入计算，即可作答． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD， ∴∠ABE=∠CDE，∠BAE=∠CDE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∵AB的高为15cm,BE为30cm,DE为10cm, ∴， ∴CD=5（cm）， 故答案为：5． 学科网（北京）股份有限公司 $