21.3.2 用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 二次根式的混合运算 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决平均变化率、利润问题，通过药品两次降价的生活实例导入，回顾列方程解应用题步骤及面积问题解法，搭建从旧知到新知的学习支架。 以真实情境激发探究欲，通过问题链引导学生归纳平均变化率公式，“每每型”利润问题采用间接设元技巧，培养数学眼光、推理意识与模型意识。实例丰富且分层，助力学生提升建模能力，为教师提供结构化教学流程与反思指导。

第2课时　用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 　　　　　　　　　　 课题 第2课时　用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 授课人 教 学 目 标 　　1.通过分析增长率和销售利润问题中的数量关系,建立方程解决问题,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解决实际问题的一般过程. 2.经历分析和建模的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型. 3.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力. 4.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学 重点 通过分析问题中的数量关系,建立方程解决问题. 教学 难点 增长率和销售利润问题模型的建立及运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　提出问题: 1.在列方程解应用题时,一般步骤有哪些? ①审题;②设未知数;③根据等量关系列方程;④解方程;⑤检验并作答. 教师板书:一元二次方程的应用(平均变化率、利润). 2.对于“面积问题”有哪些方法列方程? 　　复习列方程解应用题,为继续学习建立一元二次方程的数学模型解决实际问题做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　列方程解应用题: 某药品经过两次降价,每瓶零售价由56元降为31.5元,两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率. 师生活动:教师设疑,引导学生共同讨论,在学生似是而非的模糊解答中,教师指出本课时课题,研究增长率(或下降率)问题. 　　利用生活中常见的问题,激发学生探究欲望,有利于学生主动参与,感受教学来源于生活,并服务于生活. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 增长率问题: 1.问题: (1)某农户的粮食产量平均每年的增长率为10%,第一年的产量是6万kg,第二年的产量为　　　　,第三年的产量为　　　　.  (2)某糖厂某年食糖产量为100万吨,如果在以后两年平均减产的百分率为x,那么预计之后第一年的产量将是　　　　,之后第二年的产量将是　　　　.  师生活动:学生独立思考以上问题,教师给予充分的时间,在得到各自的答案后,小组内交流答案,教师给予点拨和辅导. 师生归纳:设某产品原来的产量为a,平均每次增长的百分率为x,则增长一次后的产量为a(1+x),增长两次后的产量为a(1+x)2,…,增长n次后的产量为a(1+x)n. 2.解答课堂引入问题: (1)所设未知数是什么? (2)基数、变化次数等各是什么?应用怎样的公式进行列方程? 师生活动:教师给予学生充足的时间考虑问题并解答问题,使学生能够真正理解问题的解答方法.教师做好个别指导. 师生共同归纳: 平均增长率(或下降率)问题:若基数为a,增长(或下降)率为x,n为增长(或下降)次数,b为变化后的结果,其基本关系式是a(1±x)n=b. 　　1.通过问题得原始量、增长率(降低率)、变化次数、变化后的量之间的关系,让学生归纳公式,体验成功的喜悦. 2.使学生进一步对增长率或下降率进行了解,也使学生明确要解决增长率或下降率问题,必须弄清楚各个量及其关系. 活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 商品销售利润问题: “每每型”问题探究 某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元,其每天销售量就减少10件,则应将每件售价定为多少元才能使每天的利润为640元? 问题:(1)本题的等量关系是什么? (2)如果将每件售价定为x元,如何表示各量?如何根据等量关系列方程? (3)如果设涨价x元,那么又该如何列方程? 教师引导:此类问题的难点是不直接设销售价,而是间接设涨了x元,然后根据等量关系列方程. 　　3.引导学生间接设未知数考虑问题,让学生理解方程问题的设元技巧. 【应用举例】 例1　某工厂计划在两年后实现产值翻一番,那么这两年中产值的年平均增长率应为多少? 教师提出问题:(1)题目中没有给出当前年份的年产值,如何表示一年后、两年后的产值? (2)怎么理解“两年后产值翻一番”? 师生活动:教师引导学生仔细审题,思考上述问题,找出等量关系式,然后指导学生按照列一元二次方程解决实际问题的步骤进行解答. 教师继续提出问题:(3)如果调整计划,两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍,那么这两年中的年平均增长率应分别为多少? (4)如果第二年的增长率为第一年的2倍,那么第一年的增长率为多少时,可以实现两年后产值翻一番? 师生活动:教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,找出问题中的等量关系式,并适时点拨、提示,指导学生进行解答. 例2　某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元? 学生自主解设并列方程,进行解答,教师做好点评和纠错. 　　让学生展开讨论,并写出解题过程,对所学知识起到了巩固作用. 【拓展提升】 例3　为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元/台)成一次函数关系. (1)求年销售量与销售单价的函数关系式; (2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元/台,如果该公司想获得10000万元的年利润,那么该设备的销售单价应定为多少? 师生活动:学生进行自主解答后,教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,并适时点拨、提示,指导学生进行解答. 　　拓展提升不仅能及时巩固所学知识,了解学生的学习状况,还增强了学生应用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.某企业2023年获利润300万元,2025年利润达到507万元.设这两年的年利润的平均增长率为x,应列方程是 (B) A.300(1+x)=507 B.300(1+x)2=507 C.300(1+x)+300(1+x)2=507 D.300+300(1+x)+300(1+x)2=507 2.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到1210辆,则该厂第二季度的月平均增长率为　　　　.  3.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价　　　　.  4.某种服装每件的利润为30元时,平均每天可销售20件,若每件每降价1元,则每天可多售出6件.如果每天要盈利1600元,那么每件应降价多少元? 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置达标检测,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 (1)本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? (2)说一说本节课你还有哪些疑惑. 教师强调增长率(或降低率)问题公式:a(1±x)n=b. 　　指导学生养成系统整理知识的好习惯,加强教学反思,进一步提高教学效果. 【作业布置】 1.课本第41页练习第3,4题. 2.课本第43页练习第1,2,3题. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,教师在引导学生总结增长率公式过程中,运用表格形式能够给予学生清晰的认识和理解,学生能够把握此类问题的推导公式,并能运用公式进行解答实际问题.课堂训练环节中,教师给予学生充分的练习时间和自由交流、讨论时间,教学效果好. ②[讲授效果反思] 重难点的考查都应强调:(1)增长率(或下降率)问题的应用公式;(2)公式中各个字母或数字表示的实际意义;(3)“每每型”问题间接设未知数更简便. ③[师生互动反思] 师生互动环节,教师做好引导工作,学生再讨论、交流,发表见解中,得到解答问题的方法,过程严谨、实效. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $