专题26.1 二次函数《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数概念建构与模型应用，以题型分层训练实现从概念识别到实际建模的逻辑递进，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的识别|4题|辨析函数是否为二次函数|概念引入，建立二次函数定义认知| |根据定义求参数|4题|结合定义确定参数取值|深化定义理解，强化二次项系数非零条件| |各项系数|5题|识别二次函数标准形式中各项系数|解析概念组成，衔接后续性质学习| |建立模型（实际应用）|3题|从销售、几何折叠等情境列函数表达式|概念应用过渡，培养应用意识| |建立模型（几何图形）|10题|结合矩形、直角三角形等图形列函数关系|综合应用提升，发展几何直观与抽象能力|

专题26.1 二次函数（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1·二次函数的识别 1 题型 2·根据二次函数的定义求参数 1 题型 3·二次函数的各项系数 2 题型 4·建立二次函数模型，列函数表达式(实际应用) 2 题型 5·建立二次函数模型，列函数表达式(几何图形) 3 题型 1·二次函数的识别 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 4．正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 题型 2·根据二次函数的定义求参数 5．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 6．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 7．若是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 题型 3·二次函数的各项系数 9．二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 11．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 12．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 13．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 题型 4·建立二次函数模型，列函数表达式(实际应用) 14．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 15．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 16．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型 5·建立二次函数模型，列函数表达式(几何图形) 17．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 18．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 19．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 20．如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________． 21．如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______． 22．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 23．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 二次函数（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1·二次函数的识别 1 题型 2·根据二次函数的定义求参数 2 题型 3·二次函数的各项系数 4 题型 4·建立二次函数模型，列函数表达式(实际应用) 6 题型 5·建立二次函数模型，列函数表达式(几何图形) 7 题型 1·二次函数的识别 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义，形如（其中 ）的函数是二次函数．根据二次函数的定义逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，的最高次数为1，不是二次函数，故A不符合题意； B．，即，的指数为，不是二次函数，故B不符合题意； C．，的最高次数为1，不是二次函数，故C不符合题意； D．，的最高次数为2，且，是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 3．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④．⑤ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 4．正方形的面积和边长的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式判断函数类型即可． 本题考查了正方形的面积，函数的判定，熟练掌握函数的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得正方形的面积公式为，其中是面积，是边长，是二次函数， 故A，B，C都错误，D正确， 故选：D． 题型 2·根据二次函数的定义求参数 5．已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 6．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 7．若是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的二次项系数不为零． 根据二次函数的定义，二次项系数必须不为零，据此解答即可． 【详解】∵ 函数是二次函数， ∴ 二次项系数， ∴ ． 故选：D． 8．若关于的函数是二次函数，则的值为（   ） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项必须为且系数不为零，由此列方程求解． 【详解】解：∵函数y是二次函数， ∴最高次项为，且系数不为0， 即为项， ∴，解得：， 又∵二次项系数，即， ∴． 故选：A． 题型 3·二次函数的各项系数 9．二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 10．二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 11．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 12．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．2，0， B．2，，0 C．2，3，0 D．2，0，3 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 13．关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 题型 4·建立二次函数模型，列函数表达式(实际应用) 14．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 15．某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 16．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型 5·建立二次函数模型，列函数表达式(几何图形) 17．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 18．如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于）和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式__________．（用二次函数一般式表示） 【答案】 【分析】根据矩形的面积公式，列出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数解析式为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 19．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 【答案】/ 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 20．如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________． 【答案】 【分析】用两条长为120m,宽为2xm长方形面积与一条长为（200-2个道宽2x）m,宽为3xm长方形面积和来求三条通道的总面积即可． 【详解】解：， 则s与x之间的关系表达式为． 故答案为． 【点睛】本题考查列三条通道的总面积的二次函数，掌握长方形面积公式是解题关键． 21．如图，在长方形中，，，点，从点出发，点沿线段运动，点沿线段运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设，阴影部分的面积为，则与之间的关系式为______． 【答案】y=-+48 【分析】先求出，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：， ∴阴影部分的面积=6×8-，即：y=-+48． 故答案是：y=-+48． 【点睛】本题主要考查列二次函数解析式，解题的关键是掌握割补法求面积． 22．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 23．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $