江苏省启东中学2027届高三上学期第一次阶段测试数学试卷

2027届高三数学第一阶段测试试卷 一、单选题 1.B2.B3.D4.A5.D6.C7.D8.D 二、多选题 9.ABD 10.BC 11.ABC 三、填空题 12.213.11014.20+8V5 四、解答题 15.【答案】(1)(0，（2)(-2,2) 【详解】(1)由题意可得4={log,(x+)<={1<x< 而B为非空集合，则B=k-Ka时={b-a<x<a+b},a>0, 当b=2时，B={x2-a<x<2+a 因为A∩B=),所以2+a≤-1或2-a≥1，解得0<a≤1， 故实数a的取值范围(0，]. (2)若“a=1”,则B={b-1<x<b+1. 而“Q=1”是“A门B≠⑦”的充分条件， 则{H1<x<nb-1<x<b+1≠⑦ b-1=-1 所以-1<b-1<1或-1<b+1<1或b+1=1」 解得-2<b<0或0<b<2或b=0,即-2<b<2, 所以实数b的取值范围(-2,2). 16.【*1wf-2x,6)-3+专.【20 【详解】(1)：(0)是奇函数，8()是偶函数，·f()=-f(),g()=g(), 2f(x)+3g()=9x+4x+1,02f(-x)+3g(-x)=9r2-4x+1, 即2)：g--4r1,2,g探相)-2x86国=3x+号 (2)由(1)知()=2x是R上的奇函数和增函数， 则不等式/(4）+f4-5x2)s0台4*≤5x2-4 因此4-5×2+4≤0，即(（2-12-4)s0,解得1≤2≤4. 即-2≤x≤0，所以原不等式的解集为[2,0] 17.【答案11D（-25]U[22+）2)2,+w)a)[-L22列 【详解】(1)因为函数f(~)的值域为R,所以y=x-mr+2能取到大于0的所有值，所以 △=m2-8≥0，解得m≥2V2或m≤-2V2, 因此实数m的取值范围为仁0，-2V5]U[2V2,+) (2)当m=3时，f()=log,(x2-3x+2) 令()=r-3x+2>0,得x<1或x>2, (=-3+2-(4 当x<1时，u()单调递减，当x>2时，“()单调递增， 所以()在(2，+∞）上单调递增， 因为题中f()在(a,+切)上单调递增，所以实数a的取值范围为2，+切） (3)因为x∈[L2],3∈L,2],使得f(x)≤g()成立，所以f()≤g(x)x. 0号e 所以8(x)mx=g()=3 即x∈[L,2].f(x)≤3，即r∈[l,2],0<x2-mx+2≤8成立. m X= 方法一：设1=2-mx+2,x∈L,2],其图象的对称轴为直线=2. m [12-mx1+2>0 当2时，只需2-m×2+2≤8，解得-1≤m≤2； 12-m×1+2≤8 22-m×2+2≤8 2 1<"≤2 名 -m×m+2>0 当2“时，只需 2 解得2<m<2V2： [12-mx1+2≤8 当2时，只需22-m×2+2>0 ,无解. 综上，得-1≤m<2V5,即实数m的取值范用为[-，22) 为法，e2,-m+2s8花立.等价于e习，≥生 x-6 m≥ x成立，所以（x 记()=6 e小2.黄闲=一上*t 所（以=4(2）=2,6.-1 2 ,所以m≥-1 l2习，-+2>0立，等价于e习到， x2+2 m< x成立，所以 记()=+2 rL2,则=x+子225 (当且仅当x=V2时取等号)， 所以o(x)m=2N2,所以m<2W2, 综上.-1≤m<2W2,即实数m的取值范国为-，22) 18.【答案】(1)由已知∠ACD=90°，得CD⊥AC: 又因为PA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,故CD⊥PA; 因为CD⊥AC,CD⊥PA,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以CD⊥平面PAC,AEc平面PAC,故CD⊥AE. (2)7 2,0 (3) 或不存在 【详解】(1)略 (2)因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又因为∠BAD=90°，所以AB上AD,因此AB,AD,AP两两垂直. 因此以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为，，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则(00,0).P0,0,23).B(25,00） 在△ABC中，AB=BC=2V3,∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以AC=2V3 又因为∠ACD=∠BAD=90°，∠ABC=60°，所以∠CAD=30°. 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，AC=2V3」 AD=AC 23 =4 所以 cos∠CAD cos.30°，CD=ADsin∠ACD=4sin30°=2. 因4D0,40C3,3.0因为是PC中点，5今9 s4i5-kB-a则E-5号 元·AB=2V3x+0+0=0 元=5+3 x=0 y+V3z=0 则 2 2 5y+2z=0,令y=2,得2=-5，x=0, 所以平面ABE的法向量元=(0,2，-V5) 设平面PBC的法向量为元=(a6c,PB-(2W5,0-25.P元=(5,3，-25) 元，·PB=23a+0-23c=0a-c=0 则元Pc=V3a+3b-23c=0,V5b-c=0,令b=l,则a=c=5. 所以平面P8C的法向量元-(5,1V) 设平面ABE与平面PBC的夹角为a, 应 0x5+2x1+(5)x5_1 cosa= 则 V0+4+3V3+1+37 1 故平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为7. 3》设B在PC上，设P元=P元ce0,,且PC-(V5,3-25.得PE=(5A,32,-23A) AE=Ap+PE=(00,25)+(3,3元，-25=(3,3,251-) 设平面6E的法向量为m=(cy2),正=N52,32,25(1-2刃.B=25.0,0)】 m·AB=2V3x+0+0=0 x=0 则m:征=5x+3y+25(-入)z=0.5y+21-)z=0. 令y=21-),则2=-52，x=0,所以m=(05(1-,-5) 因为PD=(0,4-25),平面485的法向量为m=(0,5-2)-5). PD.m 0x0+4×21-2)+(-25)x(-V3） 4-刘 sin0= PD 0+4+(-250+[20-]+(3 2V7V72-8元+4 所以 为刚有4-2利.黄血6>0，sto 4-元 =1 若°2，则sin0=1,得V7V72-8元+4,422-42+1=0，解得2. 1 = 当2时，sin0=1,cos0=0,此时2，所以tan8的值不存在； 1 π π ≠ 当2时，sin8≠1，cos8≠0，此时 过2，所以2 4- cos0=v1-sin20= 2W32元-1 所以 7V72-8元+4772-81+4」 an0=sin 4-2 得 cos0 2i-可.o别 4-2 tan 0=- 2W3(2元-1) > v=4-元=2-161 1 因为睡数”2玩子2互在2单调运减，且之=3，无→ 2,y→+0 4- 21-1 3 O 1 人一 2 tan0=1 P、1 3 tanθ∈ 所以 2W3-23 2,因此得 [。1 4-2 九∈0，。 tan = ② ”2)时， 2W3(1-2) 4-元 y= 2+1「0， .1 因为函数1-2以1-272在“2)单调递增，且y≥y=4,入→2 72,y→+0. 4-1 1-21 an0=1 2*436 25 tan0∈ 所以 3,因此得 3,0 综上所述，当 a8天东2o哈答 11 3 因此tan8的取值范围是 2 +00 或不存在. 19. 【答案】1)S0g={xx≥16 （2)证明： 必要性：因为'=(x)是偶函数，所以任意x∈D,f(x)=f(), 对任意1eD,若x∈So,即f()≥f(),则f(-)=f(x)≥f) 所以x∈S10,所以对任意tED,S0是对称集。 充分性：若对任意t∈D,S10是对称集， 因为对任意1eD,teS0,所以1eS0,即f-)≥f0O. 又teS),所以teS9,即f()≥f（)2. 由①②得，对任意t∈D,f()=f(-)】 所以函数y=()是偶函数. 综上，“函数y=()是偶函数”的充要条件是“对任意1∈D,S0是对称集”，得证. 3)（-,2] 【详解】1D由完义得，S={/(≥f(16)}={xogx≥1og,16={k≥16) (2)略 (3)因为对于任意4<∈D,都有S)∈S, 所以若x∈S,则x∈S6,即若fx)≥f(),则f()≥f(4), 所以（飞）≥f飞)，所以f()在x>0上单调不减， 所以()-g()=e-e2-4b(e-e)+(6-4r≥0恒成立 所以8()=2(e+e-2(e+e-2b+2)】 当b≤2时，8()≥0，等号仅当x=0时成立，所以8()单调递增。 而8(0)=0，所以对任意x>0,8()>0: 当b>2时，若x满足2<e+e<2b-2, 0<x<6-1+-2)t,g')<0,面go)=0, 因此 0<x≤nb-1+B-2)t,8(y<0.不合题意 综上，b的取值范围为（-0,2]，2027届高三数学第一阶段测试试卷 一、单选题 1.设集合A={-11,10,100},B={yy=2,x∈Z,则A∩B=() A.② B.{红，100} C.{1,10,100} D.{-1,1,10,100} 【答案】B 【详解】集合B={yy=x2,x∈Z是全体整数形成的集合， 而A={1,1,10,100}中元素-1,10都不是整数平方，1=12,100=102， 所以AnB=1,100} 2.若命题“3xeR,使得x2-2x-2≥0”是假命题，则实数m的取值范围是（ A.[-2,0) B.(-2,0] C.[-2,0] D.(-2,0) 【答案】B 【分析】问题化为eR,都有x2-2x-2<0为真命题，结合一元二次不等式恒成立求 参数范围。 【详解】由“xe,使得x2-2mx-2≥0”是假命题， 则Vx∈R,都有x2-2mx-2<0为真命题， 当m=0,则x2-21x-2=-2<0,满足， <0 A=(2m-4×mx←2)=4r2+8<0'则-2<m<0,满足， 综上，-2<m≤0，则实数m的取值范围是(-2,0]。 3.己知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A.若m⊥a,n/IB,⊥B,则m⊥nB.若a⊥B,m⊥a,则m1/P C.若m/1a,a/IB,则ml1B D.若m⊥a,n⊥B,a1IB,则/1n 【答案】D 【分析】利用线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及空间想象判断各项的正误 【详解】A:若m⊥a,n/1P,a⊥B,则m,n平行、异面、相交均有可能，错： B:若a⊥B,⊥，则m/IP或mcP,错： C:若/1a,a/1P,则m/1P或mcB,错： D:若m⊥，a/1B,则⊥B,又n⊥B且m,n是两条不同的直线，则m/n,对. 4.已知正实数m,n满足e2m2-e2-2m=en-e”,则m- 的最大值为《) 2n A.0 B.-3 C.1 D.2 【答案】A 【分析】首先根据函数∫(x)=e-e的单调性判断2-2=-n,再根据基本不等式求解. 【详解】设f(x)=e-e为增函数-减函数=增函数，函数的定义域为R, 且满足f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数， 所以e2m-2-e2-2m=e"-e”,则f(2l-2)=f(-n),得2-2=-n, 即2m+n=2,n>0,得0<<1,0<n<2, 当号即n1,m兮时特号成立 所以- 的最大值为0. 2n 5.已知函数f(x)=xe- (aeZ)为偶函数，则a=() eta A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或-1或0 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对α的可能整数值逐一验证， 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x, 均有f(-x)=f(x)。 当a=0时，了①)上巴。1，定义域为x≠0吲，关于原点对称，对任意x≠0，都有 f(-x)=1=f(x),满足偶函数定义： 当a=1时，)=定义减为R,关于原点对称， 1-e =x.0-1 -w品- e+1/(),满足偶函数定义： e 当@=1时：心rg,定义域为x≠，关于原点对称 1+e" f)=(xc1三+e1.1,满足偶两数定义： er-i--x1-c--x1-e=xe-1 e 综上，a=1或-1或0 6.已知幂函数f(x)=(a2+3a-3)x2在(0，+)上单调递减，则f(3)=() A. B.3 C. D.27 【答案】C 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解。 【详解】由题意，a2+3a-3=1,解得a=1或-4， 当a=1时，f)=x2,f(w为增函数， 当a=-4时，f(x)=x2，f(x)在(0，+o)上单调递减，符合题意，所以a=-4, 所以/)-2所以)-号 7.函数f(x)定义域是(-1,2]，则f(l(x-1)的定义域是() A.(0,3]B.（1+V,1+e4] D.1+1+e2 e 【答案】D 【详解】因为函数f(x)定义域是(-1,2]，所以m上<hn(x-1)≤he,<x-1≤e, 解得1+】<x≤1+e,所以f(血(x-1)的定义域是1+11+e e 8.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定 义的函数f(x)=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[.9]=1， [-1.6]=-2,已知方程4x2-[3x]-1=0,则方程的解集为（) A. c. 【答案】D 【分析】先利用3x-1<[3x]≤3x将方程转化为不等式，确定x的范围，然后分段讨论即可. 【详解】因为3x-1<[3x]≤3x,所以4x2-3x-1≤4x2-[3x]-1<4x2-3x, 0000-01 即 当、 4≤<0时，[Bx小=-1，此时4x2-[3-1=4x2=0→x=0(舍去)： 当子<1时，=2，此时4x[B143=0, 解得x=5或=-5（舍去）： 2 当x=1时，[3x]=3,此时4x2-[3x]-1=4-3-1=0,满足题意 二、多选题 9.己知实数a,b, 满起日：)-日4，则下列关系可能正确的是《) A.a<b<c B.a=b=c C.a<c<b D.c<b<a 【答案】ABD 【分析】设公共值转化方程并用对数值表示4，b,c,分析参数趋向两端无穷时三者的大小趋 势，得到两种序关系；k=0时得α=b=c;构造辅助函数，用定义判断函数的单调性从而 证明C选项中的关系不可能出现 4=k, 则a=log!(k+2)=-l1og(k+2）,b=1og1(k+3)=-log3(k+3). c=1og1(k+4)=-log4(k+4),其中k>-2, 令5=k+2,则s>0, a=-log25,b=-log3(s+1),c=-log4(s+2), 当s→0时，a=-le5→m,b=-13s+)→0，c=-1,6+2→ 此时c<b<a,选项D成立： 当5→+o时，-lbg6+t)=血(+0。≈-血s Inn Inn 因为0h2h34,前以品g即a,进顶A设 当k=0时，a=b=c=-1, C选项，a<c<b,即-log25<-log4(s+2)<-log3(s+1), 1og25>1og4(s+2)>log3(s+1)①， 先解1og25>1og4(s+2)→1og452>1og4(s+2),52>5+2,解得s>2, 再解1og4（5+2)>log3(+1), h=1og,6+1）-1g:+2）=h(6+)_h6+2】 In3 In4 任取0<S<52, 则h(s2)-h(s)=1og3(s2+1)-log4(s2+2)-[log3(s+1)-log4(s+2] =[1og(,+1)-log(+1)]-[log4(s+2)-1og4(s+2】 6若- ,5+2-1n5+1n5+3 4 s+2 In3"s+1 In4 5+2 52+152+2_(s+1)(+2)-(5+2)(9+1) 5+11+2(s+1)(S+2) -+2,+5+2(++29+2）_ 52- (5+1)(s+2) (s+1)(s1+2) 因为0<5<，所以5-5>0，则5>+2>1， 5+11+2 所以h5+l>n5+2>0, 9+15+2 ,h+>hs+2 因为0<n3<n4,所议3>40,33+4+2 h(s2)-h(s)>0即h(s)>h(s), 所以h(s)在(0，+w)上单调递增， 又h(2)=log33-1og44=1-1=0, 所以当s>2时，h(s)>h(2)=0即log3(s+1)>log4(s+2), 此结果与①中1og3(s+1)<log4(s+2)互相矛盾， 不存在s>0使得a<c<b,选项C错误. 10.已知函数f(x)=a+log.(x+1)(a>b>0,且a≠1，b≠1)的最小值为1，则下列式 子一定正确的是() 1 A.a<1 B.b<1 C.Ina=- D.a=e Inb 【答案】BC 【分析】对于A:当a<1,则0<b<a<1,所以f(x)在(-1，+o)上单调递减，不存在最小 值；对于B.若b>1,则a>b>1,所以∫(x)在(-1，+∞)上单调递增，不存在最小值；对 于C.结合AB及函数的最小值可知x=0是极小值点，从而可判断其正误；对于D.举反 例，取b-号a=e,则f0)<1,矛盾 【详解】A.当a<1,则0<b<a<1,所以f(x)=d+logb(x+1)在(-1，+o)上单调递减，不 存在最小值，矛盾，A错误： B.若b>1,则a>b>1,所以∫(x)=a+logb(x+1)在(-1，+∞)上单调递增，不存在最小 值，矛盾，所以b<1,B正确： C.由AB可得a>1,0<b<1,故ha>0,lnb<0, 1 而f'(x)=lha+ (x+1)Inb' 1 因为y=alna为(-1，+n)上的增函数，y= +1)n6为(1，+o)上的增函数， 故'(x)为(-1，+o)上的增函数， 当x→-1时，f'(x)→-0，当x→+0时，f'(x)→+0， 故∫'(x)在(-1，+∞)存在唯一的零点x, 且x∈(-1，)时，f'(x)<0,x∈(，+o)时，f'(x)>0, 故∫(x)在(1，)上为减函数，在(，+o)为增函数，故f(x)mn=f(), 若。<0，则f()<f(0)=1,与题设矛盾： 若，>0，则f(x)<f(0)=1,与题设矛盾： 放马=0，故hna+=0,故正确： Inb Da=e,取b-a=E,则/0=e+le2-6-1<1,矛后，D错误 11.已知f(x)=x3-3x2+3x,则下列说法正确的是() A.f(x)在定义域内单调递增 B.f(x)的对称中心为(1,1) e.若f儿2训+Ba-m=2,则的最小道为2a号加到 D.已知，x2为方程m2+4x+b=0的两个根，x≠2且f(x)+f(x2)>2,则a的取 值范围为(-2，+0) 【答案】ABC 【分析】A利用导函数判断单调性：B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对 称性和单调性以及基本不等式求解；D根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A,由题意f(x)的定义域为R, 因为f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立，当且仅当x=1时f'(x)=0, 所以∫(x)在定义域内单调递增，A正确： 选项B,设∫(x)的对称中心为(c,d),由对称中心的定义可知f(c+x)+f(c-x)=2d对 x∈R恒成立，代入f(x)=x3-3x2+3x 整理得(6c-6)x2+(2c3-6c2+6c)=2d,令 6c-6=0 2c3-6c2+6c=2d' c=1 解得 d=v 所以f(x)的对称中心为(L,1),B正确： 选项C,因为f(3+2n)+f(3-4m)=2, 所以f(3+2n)=2-f(3-4m)=f(2-3+4m), 则3m+2n=2-3m+4m,即(2-1)(2n-3)=1, 因为m>,n>3 ,，所以1一七-1 -≥2 11 =2 21 2m-12n-3“V2m-12n-3 等号成立时m=1,n=2,C正确： 选项D,因为，x3为方程2+4x+b=0的两个不同根， 所以+书=4x 3=2,△=16-4ab>0, a 因为f(x)+f(x2)>2,所以f(:)>2-f(3)=f(2-x2),则x>2-x3, 故4+飞=-4>2，得-2<a<0,D错误 a 三、填空题 12已知函数f)=n+1-2x2+1+2,若a、6eR,a+b=2026,则 1,1 f(b-2027)+f(a+1)= 【答案】2 【分析】根据解析式得到f(x)+f(-x)=2,可得出(a+1)+(b-2027)=0,由此可得出结 果。 【详解】x∈R,√4x2+1>2x≥2.x,则V4x2+1-2.x>0,2+1>0, 所以函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称， 因为f国0=h(-2j+i-2刘*221 =ln(4x2+1-4)+2+i+2(2+1 1 2x +1=2, 因为a+b=2026,则(a+1)+(b-2027)=0, 因此，f(b-2027)+f(a+1)=2. 13.已知函数f(x)满足f(x+)=f)+)+2xy, 则f10) 【答案】110 【分析】利用赋值法，先求得f(①)，再求得f(x+1)-f(x),最后用累加法求得f(10) 【详解】函数f()满足f(x+)=f(x)+f)+2xy, 令得10-2得)+2*22 令y=1,得f(x+1)=f(x)+f(1)+2x, 即f(x+1)-f(x)=2x+2. 所以f(2)-f(1)=2×1+2=4, f(3)-f(2)=2×2+2=6, f(4)-f(3)=2×3+2=8, f(10)-(9)=2×9+2=20, 累加得，f10)-f0)=4+6+8+.+20=94+20）=108, 2 所以f(10)=108+f(1)=110. 4已知a>0,b>0,且满足4+分1，则a+b+Va+b的最小值为 【答案】20+8√5 【分析】方法一：令x=>0,令1-++F,变形得到 a 12 a+b+匠+F=20+4-)+,号1，由基本不等式得最小值为20+8√5. 方法二：设a=cos6,b=sm6,其中7>0,0<日<」 >.令1=tam与，再令v三1u之0，得 到a+b+V匠+6-20+8+，由基本不等式得到最小值为20+85. 【详解】方法一：令x=。>0,由1+。-1，得a=4+6,b=4r+6 a b 令t=x+V1+x2 1 因为0，所以>1，且时1+-x从面x- 22t 于是a6+后+=小+i+可a+0-G-9+0。 ab+后8(4}0-0.a+原-=20+40-号 因为：10，所以由基本不等式得，4-+名≥2=86 因此a+b:8:20-8w5,当且仅当1-)=片，151时等号废立 此时x=-1_3+V5 2t 4 由a=4+,b=m,得a=16-4W3.b=9+V5 此时a>0,b>0,且4+=1，所以所求最小值为20+85. a b 方法二：设a=cos8,b=sm0,其中r>0,0<日< 2 由4+=1，得r= 4 6 a b cose sine 因此a+b+√a+b2=r(1+cos0+sin8), a+b+Va+6=10+4.l+sim0+6.1+cos0 cos0 sine, 令u=tan 则0<u<1, 0 m28 1+sine Cos2Q +2s1n-c0s。+S11n coS一+S1In- 2 2 2 2 cos+sin 2 1+u cosθ 30 COS- 2 -S11n c38 1-u c0S -S11n 且 2 2 2 1+cosθ 1+2cos26 11 sinθ 2sin- 0u 2 再令v=”>0, 1-u 则a+b+V+b=10+41++6,a+b+V+B=20+8y+6 1-u u 1 由基本不等式8+6≥2V48=85 所以a+b+√m+b2≥20+85. 当8=6，即v=5时等号成立. 1 2 此时u=, ,m0=2”-3+5,所以么345 1+ 1-u2 4 结合461，得a=16-4N5.b=9+5 a b 故所求最小值为20+8√3， 四、解答题 15.已知集合A={xlog2(x+1)<,B={xx-b<a,且B为非空集合. (1)当b=2时，A∩B=☑，求实数a的取值范围： (2)若“a=1”是“A∩B≠☑”的充分条件，求实数b的取值范围. 【答案】(1)(0,1] (2)(-2,2) 【分析】(1)先解对数不等式化简集合A,代入b=2化简绝对值不等式得到集合B,再根 据两集合交集为空列出区间无重叠的不等式，结合α>0求出a的范围： (2)令a=1写出集合B,由充分条件知此时AIB≠0，转化为两区间有公共元素的不等 式，解不等式得到实数b的取值范围。 【详解】(1)由题意可得A={xlog2(x+1)<={x1<x<, 而B为非空集合，则B={xx-bl<a={xb-a<x<a+b},a>0, 当b=2时，B={x|2-a<x<2+, 因为A∩B=☑，所以2+a≤-1或2-a≥1，解得0<a≤1， 故实数a的取值范围(0,1]. (2)若“a=1”,则B={xb-1<x<b+1}, 而“a=1”是“A∩B≠☑的充分条件， 则{x-1<x<1}∩{xb-1<x<b+1}≠0， b-1=-1 所以-1<b-1<1或-1<b+1<1或 b+1=1 解得-2<b<0或0<b<2或b=0,即-2<b<2, 所以实数b的取值范围(-2,2). 16.已知函数f(x),8(x)的定义域都是R,且∫(x)是奇函数，8(x)是偶函数， 2f(x)+3g(x)=9x2+4x+1. (1)求函数f(x),8(x)的解析式： (2)求不等式f(4x)+f(4-5×2x)≤0的解集. 【答案】（①）/x)=2x,g(x)=3x2+ (2)-2,0] 【分析】(1)根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； (2)根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】(1)Qf(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(-x)=-f(x),8(-x)=8(x), 2f(x)+3g(x)=9x2+4x+1,①：.2f(-x)+3g(-x)=9x2-4x+1, 即-2/()+38()=92-4+1，②，@、②解得f()=2x,g(x)=3x2+} (2)由(1)知f(x)=2x是R上的奇函数和增函数， 则不等式f(4)+f(4-5×2)≤0一4x≤5×2x-4, 因此4x-5×2+4≤0，即(2-1)(2-4)≤0，解得1≤2≤4， 即-2≤x≤0，所以原不等式的解集为[-2,0]. 17.已知函数f(x)=log(x2-mx+2). (1)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围. (2)当m=3时，若f()在(a,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围. (3)设函数g) 2+1. 若Vx∈L,2],3x2∈[1,2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取 2x-1 值范围。 【答案】(1)(-0，-2W2]U[2√2，+0) (2)[2,+0) 3)[-1,22) 【分析】(1)由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于0，从而可得 所求取值范围： (2)令(x)=x2-3x+2>0,并结合定义域可得函数u(x)单调递增区间，从而可得所求 取值的范围； (3)将不等式转化为f(x)ax≤8(x)mx，由单调性可得8(x)mx=3,所以只需 f()x≤3，进而转化为x∈[L,2],0<x2-x+2≤8，方法一：根据二次函数的在闭区间 x-6 的最值问题分类讨论可得：方法二：通过参数分离可得m≥ 及< x2+2 分别求两个函数的最值可得. 【详解】(1)因为函数f(x)的值域为R,所以y=x2-x+2能取到大于0的所有值， 所以A=m2-8≥0，解得m≥2√2或m≤-2√2， 因此实数m的取值范围为(-∞，-2√2]U[2√2，+0). (2)当m=3时，f(x)=log2（x2-3x+2）. 令u(x)=x2-3x+2>0,得x<1或x>2, 321 又0=x2-3x+2=（x-2)4 当x<1时，u(x)单调递减，当x>2时，u(x)单调递增， 所以f(x)在(2，+w)上单调递增， 因为题中f()在(a,+o)上单调递增，所以实数a的取值范围为[2，+o). (3)因为x1∈[1,2]，2∈L,2],使得f()≤g(化2)成立，所以f(x)max≤8(x)mx· 2+1-2-1+2=1+,2在x∈山，2习时单调递减 因为80=2-12-1 所以8(x)x=8四)=3， 即x∈1,2]，f(x)≤3，即x∈[1,2]，0<x2-x+2≤8成立. 方法一：设t=x2-r+2,x∈几，2]，其图象的对称轴为直线x= 2 当 ≤1时，只需 [12-m×1+2>0 22-mx2+2≤8' 解得-1≤m≤2： 12-mx1+2≤8 当1<受2时，只箭 22-m×2+2≤8，解得2<m<2√2： 2 -mx+2>0 2 当≥2时，只 12-m×1+2≤8 2-m×2+2>0无解. 综上，得-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,2W2). 方法二：∈L2,x-m+2≤8成立，等价于x∈1,2，m≥6成立， -6 所以m之 记4()=-6（x[L2》,则u()=x-6在n,2]上单调递增， 1 所以=2)=2,6-1，所以m≥-1. 2 xl,21x-x+2>0成立，等价于x∈，2，m<+2成立，所以m< x2+2 记)-+2x∈L2D,则()=x+2≥2V万（当且仅当x=V5时取等号）， 所以p(x)=2W2，所以m<2√2， 综上，-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,2√2). 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,∠ACD=∠BAD=90°， ∠ABC=60°，PA=AB=BC=25,E是线段PC上的动点. (I)证明：CD⊥AE; (2)若E是线段PC的中点，求平面ABE与平面PBC夹角的余弦值； (3)设直线PD与平面ABE所成角为O,求tanO的取值范围。 【答案】(1)由己知∠ACD=90°，得CD⊥AC: 又因为PA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,故CD⊥PA; 因为CD⊥AC,CD⊥PA,PAI AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以CD⊥平面PAC,AEc平面PAC,故CD⊥AE. a时 (3) 3 或不存在 【分析】(1)由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC,再由线面垂直的定义可得； (2)建立空间直角坐标系，通过解三角形得D(0,4,0),C(V3,3,0),再分别求两个平面的 法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得： (3)先设P记=P沁（∈[0,1，再由向量法求得线面角sim0= 4-2 √7√722-81+4 若=} 时，m0-1,0-子，此时m0的值不存在：若2≠分时，由同角三角函数关系得 sine 232-ae0宁号.再分2e行1和2o时 4-2 两种情况讨论，并 cose 结合函数y= 引切 的单调性可得tane的取值范围， 【详解】(1)略 (2)因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD,因此AB,AD,AP两两垂直. 因此以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如 图： 则A(0,0,0),P0,0,2W3),B(2W5,0,0: 在VABC中，AB=BC=2√5，∠ABC=60°，所以VABC为等边三角形，所以AC=2√5 又因为∠ACD=∠BAD=90°，∠ABC=60°，所以∠CAD=30° 在VACD中，∠CAD=30°，∠ACD=90°，AC=2W3, 所以AD= AC23=4.CD=ADsin /ACD=4sin30-2. coS∠CAD cos30° 因此D(0,4,0),C(N5,30),因为E是PC中点，故E 3, 2’2 限平同A的以向武为日-，苏-(aa,器-S含5 片B=25x+0+0-0 5y+2z=0'令y=2,得：=-5，x=0, x=0 则盟+ -x+ y+3z=0 2 2 所以平面ABE的法向量乃=(0,2，-V3) 设平面PBC的法向量为片=(a,b,c),P常=(25,0，-25，P沁=(W,3-2√5)， Ⅲ从 n.PB=23a+0-23c=0 a-c=0 把-A+02c0o-c061则ac5. 则 所以平面PBC的法向量2=(3,1，√3) 设平面ABE与平面PBC的夹角为a, u L 则cosa= 10×V3+2×1+(←3)×V31 V0+4+3.√3+1+3 7 故平面ABB与平面P8C夹角的余弦值为号 (3)设E在PC上，设逆=P0(2e[0,D,且P咒=(W53,-23), 得P啦=（N3,32,-23, 罡=+2=(00,2+(5232，-25523元231-》. 设平面ABB的法向量为=(x,y,z),A严=（√32322√51-》，AB=25,0,0, M48=2W5x+0+0=0 [x=0 则{五思=5+3zy+25-刘：=0 3y+21-2)z=0 令y=21-),则z=-5元x=0,所以m=0,51-),-V5) 因为P觉=0,4，-2√3)，平面ABE的法向量为m=(0,V31-),-52), 步加 0×0+4×21-2)+(←2W5)x(-5 所以sinB= 4- V0+4+(23V0+[21-a+(3V77元-82+4 因为e[0,,所以4-Ae[3,4利，所以sn0>0,因此9∈0,7， 4-2 若0-受则sm0=1,得万28A4 =1,42-42+1=0,解得1=} 2 当2=时，sm0-1o0=0,此时0子所以m0的值不存在： 当时，n81c90,此0受所以9=引 所以cos0=V1-sin20= 4- 03 25l2-1 万√72-8元+4 √7V72-81+4 得tan6= sine cos0 45el02u哈， 2√321-1' 4-2 tan= 2W3(21-1) > 因为函数y= 2,三在行单调递减，且2。=3，及→ 1 2y→+, 21-12元-12 4-λ 21-1 3 i 所以tan6= 1 因此得tan0e 1 ②e0时，am0= 4-元 2√31-2)' 4 因为函数y 4-2_21在[0，月)单调递增，且y≥ym 1-2元1-2元2 4-2 1-27 25 2 272 所以tan&= 4 因此得tane 等上所港，当-，m0的雀不存：当2时哈时，smo9- 因此tan0的取值范围是 3 ,+00 或不存在 2 19.已知函数y=f()的定义域是D.对于t∈D,定义集合Sr={红f()≥fO}. (1)若f(x)=log2x,求Sf6; (2)对于集合A,若对任意x∈A都有-x∈A,则称A是对称集.若D是对称集，证明：“函 数y=f(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D,So是对称集”： (3)若函数f(x)的定义域为D=(0,+o),对任意x∈D, 了-+e24(e+e)+a-2小水.试求b的取值范国，使得对于任定4<名eD, 2 都有ScSr)· 【答案】(1)Sr6={x≥16 (2)证明： 必要性：因为y=f(x)是偶函数，所以任意x∈D,f(x)=f(仁x), 对任意t∈D,若x∈S和，即f(x)≥f(t),则f(-x)=f(x)≥f(t), 所以-x∈Si和)，所以对任意t∈D,Sfu是对称集. 充分性：若对任意t∈D,Sf阳是对称集， 因为对任意t∈D,teSe,所以-t∈S和，即f(-t)≥f(t)①， 又-t∈S,所以t∈S-,即ft)≥f(-t)② 由①②得，对任意teD,f(t)=f(-t), 所以函数y=f(x)是偶函数. 综上，“函数y=f(x)是偶函数”的充要条件是“对任意t∈D,Sfe是对称集”，得证. (3)(-m,2] 【分析】(1)根据Sr®={xf(x)≥f)}的定义，代入数值，解不等式： (2)分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明： (3)由定义可知，f(:)≥f(),所以∫(x)在x>0上单调不减，利用导数分析函数的单 调性，求b的取值范围. 【详解】(1)由定义得，Sr6={xf(x)≥f16}={xlog2x≥log16={xk≥16吲 (2)略 (3)因为对于任意4<5∈D,都有S二S, 所以若x∈S,则x∈Sr6,即若f(x)≥f6),则f()≥f(), 所以()≥f(),所以f(x)在x>0上单调不减， 所以f'(x)=g(x)=e2x-e2x-4b(e-e）+(8b-4)x≥0恒成立. 所以g'(x)=2(e+ex-2)(e+e-2b+2) 当b≤2时，8'(x)≥0，等号仅当x=0时成立，所以8(x)单调递增， 而8(0)=0，所以对任意x>0,8(x)>0: 当b>2时，若x满足2<e*+ex<2b-2, 即0<x<hn(b-1+Vb2-2b)时，8'()<0，而8(0)=0， 因此当0<x≤h(b-1+Vb2-2b)时，8(x)<0,不合题意 综上，b的取值范围为(-∞，2] 2027届高三数学第一阶段测试试卷 一、单选题 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．已知正实数m，n满足，则的最大值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 5．已知函数（）为偶函数，则（ ） A． B．1 C．1或 D．1或或0 6．已知幂函数在上单调递减，则（ ） A． B．3 C． D． 7．函数定义域是，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知，则下列说法正确的是（ ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．若，则的最小值为 D．已知，为方程的两个根，且，则a的取值范围为 三、填空题 12．已知函数，若a、，，则_________． 13．已知函数满足，．则_________． 14．已知，，且满足，则的最小值为_______． 四、解答题 15．已知集合，，且B为非空集合． （1）当时，，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数b的取值范围． 16．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 17．已知函数． （1）若的值域为，求实数m的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数a的取值范围． （3）设函数．若，，使得成立，求实数m的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，底面，，，，E是线段上的动点． （1）证明：； （2）若E是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围． 19．已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意， ．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $