第二十九章 圆 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学圆单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次设计，覆盖圆的核心知识，融入生活情境与空间问题，适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆心角与圆周角关系、半径概念等，如第1题考查圆周角定理|基础概念辨析，注重几何直观| |填空题|6/24|圆内接四边形性质、垂径定理，如第12题应用圆内接四边形对角互补|强化性质应用，突出符号意识| |解答题|10/96|拱桥实际问题（24题）、圆柱圆锥最短路线（26题）|结合生活情境与空间观念，体现转化思想与推理能力|

第二十九章 圆单元测试卷 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.如图，已知圆心角，则圆周角的度数是(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知的半径为，平面内有一点到圆心的距离为，则该点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3.下列说法中正确的说法有个 不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A. B. C. D. 4.如图，的半径为，为弦，点为的中点，若，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，为的直径，点为弧的中点，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，中，弦，若于点，且，则的半径为(    ) A. B. C. D. 8.如图，长方形的长为，宽为，一个半径为的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周那么在该长方形内，这个圆滚动过程中未覆盖的面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点，，垂足为，连接，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，在中，弦半径，，则的度数为          ． 12.在圆内接四边形中，、的度数之比为：，则        13.如图，在中，直径于点，，，则弦的长为           ． 14.如图，在圆内接四边形中，，，若点，则圆的直径长为      ． 15.如图，的半径为，，，是上的三个点若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为          ． 16.如图，平行四边形的顶点，，在上，点为弧的中点，交于点，连接并延长交的延长线于点，连接，若的直径为，，则            ，            ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，弦、于点，且求证：． 18.本小题分 如图，是的直径，点是上一点，连接，，于． 求证：； 若，，求的半径． 19.本小题分 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点，，，请在网格图中进行如下操作： 利用网格线找出该弧所在圆的圆心，在图上标出点 连接，，则的半径长为          结果保留根号 若点的坐标为，则点在          填“内”“外”或“上”． 20.本小题分 如图所示，以▱的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于． 求证：； 若的度数为，求的度数． 21.本小题分 如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． 求证：； 若，，求的外接圆的半径． 22.本小题分 如图，已知． 用直尺和圆规作的外接圆保留作图的痕迹，不写作法． 在的条件下，若的半径为，点到的距离为，求的长． 23.本小题分 如图，四边形内接于，为的直径，． 试判断的形状，并给出证明； 若，，求的长度． 24.本小题分 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为． 求拱桥的半径； 现有一艘宽、船舱顶部为长方形并高出水面的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？ 25.本小题分 如图，已知是的直径，点、在上，且，过点作，垂足为． 求的长； 若的延长线交于点，求弦、和弧围成的图形阴影部分的面积． 26.本小题分 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题问题情境： 如图，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： 判断最短路线的依据是______； 求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；结果保留根号和 拓展迁移： 如图，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆单元测试卷 (总分：150分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.如图，已知圆心角∠B0C=78°，则圆周角∠BAC的度数是() A.156° B.78 C.39° D.24° B 2.如图，已知⊙0的半径为3，平面内有一点到圆心0的距离为4，则该点可能是() A.点P B.点Q C.点M D.点N 0 M 3.下列说法中正确的说法有()个 ①不在同一直线上的三点确定一个圆： ②长度相等的两条弧是等弧： ③相等的圆心角所对的弧相等： ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，⊙0的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为() A B.5 C,5V3 D.5v3 2 B O. 第1页，共8页 5.如图，AB为⊙0的直径，点A为弧CD的中点，∠A=53°，则∠B的度数是() A.47° B.37° C.53° D.45° D B 6.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为() A.6π B.12m C.15m D.24π 7.如图，⊙0中，弦AB=CD=8cm,若AB1CD于点P,且0P=3v2cm,则⊙0的半径为() A.4v2cm B.5V2cm C.5cm D.6cm B 8.如图，长方形的长为10，宽为8，一个半径为1的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周那么在该长方形 内，这个圆滚动过程中未覆盖的面积是() A.4-π B.52-π C.28-π D.52+π 9.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接0B,IA若∠CAI=35°，则∠OBC的度数 为() A.15 B.17.5 C.20° D.25 第2页，共8页 10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO1CD,垂足为E,连接BD, ∠GBC=50°，则∠DBC的度数为() G B 0 E A.50° B.60° C.80° D.90° 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，在⊙0中，弦AC/半径0B,∠B0C=40°，则∠A0C的度数为 B 12.在圆内接四边形ABCD中，LA、∠C的度数之比为1：2，则∠C= 13.如图，在⊙0中，直径AB1CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为一· 0 E D B 14.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=135°，AB1BD,若点A(0,3),则圆的直径长为· y D B 第3页，共8页 15.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点.若四边形0ABC为平行四边形，连接AC,则图中阴 影部分的面积为一. A B 16.如图，平行四边形ABCD的顶点A,B,C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E,连接AE并 延长交BC的延长线于点F,连接DF,若⊙O的直径为10，BC=8,则AB=一，DF=一· D 09 B C F 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 如图，在⊙O中，弦AB、CD于点E,且AB=CD求证：AE=DE. E B 18.(本小题10分) 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC,AC,OD L BC于E. (1)求证：OD/AC: (2)若BC=8,DE=3,求⊙O的半径. 0 E B 0 第4页，共8页 19.(本小题12分) 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2),请在网 格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D,在图上标出点D; (2)连接AD,CD,则⊙D的半径长为_（结果保留根号）： B A (3)若点E的坐标为(2，-2)，则点E在⊙D(填“内”“外”或“上”) 20.(本小题10分) 如图所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于G. (1)求证：GE=EF: (2)若BF的度数为70°，求LC的度数. 21.(本小题10分) 如图，在△ABC中，点O是外心，∠BAC和LABC的平分线交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,连 接BD (1)求证：BD=DE: (2)若∠BAC=90°，DE=4cm,求△ABC的外接圆的半径. D 第5页，共8页 22.(本小题10分) 如图，已知△ABC. A (1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O(保留作图的痕迹，不写作法)， (2)在(1)的条件下，若⊙0的半径为5，点0到BC的距离为3，求BC的长. 23.(本小题10分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径，LADB=LCDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度. A 0 C B 第6页，共8页 24.(本小题12分) 如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m,拱高CD为2.4m. (1)求拱桥的半径： (2)现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？ A B 8 25.(本小题12分) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙0上，∠D=60°且AB=6,过0点作0E1AC,垂足为E. (1)求0E的长： (2)若0OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S. 第7页，共8页 26.(本小题12分) 为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线 问题问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C,其最短路线正是侧面展开图中的线段AC,若圆柱的 高AB为2cm,底面直径BC为8cm. 问题解决： (1)判断最短路线的依据是 (2)求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长；（结果保留根号和π） 拓展迁移： (3)如图②，O为圆锥的项点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM=8,底面圆半径为2，粗 线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离. C 沿AB剪 开平铺 图① 图② 第8页，共8页答案与解析 1.【答案】C 【解折1解：∠B0C=78,∠BAC=号∠B0C, .∠BAC=1×78°=39. 故选：C. 2.【答案】D 【详解】.平面内有一点到圆心0的距离为4,4>3 ∴.该点在圆外， ∴点N符合要求. 故选：D 3.【答案】A 【解析】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确： ②能够重合的弧是等弧，原说法不正确： ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确 ④平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确。 综上所述，正确的说法有1个， 故选：A. 4.【答案】D 第1页，共14页 解：连接OC交AB于点E,连接OA, 0r、 .∠ABC=30°， ∴.∠A0C=60°， ,点C为AB的中点， ∴.OC⊥AB, .∴.AB=2AE, 在Rt△OAE中，OA=5, ·AE=OA-sint60=53 2 .AB=5V3, 故选D. 5.【答案】B 【解析】解：连接BC, .AB为⊙O的直径， D ∴.∠C=90°， B 第2页，共14项 .∠A=53°， ∴.∠ABC=90°-∠A=37°， ,点A为CD的中点， .∴.AD=AC: ∴.∠ABD=∠ABC=37°， 故选：B 6.【答案】B 解：S侧=rl=π×3×4=12π， 故选：B 7.【答案】C 【解析】解：如图：过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OA,OC,⊙O中，弦AB=CD=8cm,若 AB⊥CD于点P, C B D 第3页，共14页 .OE⊥AB,OF⊥BC, AE=BE=支AB=4cm, GF-DF-GD-4cm, 由条件可知四边形OEPF是正方形， ∴.OE=PF,OF=PE, 设OE=PF=X>0,OF=PE=y>0,⊙O半径=r, 在Rt△OAE中，OE2+AE2=0A即x2+42=r2①， 在Rt△OCF中，0F2+CF2=0C2即y2+42=r2②， 由①②可知x2=y2, ∴.x=y, OP=32, x2+y2=(3V22, x=y, .2x2=18, 解得x=9, x2+42=r2, .r2=25, ∴.r=5cm. 第4页，共14页 故选：C. 8【答案】C 【解析】解：长方形的长为10，宽为8，一个半径为1的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周. 长方形的面积：10×8=80（平方厘米）， 圆的半径r=1(厘米)，直径d=2(厘米)， 圆沿内侧滚动一周后，中间会剩下一个小长方形， 它的长是10-2×2=6（厘米），宽是8-2×2=4（厘米，面积为：6×4=24（平方厘米）， 四个角落会各剩下一个边长为1厘米的小正方形，每个小正方形里有一半径为1、圆心角为90°的扇形被覆 盖，四个角落合起来就是一个完整的边长为2厘米的正方形减去一个半径1厘米的圆的面积： 2×2-π×12=4-π 则未被覆盖的面积：24+(4-π)=28-π（平方厘米）. 故选：C 9.【答案】C 【解析】解：连接IC,IB,OC, .点I是△ABC的内心， ∴.AI平分∠BAC, .∠CAI=35°， ∴.∠BAC=2∠CAI=70°， ,点O是△ABC外接圆的圆心， ∴.∠BOC=2∠BAC=140°， 第5页，共14页 OB=OC, ∠0BC=∠0CB×180.∠B0C)2×180140)=20, 故选：C 10.【答案】C 解：如图， G B 0 A、B、D、C四点共圆， .∠GBC=∠ADC=50°， .AE⊥CD, ..∠AED=90°， ∴.∠EAD=90°-50°=40°， 延长AE交⊙O于点M, 第6页，共14页 .AO⊥CD, ∴.CM=DM, ∴.∠DBC=2∠EAD=80° 故选C 11.【答案】100 解：.AC/1OB, .∴.∠OCA=∠BOC=40°' .OA=OC' ∴.∠OAC=∠OCA=40' .∠AOC=180°-∠OAC-∠0CA=180°-40°-40°=100°： 故答案为100° 12.【答案】120 【解析】解：设∠A的度数为x,则∠C的度数为2x, :四边形ABCD是圆内接四边形， :∠A+∠C=180。 即 X+2X=180°' 解得，x=60°， ∴.∠C=2X=120° 故答案为：120. 13.【答案】3V10 第7页，共14项 【解析】解：，AB⊥CD,CD=6, GE-ED-CD-3. 设⊙O的半径为r,则OE=OB-EB=r-1, 在Rt△OED中，由勾股定理得：0E2+DE2=0D2,即(r-1P+32=r2, 解得：r=5, ∴.OA=5’OE=4' .∴.AE=OA+OE=91 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC=VCE+AE=V3+g-3V10, 故答案为：3V10. 14.【答案】3√2 【解析】解：由条件可知∠C+∠A=180°，即135°+∠A=180°， 解得：∠A=45°， .AB⊥BD ∴.∠ABD=90 :AD圆的直径，∠ADB=∠A=450: 点A(0,3 .∴.BD=AB=3' 在Rt△ABC中，由勾股定理得AD=VAB+BD=V3+3=3V2 第8页，共14页 故答案为：3V2, 15【)9 【解析】解：如图，连接OB. B .四边形OABC为平行四边形， OA=OC, ∴.☐OABC是菱形， 即OB⊥AC, 又'OA=OB=AB, ∴.△AOB是等边三角形， ∴.∠AOB=60°， :AC=20A:sin∠A0B=2×1x5=V5, ·S装袋OABc号AC·OB=xV3×1=3 2 第9页，共14页 3 故答案为： 4 16.【答案】4V5 2V17 【解析】解：如图，连接OB、OC、AC,连接AO并延长，交BC于点H,作DM⊥BC延长线，垂足为 M, A D 19 0 B H C F ,点A为弧BAC的中点， .∴.AB=AC, .∴.AB=AC, .OB=OC, ∴.点A、O都在BC垂直平分线上， ..AH是BC垂直平分线， .'BH=CH=1BC=4, 第10页，共14页 .⊙0的直径为10， .0B=5, 在Rt△OBH中，OH=VOB-BH=3, ∴.AH=OA+OH=8, 在Rt△ABH中，AB=VBH2+AH=4V5, .‘四边形ABCE是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠AEC=180°， .∠FEC+∠AEC=180°， ∴.∠FEC=∠ABC, .四边形ABCD是平行四边形， .'AB//CD,AD=BC=8,AD//BC, ∴.∠ABC=∠DCF,∠FEC=∠AB, .∴.∠ECF=∠FEC,∠FAB=∠FBA, .∴.FC=FE,BC=AE=8, 设CF=EF=x, 在Rt△AHF中，根据勾股定理得AH2+HF2=AF2, 第11页，共14页 即82+(4+x}=(8+x2, ∴X=2, .DM⊥BC,AD/IBC, .∴.AD⊥MD, .AH⊥HM, ∴.四边形AHMD为矩形， ∴.HM=AD=8,AH=DM=8, ∴.FM=HM-HC-CF=2, 在Rt△DMC中，DF=VDM2+FM2=V82+2=2V17, 故答案为：4V5:2V17. 17.【答案】解：方法一：连接AD, .AB=CD D E .'AC=BD, B ∴∠BAD=∠CDA, .∴.AE=BE 第12页，共14页 方法二：.·AB=CD, .AB-BC=CD-BC,AC=BD, .∴.AC=BD 在△ACE与△DBE中， ∠CAB=∠CDB AC=BD ∠ACD=∠ABD ∴.△ACE≌△DBE(ASA), .AE=DE」 18.【答案】(1)证明：.AB是⊙O的直径，∴.∠C=90°， .OD⊥BC'∴.∠OEB=∠C=90° ∴.OD//AC (2解：令o0的半径为，则0E=r-3 .OD⊥BC 根据垂径定理可得：BE=CE=BC=4, 在AOBE中 由勾股定理得：r2=42+r-32 第13页，共14页 解得：r=25 6 所以⊙O的直径为 5 3 19.【答案】【小题1】 解：弦AB的垂直平分线为直线X=-2,作弦BC的垂直平分线，与直线X=-2交于点D,D的坐标为-2,0)， 在图上标出该点即可。 【小题2】 25 【小题3】 上 20.【答案】(1)证明：连接AF. G A E D .A为圆心，.AB=AF, ∴∠ABF=∠AFB, .四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD/IBC,∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF, .∴.∠DAF=∠GAD, ∴GE=EF; (2)解：：BF的度数为70°， 第14页，共14页 .∴.∠BAF=70°， .AB=AF, :∠B=∠AFB180-∠BAFj=5 四边形ABCD为平行四边形， .AB//CD, ∴.∠C=180°-∠B=125° 21.【答案】见解析： 2v√2cm 【解析】(1)证明：.'AD平分∠BAC, .∴.∠BAD=∠CAD, .∠DBC=∠CAD, ∴.∠DBC=∠BAD, E B C .BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE, .'∠BED=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE, 第15页，共14页 .∴.∠DBE=∠DEB, ∴.DB=DE: (2)解：：∠BAC=90°， .∴.BC是⊙O的直径， 连接CD, .∴.∠BDC=90°， .∠BAD=∠CAD: ∴BD=CD, ∴BD=CD, '.△BDC是等腰直角三角形， 'DE=4cm, ∴.BD=CD=4cm, ∴.BC=4V2cm, ∴.△ABC的外接圆的半径为2V2cm. 第16页，共14页 22.【答案】解：（1)如图所示： A (2)根据(1)可知OH⊥BC, ∴.BH=CH, .OB=5,OH=3, .BH=V0B2-0H=V52-32=4, ∴.BC=2BH=8 23.【答案】解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： :AC为⊙0的直径， ∴.∠ADC=∠ABC=90' ,∠ADB=∠CDB' .∴.AB=BC 第17页，共14页 ∴.AB=BC 又.∠ABC=90, ∴△ABC是等腰直角三角形. (2在Rt△ABC中，AB=BC=2 .AC=VAB2+BC2=2+2=2' 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, .CD=VAC2-A D2=4-1=3 24.【答案】(1)如图，连接ON,OB ,OC⊥AB, .D为AB中点， .AB=7.2m, BD=号AB=3.6m 又.'CD=2.4m, 设0B=OC=ON=r,则OD=(r-2.4)m. 在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62, 解得r=3.9. (2).CD=2.4m,船舱顶部为长方形并高出水面AB=2m, 第18页，共14页 ∴.CE=2.4-2=0.4(m, ∴.0E=r-CE=3.9-0.4=3.5m), 在Rt△OEN中，EN2=0N2-0E2=3.92-3.52=2.96(m2), ∴.EN=V2.96(m. .∴.MN=2EN=2×√2.96≈3.44m>3m. 此货船能顺利通过这座拱桥。 解法二：当EN=1.5时，0E=V3.92-1.52=3.6, ∴.DE=OE-OD=2.1>2, ·∴.此货船能顺利通过这座拱桥. 25.【答案】解：(1)由圆周角定理知：∠B=∠D=60°， .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠BAC=90°-∠B=30°， .BG-AB-3, OE⊥AC, 第19页，共14页 .点E是AC的中点， ,点O是AB中点， OE是△ABC的中位线， .0E-1BC=3 (2)连接OC,如图： ○ B OE是△ABC的中位线， ∴.OE//BC, ∴.∠AOF=∠B=60°， 又.'OA=OF, ∴△AOF为等边三角形， .∴.AF=OA=CO, 第20页，共14页 .OE⊥AC, ∴.AE=CE, ∴.Rt△AFE≌Rt△COE(HL), ∴.∠EOC=∠EFA=60°，且阴影部分的面积等于扇形COF的面积， S=60n×3=3 3 3602 .故阴影部分的面积S为2π. 26.【答案】两点之间线段最短(2蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2V1+4元cm(3蚂蚁爬 行的最短距离为4V2 【解析】解：(1)由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短： 故答案为：两点之间线段最短； (2剪开后AB=2cm,BC=号×8π=4π(cm, 2 由勾股定理可得： AC=VAB2+BC2=V22+(4n2=2V1+4n2(cm), ,蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长为2V1+4π(cm), (3)设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n°， mx8=4元， 180 解得：n=90, ∴.该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形， 第21页，共14页 如解图，线段PP'的长为蚂蚁爬行的最短距离， M M 由勾股定理可得： MM'=VOM2+OM2=V82+82=8V2, .'点P为OM的中点， ∴.PP'是△OMM'的中位线， .PP'=MM'=42, ∴.蚂蚁爬行的最短距离为4√2. 第22页，共14页