第二十九章 圆 单元卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦“圆”的核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖概念、性质及实际应用，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直径与弦关系、外接圆性质、圆心角计算|结合反证法考查逻辑思维，如第8题假设三角形内角均小于60°| |填空题|6/18|弦长与拱高（月亮门）、莱洛三角形周长|联系传统文化与科技，如第12题月亮门半径计算| |解答题|8/72|圆锥侧面积、圆内接四边形证明、探究活动|综合实践与创新，如第24题拓展圆内接四边形性质，培养探究意识|

第二十九章 圆（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、下下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 3、如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4、如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ） A. B. C. D. 5、如图，点B，D，C是⊙O上的点，∠BDC＝120°，则∠BOC的度数是（ ） A. 120° B. 130° C. 150° D. 160° 6、 壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（   ） A． B． C． D． 7、综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（   ） A． B． C． D． 8、用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中（    ） A．至多有两个角小于60度 B．三个内角都小于60度 C．至少有一个角是小于60度 D．三个内角都大于60度 9、如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 10、如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于小王和小赵的说法判断正确的是（   ） 小王说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 小赵说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．小王正确，小赵错误 B．小王错误，小赵正确 C．小王正确，小赵也正确 D．小王错误，小赵也错误 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，点A，B，C是上的点，四边形是平行四边形，，交于点F，则的度数为______． 12、如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 13、如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 14、如图，圆锥的底面半径，高，则该圆锥的侧面积是 ． 15、如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 16、如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 18、如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    19、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点O，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过，，三点的圆的圆心，保留作图痕迹，不写作法． (2)过，，三点的圆的圆心坐标为__________． 20、如图，△ABC中，，以为直径的分别与，相交于点F，D． （1）求证：； （2）若，连接，，与相交于点E，求证：． 21、如图，P是的直径延长线上的一点，与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的长等于的半径，，求的度数． 22、如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了_____cm． 23、如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 24、“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法：①直径是弦；②半圆是孤；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条孤是等 孤；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分.其中正确的个数为（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端，点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线 段这一既念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端，点把圆分成两条孤，每一条孤都叫半圆，所以半圆是孤，所以②正 确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条孤是等孤，长度相等的两条孤不一定是等孤，所以④错误； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； ∴.符合题意的是①②③⑤，共4个. 2、下下列说法错误的是（) A.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B.任意一个圆都有无数个内接三角形 —1 C.任意一个三角形都有无数个外接圆 D.同一圆的内接三角形的外心都在同一个，点上 【答案】C 【详解】解：A、不在同一直线上的三个，点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个，点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确， 3、如图，在⊙O中，弦AB∥CD,连接BC交半径OD于点E.若∠BOD=8O°，则∠ABC的度 数为() D A400 838o C.45o D.80o 【答案】A 【详解】解：∠BOD=80°， ,∠BCD号B0D=40 ,·AB∥CD —2 .:∠ABC=∠BCD=40° 4、如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心0，另一边所在直 线与半圆相交于，点DE,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度为() D 0 34 ,6 A.Icm 8 2cm 3cm 4cm C. D. 【答案】C 【详解】解：连接OD，过，点O作OH⊥DE,垂足为H, D 0 2、3 6 E 89B DH=DE=4cm 2 在Rt△DHO中，OD=OC=5cm :.0H=V0D2-DH2=V52-42=3(cm) 即直尺的宽度为3cm 5、如图，，点B,D,C是⊙O上的点，∠BDC=120°，则∠BOC的度数是（) —3 0 B D A.120 B.130 C.150 D.160° 【答案】A 【详解】在优孤BC上取点E,连接BE,CE,如图所示， E B ,∠BDC=120°， ∴.∠E=180°-∠BDC=60°， .∴.∠BOC=2∠E=120°. 6、壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空 间，增添绿意和艺术感.如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架.图②是其截面示意 图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣孤AB围成的区域为种植区.已知种植区的深度为4cm,弦AB 的长为16cm,则圆形框架的半径为（) 4 B 深度 图① 图② A.9cm B.10cm C.16cm D.20cm 【答案】B 【详解】解：如图，作OC⊥AB交AB于，点C,交⊙O于点D,连接OA, B D .OC⊥AB, AC=BC=AB=8cm 设圆形框架的半径为xcm,则OA=xcm,OC=x-4cm, 在Rt△AC0中，OC2+AC=0A2, x-42+82=x2, 解得x=10, .圆形框架的半径为10cm, 7、综合实践课上，珍珍用半径9cm,圆心角为120°的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，如 图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是() 5 120° 27 A.2cm cm B.6cm C.3cm D.2 【答案】C 【详解】解：设圆锥的底面半径为cm, 120×9π 2r= 由题意可得： 180 解得：r=3, 故这个圆锥形生日帽的底面半径是3cm, 8、用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角形中() A.至多有两个角小于60度 B.三个内角都小于60度 C.至少有一个角是小于60度 D.三个内角都大于60度 【答案】B 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个角不小于60度”，应先假设这个三角 形中，三个内角都小于60度， 9、如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是(） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 6 【答案】C 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°. 10、如图，⊙0的半径为3，弦MN=2√5，Rt△ABC的直角顶，点B在弦MN上运动（可与，点M,N重 合)，点A,C始终在⊙0上，且AB=3.关于小王和小赵的说法判断正确的是() M B 小王说：“当点B与点M,点N重合时，∠C的度数是30°.” 小赵说：“连接OA,当OA与弦MN平行时，，点B到OA的距离为2.” A.小王正确，小赵错误 B.小王错误，小赵正确 C.小王正确，小赵也正确 D.小王错误，小赵也错误 【答案】A 【详解】解：如图所示，当，点B与，点M重合时，连接OB, ..OA=OB=AB=3 ∴.△AOB是等边三角形， .∠A=60°， .∠ABC=90°」 -7 .∠C=30°； 同理可得当点B与点N重合时，∠C=30°，故小王的说法正确； MB 如图所示，过，点O作OD⊥MN于D,连接OM, DM=MN=V5,∠ODM=90 2 ∴.OD=VOM2-DM2=V6, ·MN∥OA, ,点B到OA的距离为V6，故小赵说法错误， D -。0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，点A,B,C是⊙0上的，点，四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC,交⊙0于，点F, 则∠BAF的度数为一 —8 【答案】15° 【详解】解：连接OB、 四边形ABCO是平行四边形， .OC=AB,又OA=OB=OC, ..OA=OB=AB ∴.△AOB为等边三角形， .·OF⊥OC,OC∥AB OF⊥AB .∠BOF=∠AOF=30° ∠BAF=∠BOF=150 由圆周角定理得 故答案为：15 -9 12、如图(1)，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭， 半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意图，弦AB长2m,拱高CD 长3m,则该拱门的半径是 m D A CB 图(1) 图(2) 【答案】3 【详解】解：如图，连接OA, D to 图(2) 设该拱门的半径OA=OD=m, 根据题意得CD在OO的直径上，AB⊥CD, .AB=2m, C-4B=1m .CD=3m, —10— .OC=CD-OD=(3-r)m, 在RtAACO0中利用勾股定理，得AC2+OC2=OAP, 1+(3-}=2 5 r= 3 、m 该拱门的半径是3， 故答案为：3 13、如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个 顶点为圆心，边长为半径的三段圆孤，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长 是 【答案】2π 60m×2 ×3=2π 【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是180 故答案为：2π 14、如图，圆锥的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则该圆锥的侧面积是 cm2. —11— 【答案】60m 【详解】解：OB=6cm,OC=8cm,C01AB, :.CB=V62+82=10cm 圆锥的侧面积=wR=6x10m=60m(cm2） 故答案为：60m】 15、如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以，点C为圆心，CB长为半径画孤， 分别交AC,AB于，点D,E,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)· A D B 2 【答案】3-V3 详解】解：连接CE LA=30°， :.∠B=90°-∠A=60°， 12 ·CE=CB, ·.△CBE为等边三角形， ·.∠ECB=60°，BE=BC=2, S0形CE 22×60元2 π 360 3, .S△BCE= BC2=3 4 2 '.阴影部分的面积为3 -V3 2 故答案为：3 π-V3 A D E B 16、如图，△ABC外接圆的圆心坐标为 6 5 B 3 2 1 1234567x 13 【答案】(5,0) 【详解】解：作线段BC、线段AB的垂直平分线相交于点D,如图， 6 4 B 2 A 1 >、D 0123467主 由图可得点D的坐标为：(5,0)， 故答案为：(5,0). 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，线段AB过圆心O,点A,B,C,D均在⊙O上，请指出那些是直径、半径、弦，并把 它们表示出来， 【答案】见详解 【详解】解：直径有：直径AB; 半径有：OA、OB、OC; 弦有：弦CD、弦AB. -14 18、如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为3m、圆心角为120°的扇形，制作这 顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留π） 【答案】4πm2 120×32×元=3m2 【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：360 120 2r= ×3×元 设帐篷的底面半径为”，则 180 解得：r=1, 长篷的底面需要的材料为心=2 制作这项帐篷（侧面与底面）需要的材料为：元+3沉=4m 19、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，，点O,A,B,C在格，点（两条网格线 的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系. —15 (1)请仅用无刻度直尺按要求作图，画出过A,B,C三点的圆的圆心M,保留作图痕迹，不写作 法 (2)过A,B，C三点的圆的圆心M坐标为」 【答案】(1)画图见详解(2)1，-2) 【详解】(1)解：如图所示，点M即为所求； (2)解：由(1)图可知，圆心M坐标为(1，-2)， 故答案为：(（1，-2) 20、如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于，点F,D. (1)求证：BF=DF; (2)若∠BAC=45°，连接AF,BD,AF与BD相交于，点E,求证：AE=BC 【答案】(1)见详解(2)见详解 【小问1详解】 —16 AB是直径， .·∠AFB=90° ..AB=AC, .∠BAF=∠CAF, :BF=DF. 【小问2详解】 AB是直径， .∠ADB=90°， .∠ABD=∠BAD=45° .AD=BD :∠C+∠CBD=90°，∠C+∠CAF=90° .∠CAF=∠CBD :∠ADE=∠BDC=9O°，∠CAF=∠CBD,AD=BD :.△ADE=aBDC(AAS) .AE=BC 21、如图，P是⊙0的直径AB延长线上的一，点，PC与⊙0分别相交于，点E和，点C,过点C作 之◇⊥AB六AB 于点P,交©0于点D,连接PD ⊙0 —17 E (1)求证：PC=PD; (2)若PE的长等于⊙0的半径，∠APC=20°，求∠A0C的度数. 【答案】(1)见详解 (2)60° 【详解】(1)证明：AB是直径，CD⊥AB, ∴CF=DF :AB。CD 是的垂直平分线， .PC=PD (2)解：如图，连接0E, D .∴.OE=OC PE ⊙0 的长等于 的半径， ..OE=OC=PE ∴.∠EOP=∠APC=20° ∴.∠OEC=∠EOP+∠APC 18 =40° .∠OCE=∠OEC=40° ∴.∠AOC=∠APC+∠OCE =20°+40° =60° 22、如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器-一蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截 面是圆，且当截面圆中弦AB的长为16cm时，瓶内液体最大深度CD为4cm. D (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度CD降低1c,那么截面圆中的弦AB减少了 cm. 【答案】(1)截面圆的半径为10cm; (216-25列) 【详解】(1)解：由题意知OD⊥AB BC AC-AB=8cm 设球形的半径OB=OD=r,则OC=OD-CD=r-4, —19 在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2 (0-42+82=2 解得r=10, 10cm 截面圆的半径为 (2)解：由题意知CD=4-1=3(cm) ∴.0C=10-3=7 在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2, :BC=V102-7=51 .AB=2V51 ∴藏面周中的孩AB减少76-25cm； 故答案为： (16-2W51 23、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,∠ADC=120°，连接BD (1)求∠ADB的度数； (2)求证：BD=AD+CD 【答案】(1)60°(2)见详解 -20 【详解】(1)解：四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=180: .:∠ADC=120°， ∴.∠ABC=60 AB=AC .△ABC是等边三角形， .∴.∠ACB=60°， .AB=AB' .∴.∠ADB=∠ACB=60°· 答：∠ADB的度数为60°. (2)证明：如图， D 。E 在BD上截取BE=CD,连接AE, 由(1)知，△ABC是等边三角形， ∴AB=AC AD=AD —21— .∴.∠ABE=∠ACD 在△ABE和△ACD中， AB-AC ∠ABE=∠ACD BE=CD ∴.△ABE≌△ACD(SAS)' ∴.AE=AD1 ,∠ADB=60, 、△ADE是等边三角形， ∴.DE=AD? .∴.BD=DE+BE=AD+CD 24、“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： D D D C 图1 图2 图3 (1)如图1，点A、B、C在⊙0上，点D在⊙O外，线段AD、CD与⊙0交于，点E、F,试猜想 ∠B+∠D 180° (清填>”、。”或”)， (2)如图2，点A、B、C在⊙0上，，点D在⊙0内，此时(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，请 22 予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形ABCD中，对角线BD长为8，∠A=30°，∠C=150°，则四边形ABCD面积的最 大值是■ 【答案】(1)< (2)不成立，∠B+∠D>180°，证明见详解 (3)64 【详解】(1)解：连接CE,如图： y D 0 B ,四边形ABCE为⊙O的内接四边形， .∠B+∠AEC=180°， 在△CED中，∠AEC>∠D, .∠B+∠D<180°， 故答案为：<； (2)解：(1)的结论不成立，理由： 延长AD交OO于，点E,连接CE,如图： —23 D E B ,四边形ABCE为⊙O的内接四边形， .∠B+∠E=180°， 在△CDE中，∠ADC>∠E, .∠B+∠ADC>180° 即∠B+∠D>180° 故(1)的结论不成立. (3)解：∠A+∠C=30°+150°=180°，四边形ABCD的内角和为1ABCD, .∠ABC+∠ADC=180°， 即四边形ABCD四，点共圆， 分别过，点A、C作AM⊥BD于，点M,CN⊥BD于点N,如图： A 、O B 则四边形ABCD面积 S。A8D+S.BCDF2 0-AM+分BD-av-0x(4W+C 24 故当A、M、N、C共线且AC为圆的直径时，四边形ABCD面积最大， 连接OB、OD, ∠BAD=30°， ∠BOD=2∠BAD=60°， 又OB=OD 故△BDO为等边三角形， ..OB=OD=BD=8 则AC=20B=16, 1 =×BD×AC=二×8×16=64 则四边形ABCD面积最大值2 2 故答案为：64， -25