第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（培优）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何培优单元卷，融合多地区检测真题，覆盖向量运算、立体几何位置关系及度量问题，适配单元复习，助力提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|空间向量坐标表示、正四面体性质|第3题结合重心考查向量线性运算，体现数学思维| |选择题（多选）|3/18|空间向量夹角、线面平行|第10题四棱锥中综合考查线线垂直与距离，层次分明| |填空题|3/15|四点共面、平行六面体体对角线|第14题正四面体动点轨迹，渗透数学眼光| |解答题|5/77|二面角、线面角、折叠问题|第19题折叠问题，考查空间观念与模型观念，贴合真题趋势|

第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】由可得，， 故， ， 又，， 故 ， 故选：C 4．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知空间向量，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】C 【分析】对于选项A，根据空间向量垂直的性质即可求解；对于选项B，根据空间向量的四则运算以及空间向量的相等关系即可求解；对于选项C，根据空间向量投影向量公式即可求解；对于选项D，根据空间向量的夹角与数量积即可求解. 【详解】对于选项A，已知，. 若，则，解得，故选项A正确； 对于选项B，已知，. 因此. 因为，所以，解得，故选项B正确. 对于选项C，根据空间向量投影向量公式,在上的投影向量为. 已知在上的投影向量为，所以. 因为，所以. 已知，，所以，. 因此，整理得. 由于上述一元二次方程无实数解，所以选项C错误. 对于选项D，若与夹角为锐角，则. 由，可得，即，所以选项D正确. 故选：C. 5．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 6．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】设下底面的中心为，上底面的中心为， 以为原点，以为轴，为轴，过作，建立空间直角坐标系， 由正三棱台的高为， 所以，，所以， ， 同理， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 所以， 所以， 所以二面角的大小为. 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解. 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 8．（25-26高一下·北京丰台·期末）在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 【答案】C 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； A：当点M是线段BC的中点时，此时点的坐标为，显然满足， 因此本选项结论正确； B：连接，， 所以， 所以，且两直线在平面内，所以面， 则三角形的三边就是的轨迹， 由于，， ，所以三角形的周长为，因此本选项说法正确； C：假设存在点M，使得点B到平面的距离为， ， 设平面的法向量为， ，取， 因为， 所以当时，得， 当时，得， 当时，， 所以点B到平面的距离为， 当时， 点B到平面的距离为， 解得：，显然假设不存在，所以不存在点M，使得点B到平面的距离为，因此本选项说法错误； D：任意点平面，此时，所以， ， 因为，平面， 所以都有平面，因此本选项说法正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 10．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【答案】/4.5 【分析】由题意分析出向量共面，即存在唯一的有序实数对，使得，据此列出方程组，即可求出实数. 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 13．（26-27高二上·河北保定·开学考试）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·江西·期中）在空间直角坐标系中，点，，，设，． (1)求与方向相同的单位向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由单位向量计算公式即可求解； （2）由向量夹角公式即可求解； （3）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以与方向相同的单位向量的坐标为． （2）由题意得， ． （3）由题意得， 则， 得． 16．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 17．（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是等边三角形，二面角为，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接， 因为为中点，四边形为正方形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 由三角形中位线性质可得∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，且平面，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面. (2) 【分析】（1）取中点，通过平面∥平面，证明∥平面； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）如图，取中点，中点，连接， 因为，所以，又，所以， 屏幕平面,平面,平面， 所以为二面角的平面角， 则，以为原点，直线为轴，直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，, ， 所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，即， 取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（2026·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用直三棱柱的性质和线面垂直的判定定理，证明平面，从而得到结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到平面的距离；（ⅱ）先求平面的法向量，再根据和P是矩形上的条件，转化为向量夹角问题求解. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，    又因为，平面，平面，， 所以平面，   因为平面，所以； （2）（ⅰ）设，依题设以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 因为，所以，即，解得，     则，， 得，， 设平面的法向量为， 由，得，令，所以，     又，所以点到平面的距离； （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 由，得，令，所以， 取中点Q，则，连接，， 因为，，所以， 在中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，为半径的半圆， 设，则，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19．（2026高三·全国·专题练习）如图1，正六边形的边长为2，为中心，为的中点．现将四边形沿折起到四边形的位置，使得平面平面，如图2． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）结合正六边形的固有几何特征，明确折叠前后不变的线段长度与垂直关系，借助平面 平面的面面垂直条件，可通过几何法证明与平面内两条相交直线均垂直. （2）求二面角的大小，可求解两个平面的法向量，通过法向量的夹角结合二面角的实际锐、钝确定最终取值. （3）对于线面平行的存在性问题，可利用共线向量设出点的参数形式坐标，结合线面平行的向量判定条件（直线方向向量与平面法向量垂直）求解参数，即可判断点是否存在并得到对应比值. 【详解】（1）证明：图（1）中， ∴图（2）中，， 又平面平面，平面平面， 平面， 平面，， 又为的中点，， 又，∴四边形为菱形，， 平面 ，平面． （2）取的中点，连接，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示． ，，，， ，， 设平面的法向量为， 令，则，， 设平面的法向量为，则， ， ∴由图象可得，该二面角为锐角，二面角的大小为． （3）假设存在，设，，， ，，，， ，，    ， ， ，， 矛盾， ∴在线段上不存在点，使得平面． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何单元测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）已知空间向量，，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 5．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知正三棱台的高为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·北京丰台·期末）在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（   ） A．点M可以是线段BC的中点 B．点M的轨迹长度为 C．存在点M，使得点B到平面的距离为 D．任意点平面，都有平面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 10．（25-26高一下·重庆·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 11．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 13．（26-27高二上·河北保定·开学考试）在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·江西·期中）在空间直角坐标系中，点，，，设，． (1)求与方向相同的单位向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值． 16．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 17．（2026·浙江绍兴·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是等边三角形，二面角为，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（2026·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．（2026高三·全国·专题练习）如图1，正六边形的边长为2，为中心，为的中点．现将四边形沿折起到四边形的位置，使得平面平面，如图2． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $