第一章 空间向量与立体几何单元训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元复习卷，通过基础运算到综合应用的梯度设计，强化空间观念与推理能力，适配单元巩固及能力拔高需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|空间直角坐标系对称点、向量共面、线面垂直（如正方体线线关系判断）|基础巩固与易错点辨析，如多选第9题结合法向量考查平面方程| |填空题|3题15分|正四面体重心与线段长度、平面法向量夹角、动态异面直线成角范围|突出空间几何量计算，如第14题结合面面垂直动态分析| |解答题|5题77分|向量投影与平行四边形面积、正四面体向量表示、四棱锥面面夹角及体积最值|综合考查逻辑推理，如第19题探究体积最小值体现创新应用|

第一章 空间向量与立体几何单元训练卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 2．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A 5．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 6．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 7．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 8．（2026·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由可得，，从而可求出，关键是判断当三棱锥体积最大时，平面平面，建立空间直角坐标系可得到异面直线夹角的余弦值. 【详解】设，， 因为，所以，而，所以， 所以，，所以， 当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，平面平面， 所以平面， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设，的夹角为，则， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（     ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D．坐标原点关于平面的对称点是 【答案】AC 【分析】根据已知写出对应向量的坐标，应用单位向量的定义，夹角的坐标运算，点法式写出平面方程及对称性写出对称点判断各项的正误. 【详解】，，， 对于A：，与同向的单位向量为，正确； 对于B：， 则与夹角的余弦值为，错误； 对于C：由平面点法式方程，代入点A和法向量得，化简得，正确； 对于D：平面的法向量为，平面方程为， 设原点对称点为，则与平行，且中点在平面上，解得，错误. 10．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A．直线与直线所成角的正切值是 B．直线与平面所成角的正切值是 C．点到直线的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，连接， 因为， 所以直线与直线所成角即是直线与直线所成角， 因为平面，所以， 又，所以，A正确； 对于B，过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以直线与平面所成角为， 且，所以， 所以，B错误； 对于C，连接，， 所以， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以，C正确； 对于D，由图可知三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球， 故直径为，所以其外接球的表面积为，D正确. 11．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 【答案】ABD 【分析】取的中点E，的中点F，连接，，，，易得，，平面平面，故点M的轨迹为线段．对于A，易得平面，当M为线段中点时，，因为，所以；对于B，设直线与平面所成的角为，由平面知，在中，，即可求解；对于C，由的轨迹为线段，易得，所以与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值；对于D，建系后写出向量的坐标，令，得的关系式，由的范围即可求出的范围，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，的中点F，连接，，，，    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示．    则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示．    由平面知，， 在中，由，得，故B正确； 对于C，由的轨迹为线段，在正方体中，可知，所以与平面不平行， 又，点的轨迹为线段,所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，所以C错误； 对于D，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 13．（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 【答案】 【分析】设平面的法向量为，由，，求得，令的方向向量为，通过，，求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】因为，的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，① 又都在上，则, 即，② ①②联立，令，得， 即 又在上，令的方向向量为， 则，即 又，则，则， 即 令，解得，得， 又与的夹角即为与的夹角， ， ， ​， 因此： . 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)的坐标为或； (2)； (3). 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求； （3）利用空间向量的夹角公式求出，结合三角形的面积公式求结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量， 所以； （3）因为，，， 所以，， 所以， 即，又， 所以， 所以的面积， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 16．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 17．（安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷）如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为在平面中，，，所以，     又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交，     因为，，，平面，所以平面． (2)证明：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 因为且，所以且，     所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面，，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，所以，， ，，设平面的一个法向量， 则，即，取，得，   设平面的一个法向量，则， 即，取，得，     设平面与平面的夹角为，则． 18．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. (2) (3)存在点， 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）方法一：设在面上射影为，根据线面角定义可知为与平面所成角，由长度关系可求得的长； 方法二：假设，由线面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 19．（2026·河北沧州·一模）如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. (1)若平面，求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据点线面的位置关系得到点是的重心，从而由比例关系可得答案； （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，求出平面的法向量，利用夹角公式进行求解； （3）设，，由共线定理推论可得，由基本不等式可得，并得到体积最小值 【详解】（1）设，如图. 因为，所以，， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面平面，所以，所以点也是与的交点， 即点是的重心，所以. 因为平面，平面平面， 所以，所以. （2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，，所以，，，. 因为， . 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3）四棱锥的体积 . 由（1）知，恒过点，点为的重心.设，， 因为，，，三点共线， 所以，即， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时取等号. 因为，所以， 所以， 所以四棱锥的体积的最小值为. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何单元训练卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 6．（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 7．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（     ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D．坐标原点关于平面的对称点是 10．（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，是棱上的点，，则（　　） A．直线与直线所成角的正切值是 B．直线与平面所成角的正切值是 C．点到直线的距离为 D．三棱锥外接球的表面积为 11．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 13．（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 16．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 17．（安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷）如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 19．（2026·河北沧州·一模）如图，在正四棱锥中，是棱的中点，过的平面与棱，分别交于点，（包括端点），，交于点，，. (1)若平面，求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求四棱锥的体积的最小值. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $