精品解析：北京市第二中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

北京二中2026—2027学年度第一学期高三年级开学测试试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 32 C. 35 D. 40 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，E，F，G，H，N分别是，AD，，，AB的中点．则下列结论错误的是（ ） A. C，G，，F四点共面 B. 平面平面 C. 直线与BD是异面直线 D. 直线EF与HG所成角的正切值为 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知命题：；命题：为等腰三角形．则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 8. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 9. 已知函数，若，且，则的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 复数的虚部为______． 12. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______. 14. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则__________；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为__________. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 三、解答题：（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 在中,. （1）求; （2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 18. 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率； （2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 19. 已知O为坐标原点，椭圆上一点D的横坐标为1，斜率存在的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线DA，DB的斜率之和等于1. （1）求； （2）若点D在第一象限，探究的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 20. 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：． 21. 对于给定的奇数 ，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置” 1 1 1 0 0 1 0 1 0 (Ⅰ)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”； (Ⅱ)当时，若对任意的 都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值. (Ⅲ)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2026—2027学年度第一学期高三年级开学测试试卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，由得， 故， 所以 2. 设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 32 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，所以， 因为，即，解得， 所以， 所以. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 4. 直线与圆的交点为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，圆的半径为4， 所以圆心到直线的距离为， 由点线距离公式得，所以，解得． 5. 如图，在正方体中，E，F，G，H，N分别是，AD，，，AB的中点．则下列结论错误的是（ ） A. C，G，，F四点共面 B. 平面平面 C. 直线与BD是异面直线 D. 直线EF与HG所成角的正切值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线传递性判断A选项；由面面平行判定定理判断B选项；C选项中排除与BD相交和平行的情况即可得到与BD是异面直线；D选项中，首先根据平行线传递性和线线角定义得到为EF与HG所成角或其补角，再在直角三角形中求即可判断. 【详解】对于A，取中点，连结， 由于F是AD的中点，在正方体中可知， 又，所以四边形为平行四边形，故， 因此，A选项正确； 对于B，连结，由于E，F，N均为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理平面，平面， 所以平面//平面，B选项正确； 对于C，直线平面，平面，且，所以直线与不相交； 若，则平面或平面，这与平面矛盾，所以直线与不平行， 综上，与BD是异面直线，C选项正确； 对于D，由于，所以， 故为直线EF与HG所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为，则， 由于底面，底面，所以， 所以，所以直线EF与HG所成角的正切值为，D选项错误. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知命题：；命题：为等腰三角形．则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、二倍角公式、充分与必要条件等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于命题，，由正弦定理得， 所以， 由于， 所以或，所以或. 对于命题，为等腰三角形，如, 所以，所以命题是命题的既不充分也不必要条件. 7. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 8. O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积. 【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线焦半径公式知， 将代入，可得， 所以的面积为， 故选：A． 9. 已知函数，若，且，则的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先画出函数的图象，令，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出和，即可得出结果. 【详解】作出函数的图象如下： 令，则， 由题意，结合图象可得，，， 所以 ，，， 因此. 故选：A. 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于直线对称 C. 3是的一个周期 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设，结合偶函数的性质及函数的对称性可得的周期为12，进而得到，进而求解判断D；举例，即可判断ABC. 【详解】因为为偶函数，所以， 则，两边求导得，则， 由为偶函数，得，则， 由，， 得，则， 所以，则的周期为12， 由，令，得，即， 由，令，得， 由，令，得，即， 则， 所以，故D正确； 对于ABC，设，则， 而，则， 所以函数和均为偶函数，满足题意， 而，则的图象不关于直线对称，故A错误， 而，则的图象不关于直线对称，故B错误， 而的最小正周期为，故C错误. 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11. 复数的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故答案为： 12. 若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为________________ ，该双曲线焦点到渐近线的距离为__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由双曲线的方程可得， ， 所以双曲线的焦点在轴，且， 所以， 解得， 所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】由直线与曲线相切，得，然后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】设切点为， 因为，所以，得， 所以，即， 所以，， 当且仅当，即时，取最小值， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 14. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则__________；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用伸缩变换易得，由题意，令，可将题设条件转化为在上有唯一解，结合正弦函数的图象，以及，即得，解之即可. 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则，因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，因，则，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：；. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答. 【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 函数在上递减，在上递增，， 因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确； 显然当时，函数在上也递减，③错误； 当或时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称， 则当时，对于任意的，成立，此时，④正确， 所以正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑 三、解答题：（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16. 在中,. （1）求; （2）若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积. 条件①:; 条件②:; 条件③:. 【答案】（1） （2） 选条件①:存在且唯一确定,，； 选条件②:存在且唯一确定,,； 选条件③:不存在使得存在. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可; （2）结合正弦定理和余弦定理求解即可; 【小问1详解】 由正弦定理得, 得, , 因为, 所以 则. 所以, 所以. 【小问2详解】 选条件①: 因为, 由正弦定理得, 由余弦定理得, 解得， 则, 解得， 所以存在且唯一确定, 则. 选条件②:, 已知 由正弦定理得, 因为, 所以,, 所以存在且唯一确定, 则. 选条件③:, 由余弦定理得, 即, 所以,即, 因为, 所以不存在使得存在. 17. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2． (1)求证：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 【答案】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， ∴DE⊥平面A1CD， 又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE （2） (3)不存在，理由如下： 设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3] ∴， 设平面A1DP法向量为 则∴ ∴ 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则， ∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答． 第三问的创新式问法，难度非常大 【解析】 【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD； （2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小； （3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论． （1）略 （2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0） ∴， 设平面A1BE法向量为 则∴∴ ∴ 又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，） ∴ ∴CM与平面A1BE所成角的大小45° （3）略 考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角． 18. 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率； （2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望： （3）至少要进行11轮测试 【解析】 【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解； (2)的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望； (3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解 【小问1详解】 由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30， 其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件， 则，， 所以，. 【小问2详解】 参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 所以 【小问3详解】 记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试 19. 已知O为坐标原点，椭圆上一点D的横坐标为1，斜率存在的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线DA，DB的斜率之和等于1. （1）求； （2）若点D在第一象限，探究的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的纵坐标，然后代入两点间距离公式求解，即可得到结果； （2）设出直线的方程，将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理代入计算，然后由直线的斜率公式求出直线的方程，利用弦长公式以及三角形的面积公式进行求解，即可得到结果. 【小问1详解】 不妨设，将代入椭圆方程可得， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，若点D在第一象限，则， 不妨设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 由韦达定理可得， 因为直线DA，DB的斜率之和等于1，所以， 且点均在直线上，则， 整理可得， 将代入，可得， 整理可得， 因为直线不过点，所以，则， 此时直线的方程为，且过定点， 且满足，即， 又， 且点到直线的距离，所以， 不妨设，此时， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的面积的最大值为. 20. 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：． 【答案】（1） 时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点． （2） 函数， 当时，，所以函数只有一个极值点，不满足条件； 当时，，所以函数无极值点； 当时，，令得或；令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时， 因为，时，， 所以函数在上无零点，在上有一个零点， 所以； 当时，，令得或；令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时， 因为时，， ， 所以函数在上有一个零点，且， 所以， 综上，． 【解析】 【分析】（1）将问题转化成讨论与的交点个数，利用导数研究函数的单调性，从而结合图象得到答案； （2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的极值点和零点，依次证明不等式． 【小问1详解】 因为， 当时，，此时有一个零点； 当时，，所以不是函数的零点， 令， 故只需讨论与的交点个数即可， ， 因为， 所以在和上单调递减，在上单调递增， ，且时，，且时，， 所以的大致图象如图所示： 故当与有一个交点， 当时，与有2个交点； 综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点． 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点点睛：零点可理解为两函数的交点的横坐标，在求解时可分析单调性和极值，数形结合求解. 21. 对于给定的奇数 ，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置” 1 1 1 0 0 1 0 1 0 (Ⅰ)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”； (Ⅱ)当时，若对任意的 都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值. (Ⅲ)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中条件，直接列举出结果； (Ⅱ)先由题意，确定，再确定“好位置”的数个数最小值，最后列举，即可得出结果. （Ⅲ）同(Ⅱ)结合对称性确定“好位置”的数个数最小值，再通过列举，证得结论. 【详解】（Ⅰ）“好位置”有： （Ⅱ）因为对于任意的，； 所以当时，， 当时，； 因此若为“好位置”， 则必有，且 ，即 设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于， 则有列中含的个数不多于， 所以，， 因为为自然数，所以的最小值为 因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过 所以，该数表好位置的个数不少于个 而下面的数表显然符合题意 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 此数表的“好位置”的个数恰好为 综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为 （Ⅲ） 当为“好位置”时，且时， 则有，所以， 注意到为奇数，，所以有 同理得到 当为“好位置”，且时， 则，则必有， 注意到为奇数，，所以有 同理得到 因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数， 所以不妨设 其中， 则数表可以分成如下四个子表 其中是行列，是行列，是行列，是行列 设，，，中的个数分别为 则，，，中的个数分别为 则数表中好位置的个数为个 而 ， 所以 所以 而 显然当取得最小值时，上式取得最小值， 因为，所以 当时，数表中至少含有个， 而，所以至少为 此时 当时，数表中至少含有个 而，所以至少为 此时 下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为 【点睛】本题主要考查合情推理，结合题中所给条件，逐步分析即可，属于常考题型，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $