北京市第十八中学2026-2027学年高三年级上学期九月份检测数学试题

北京市第十八中学高三年级九月份检测 数学2026.09 一、单选题（10*4=40) 1.如果集合A=(x∈Z-1≤x<3),B={-2,-1,0,1,2,3},那么A∩B=（) A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1,2 D.{01,2,3} 2.复数z=m2-1+(m+1)i是纯虚数，则实数m=() A.0 B.-1 c.1 D.±1 3.已知命题P:3x∈R,x2-x>0,则命题P的否定为（) A.x∈R,x2-x<0B.x∈R,x2-x≤0C.3xeR,x2-x<0 D.3x∈R,x2-x≤0 4.设x∈R,则“x-2<1”是“x2+x-6<0”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.下列说法正确的是（) A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的 概率是0.01； B.已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23： D.若样本数据x,2,…,x0的标准差为8，则数据2x,2x2,…,2xo的标准差为32. 6.甲、乙两人投篮的命中率分别为(0<p<1)和，现甲、乙各投篮一次，记X为甲命中的次数，Y为 乙命中的次数，若D(X)>D(Y),则p的取值范围是() A(剖 c.(uG.(G到 7.设a=t-,b=i+c=(2+),其中-1<t<0,则（） A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 8.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长， 现有一台计算机每秒能进行二×102次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行226次运算，那么 处理这段自然语言的翻译所需时间约为（)（参考数据：lg2≈0.301,10.829≈6.753） A.6.753×1025秒B.6.753×1023秒C.6.753×1022秒D.6.753×1021秒 9.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个 数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天 所吃水果个数的不同选择方案共有 A.50种 B.51种 C.140种 D.141种 1,x∈Q 10.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)= 0,x∈CQ 其中R为实数集，Q为有理数集。则关于函数f(x)有如下四个命题，正确的为() A.对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0 B.对任意x∈R,都存在x∈Q,f(x+x)=f(x) C.若a<0,b>1,则有{f(x)>a={xf()<b D.存在三个点A(x,f(x),B(x2,f(x2),C(x,f(x),使△ABC为等腰直角三角形 二、填空题(5*5=25) 山.函数f)n(x+的定义城为 12.在(1-x)的展开式中，x2的系数是 ·(用数字作答) 13,某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务，若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概 率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5.设语音指令接收清晰的概率为卫， 若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则P的值为 14.若对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),写出符合要求的一个解析式f(x)= ，则函 数8()=2+f(冈+4在到-2023,202]上的最大值M与最小值m的和M+m=一 15.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]上-4，[2.1=2，设函数g(x)=[x]-2x, 关于g(x)有以下四个命题： (I)对任意整数n,满足[x+n=[x]+n (2)当x∈【-2,2)时，g(x)的值域为(-4,2] (3)x∈[-2,2)，有g(x)≤m恒成立，则实数m≥2(4)若[x]+[2x]=4,则实数x的取值范围是 2 2 页，共2页 以上命题为真命题的有 三、解答题(85分) 16.(13分)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a∈R), (1)若不等式f(x)<0的解集为(1,3)，则a+b=；(只写结果) (2)若b=-a-3,求不等式f(x)>-4x+2的解集. 3)若f)=4,b>-1,a>0,求二+a的最小值. a'b+l 17.（14分)甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有 1个红球，2个白球， (1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取 到红球的概率是 ·(只写结果) (2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； (3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球 的概率。 18.(14分)已知函数f()=3x- (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明： (2)判断函数f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并利用定义证明； (3)写出不等式f(a2+1)<f(a+3)的解集（只写结果） 19.(14分)某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对 象，为此购买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒 太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下： 发芽的太空种子数 发芽的普通种子数 辣椒 90 83 番茄 88 82 试卷第2 大豆 91 85 假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率。 (1)估计这批太空辣椒种子发芽的概率； (2)某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X,求X的分 布列和数学期望； (3)某同学设计了每类作物种子的混合方案如下： 方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合； 方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合； 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合. 上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是 (直接写出序号) 20.(15分)已知直线y=方x是函数f()=ln(@)+云的一条切线。 (1)求a的值； 2设实数k使得f()2x-》+1-lh2对xe@+o)恒成立，求k的值： (3)证明：对任意的，1（，+o),均有f(s+-)<f)+0-2 21.(15分)已知函数f()的定义域为D=(∞，u(0,+o,如果eD,都有f)=f, 那么称 函数f(x)具有性质P. ()已知函数()=本4(xeD,8(=x生(x∈D)直接判断函数了)，g()是否具有性质P: Q对于函数(y=千4(xeD,证明：存在定义域为(，4U4o)的函数（日，使得 Ax+)=fe对任意xeD成立： (3)对任意具有性质P的函数f(x),判断是否存在定义域为(-o,4]U[4,+o)的函数h(x),使得 Ax+)-闲对任意xeD成立，并说明理由. 页，共2页 高三开学测试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 A C B D C D B A D C 9.D 【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多 一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数.当6次选择均为“持平”时，共有C。=1种方 案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有4C4=30种方案；当 6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有CCC?=90种方案；当6次 选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有CC=20种方案综上可得小明在 这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1+30+90+20=141种方案，故D正确： 考点：排列组合，考查分类讨论思想 10.C 【详解】对于A,由题意，当x是有理数时，-x是有理数时，结论错误，故A错误 对于B,当x2是无理数时，若x为有理数，则x+x2是无理数，f(x+x2)=0,f(x)=1,f(x+x2)≠f(x), 故B错误； 对于C,由题意知函数y=f(x)的值域为0,1，当a<0且b>1时，{xf()>a}=R,{xf()<b}=R， 所以{xf(x)>a={xf(x)<b},故c正确： 对于D,由函数y=f(x)的值域为0,1}，可知△ABC三个顶点的纵坐标要么有两个1和一个0，要么有 两个0和一个1， 不妨设f(x)=f(x)=1,f(x2)=0,如图，在等腰直角△ABC中，取斜边AC的中点D, AD=CD=BD=1-0=1,所以x2-x1=x3-x2=1, 故当f(x)=1即x是有理数时，x2=x+1也是有理数，从而有f(x2)=1,这与f(x2)=0矛盾，故D错误 答案第1⑦ D B 二解答题 11.(-1,0)U(0,+o) 12.15 13.075【详解】设事件A为语音指令接收清断，事件B为完成扫地任务。 则P(A)=p,P(A=1-p;P(BA)=0.9,P(BA=0.5,P(B)=0.8;因为AB与AB互斥， P(B)=P(ABAB)=P(4B)+P(AB)=P(4)P(BA)+P(P(B 3 =0.9p+0.5(1-p)=0.4p+0.5=0.8,解得p=三 41 14.x(符合题意任写一个即可) 【详解】因为对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), 所以令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0: 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数. 若f(x)=,则f(y)=y,f(x+y)=k(x+y)=cx+y,所以f(x+y)=f(x)+f(y),符合要求 所以符合要求的一个解析式可以是f(x)=x. 此时，g(创=++4=++4， x2+1 令)=本+x,则（创的定义域为R,且(-=千X=-A)， 所以h(x)为奇函数，所以h(x)的图象关于原点对称， 记h(x)在[-2023,2023]上的最大值为A与最小值为a,则A+a=0. 所以函数g()=+f)+4在-2023,2023]上的最大值M与最小值m的和M+m=4+4+a+4=8. ,共4页 15.(1)(3)(4) 对(1)，设x=k+t,其中k=[x],0≤t<1,则x+n=(化+m)+t,[x+n川=k+n=[x]+n,(1)对： 对(2)，x∈[-2，-1)时，[x]=-2,g(x)=-2-2x,此时g(x)e(0,2], 同理，x∈[-1,0)时，g(x)e(-1,；x∈[0,1)时，g(x)e(-2,0];xe[l,2)时，g(x)e(-3,-], 综上，x∈[-2,2)时，g(x)∈(-3,2]，(2)错； 对(3)，x∈[-2,2)时，g(x)e(-3,2],故若x∈[-2,2)，g(x)≤m恒成立，则m≥2，(3)对； 对(4，设x=k+1,其中k=[冈，0≤1<1,0≤1<时，2]=2水， 则[冈+[2刘]=4可化为3k=4,解得k=4,不是整数，舍去： 1<1时，侧=2k+1,则[+2=4可化为+1=4，解得k=1,放1+x<1+1 x<2,④)对.故选：(D⑤ 三.解答题 16.【详解】(1)由不等式f(x)<0的解集为(1,3)可得：方程ax2+(b-2)x+3=0的两根为1,3且a>0, 由根与系数的关系可得：a=1,b=-2,所以a+b=-1 (2)由f(x)>-4x+2得ax2+(b-2)x+3>-4x+2,又因为b=-a-3, 所以不等式f(x)>-4x+2化为ax2-(a+1)x+1>0,即(x-1)(ax-1)>0, 当a=0时，原不等式变形为-x+1>0,解得x<1 当a0时，日<1，原不等式(-x-)k0台。<x<1. 若a>0,原不等式-(-日x-小0， 此时原不等式的解的情况应由二与1的大小关系决定，故 当a=1时，不等式-}x->0的解为x1: 当a>1时，&<1，不等式-(x-)小>0分x<2或x>1: 答案第2) 当0<a<1时，>1，不等式（-小0x<x君 0 综上所述，不等式的解集为： 当a<0时 {小： 当a=0时，{xk<； 当0<a<1时， <, 当a=1时，{xx≠1}； 当a>1时， (3)由已知得f(0)=4,a+(b+1)=4,又b>-1则1+，a=0+6++a a b+1 4a4a b+1 +2阳品1消且仅当知6品，即2a=41-时等号立 3 17.【详解】(1)解：设事件A=“第1次取到白球”，B=“第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为N=5×4=20种取法， 6 则P(0=CS=,P代4=SC=6,可得P(A) P(AB)-20=1 2020 20201 P(4) 122 20 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为分： （2)解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为N,=C2=10种取法， 设事件E=“所取的2个球中至少有一个红球”，则E=“所取的2个球中全是白球” 则P(E)= g=3,可得P(回=1-P②=1-3=7 1010 10109 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率乙 10 (3)解：设事件C=“取到的2个球中恰有1个红球”，事件D,=“从甲袋中取到红球”， 事件D2=“从甲袋中取到白球”， 3 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得PD)PD)名 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， ,共4页 侧则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为P(Cl口)-C29=4? C%63 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为P(CD,)=cCS=2= C62 根据全板率公式，可得q=QrCD)+DmC1D)-子X号+对音+启-员 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为 0 18.(1)f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)=3x-二的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，定义域关于原点对称， 又=-3x子(3x)-,所以f闪为奇番数 (2)f(x)在(0，+o)上的单调递增，证明如下： 任取x,x2∈(0，+0)，且x<x2, 则)-0%=3x3=3-)-店》 ---f+ 因为0<x<x2,所以x-x2<0,3+>0, xx2 所以f(x)-f(x)<0,即f(x)<f(x),即f(x)在(0，+o)上单调递增. (3)因为f(x)在(0，+o)上单调递增，又a2+1≥1，a+3≥3， 所以不等式f(a2+1<f(ad+3),即a2+1<d+3,即la-al-2<0, 即(al+1a-2)<0,又a+1>0恒成立， 所以d-2<0,即la<2,解得-2<a<2, 所以不等式f(a2+1)<f(a+3)的解集为(-2,2). 答案第3 19.【详解】(1)这批太空辣椒种子发芽的概率为 90 =0.9; 00 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X=0)=(1-0.93=0.001,P(X=1)=Cg0.91-0.9)2=0.027, P(X=2)=C0.92(1-0.9)=0.243,P(X=3)=C0.93=0.729, 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 E(X)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7; (3)对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为0.9，普通辣椒种子发芽的概率为0.83， 0.9×1+0.83×2 将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合后发芽的概率为 ≈85.3%>85%， 1+2 同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合后发芽的概率为 0.88×1+0.82×3=83.5%<85%: 1+3 方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合后发芽的概率为 0.91×2+0.85×3 2+3 =87.4%>85%, 故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③ 20.【详解】1)国士京，设切点为（化%，∴f心<）=2 6221 x=1,%=7且f0=方a=1 ②）由D知=a+安·hr+会之引1-h2对于Qo恒政立 ..Inx+ 1+lm220, 令闭-x+2文个-}1+h2,则(20在@上恒成立 页，共4页 又)-0x为g因的极小值点，8付=2-2k=0.即k=0, 下证k=0满足题意： 当k=0时，∴g(x)=1-1=2x- x2x22x2 0<x<2时，2x-1<0,8(0,8(④单调递减： x>2时，2x-1>0,8()>0,8(x)单调递增. “ge以=8日)0，÷8刻上0恒成立得证。 6=+安x0)2安 令()=了()，(=二。 x>1时，H(x)<0,h(x)单调递减，即f'(x)单调递减. 令F)=fo)+f)-fs+1-)-7,且s,4e(,+o).F(s)=f()-f'(s+i-). ·t>1,∴s+(-1)>s,由f'(x)在(1，+∞)上单调递减，f'(s+t-1)<f(s). F(s)='(s)-f'(s+t-)>0,F(s)单调递增. 又F四=f0+f)-f0-20. s>1时，F(6)>0恒成立得证，即对任意s,t∈（山，+∞）均有f(s+1-1)<f(s)+f)-】 21.(1)f(x)具有性质P,g(x)不具有性质P 对于随数f国-产4e(,0叭u0+m), 44 则( 4x 16 故f(x)具有性质P; 对于函数g()=x生，x(-o,u(0,+o), 答案第40 则)-头=（到g*, x 故g(x)不具有性质P; (2)设1=x+生，xeD,由二次方程2-c+4=0的判别式△=-16≥0，解得1≤4或124， 即t∈(-o,-4U[4,+o),符合h(x)的定义域要求， 将f=年用表示，因为1=x+经加=2+4→+4=，所以-点*0。 定义h(={∈(-o,-4[4,+o》,则对任意x∈D, 有A+)0=(),故存在这样的函数： (3)存在，理由如下： 设1=x+年，xeD,同理得1e(-0,4[4,+o), 对于任意1在该范围内，方程x2-x+4=0的两根为x,x2, 由韦达定理得x5=4,即% 4 因)具有椎质P,故)=)f)。 即对于每个4，所有满足1=x+生的x∈D对应的f()值唯一确定， 因此，可定义0为该难一确定的值，使得对任意xeD,有+到-f(),且()的定义蛾为 (-o,41U[4,+∞） 7,共4页