2.1 认识有理数 同步练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过生活情境与概念辨析结合，从基础认知到综合探究，培养抽象能力、推理意识与应用意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|正负数表示、有理数分类等核心概念|以气温、跳绳达标等生活情境题为主，强化概念理解| |能力提优篇|非正整数辨析、偏差分析等概念应用|多条件筛选（如“非正整数”）和实际偏差计算，提升推理能力| |压轴拓展篇|分类树纠错、命题反例探究等综合应用|通过10个数分类纠错、自拟错误命题，发展数学思维与表达|

北师版七年级上册数学 · 2.1 认识有理数 北师版七年级上册 2.1《认识有理数》 分 层 作 业 基础巩固篇 （一）选择题（共8题） 1．冬季某天，哈尔滨气温为零下9 ℃。用有理数表示该气温，应记为（　　） A．－9 ℃ B．＋9 ℃ C．0 ℃ D．9 ℃ 2．体育课一分钟跳绳测试以120次为达标线，小航跳了120次。若“超过达标线的次数”记为正，“不足的次数”记为负，那么小航的记录是（　　） A．＋120 B．－120 C．0 D．＋1 3．下列各数中，属于分数类有理数的是（　　） A．－6 B．0 C．2.75 D．13 4．某港口以海平面为0 m，潜水员位于海平面下18 m处，记作（　　） A．＋18 m B．－18 m C．18 m D．0 m 5．下列各数中，是有理数的是（　　） A．π B．0.121212… C．0.1010010001… D．√2 6．在－5，0，，＋12，－0.4中，负数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法正确的是（　　） A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0不是有理数 8．商场把“库存增加”记为正，“库存减少”记为负。某商品当天库存变化记作－36件，它表示（　　） A．增加36件 B．减少36件 C．库存为36件 D．没有变化 （二）填空题（共8题） 9．某电梯以地面层为0层，地下2层记作________层。 10．在－11，，0，8，－2.6，1.25中，整数有________，分数有________。 11．比0大的有理数叫________数；比0小的有理数叫________数。 12．某班举行知识竞赛，以80分为基准，86分记作＋6分，则75分记作________分。 13．把下列数分别填入合适位置：－4，0，，5，－1.8。正数有________；负数有________。 14．写出一个既是整数又是非负数的数：________（答案不唯一）。 15．有限小数－0.125可以写成分数________，因此它属于________数。 16．某城市一天中的最高气温比0 ℃高6 ℃，最低气温比0 ℃低3 ℃，分别记作________℃和________℃。 （三）解答题（共4题） 17．某校图书馆一周内图书借还情况如下：借出记为负，还回记为正。 周一＋35本，周二－48本，周三0本，周四＋27本。 （1）解释“＋35本”“－48本”“0本”的实际意义； （2）若只按“增加库存、减少库存、库存不变”分类，应怎样归类这四天的记录？ 18． 将下列各数按要求分类： －9，，0，6，－1.5，2.4，。 分别写出正数集合、负数集合、整数集合、分数集合。 19． 按要求写数，每小题写出3个： （1）负整数； （2）正分数； （3）非负有理数。 20． 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）所有整数都是有理数； （2）所有有理数都是整数； （3）有限小数一定是有理数； （4）0既不是正数，也不是负数。 能力提优篇 （一）选择题（共8题） 21．“水位上升2 cm”与下列哪个量具有相反意义（　　） A．水位下降2 cm B．水位低于警戒线2 cm C．水深增加2 cm D．水位为2 cm 22．在－3，－2.5，0，4，7/2中，属于非正整数的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．下列四个数中，不是有理数的是（　　） A．0.5 B．0.333… C． D．0.1010010001… 24．下列关于数集关系的说法正确的是（　　） A．正整数都是正有理数 B．分数都不是正数 C．负数都是负整数 D．0只属于整数集合 25．某零件标准长度为50.00 mm，检测结果用“实际长度－标准长度”表示。四个记录为－0.03 mm，＋0.01 mm，0 mm，＋0.05 mm，实际长度最接近标准值的是（　　） A．－0.03 mm B．＋0.01 mm C．0 mm D．＋0.05 mm 26．若a是非负整数，且a＜3，则a可能的取值个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．在－6，，0，1.2，5，8/3中，同时满足“不是整数且为非正数”的数是（　　） A．－6 B． C．0 D． 28．下列命题中，错误的是（　　） A．0是非负数 B．负分数一定是有理数 C．无限循环小数是有理数 D．非正数一定是负数 （二）填空题（共8题） 29．若x为整数，且－2＜x≤3，则x的所有可能值是________。 30．在－8，－0.6，0，，5，－2，1.5中，非负整数有________个，负分数有________个，非负数有________个。 31．某袋食盐标准质量为500 g，允许误差为±2 g。若以标准质量为0 g，则合格偏差的范围是从________g到________g。 32．某冷柜以－20 ℃为设定温度，显示“＋1.5 ℃”表示实际温度比设定值高1.5 ℃，则实际温度为________℃。 33．在下列各数中：－4，－1.25，0，，3，0.2020020002…，属于有理数但不属于整数的数有________。 34．若一个数同时属于“非正数集合”和“整数集合”，它可能是________（写出两个不同的数）。 35．小明把－6/3归入“分数集合”。化简后－＝________，因此它应归入________集合。 36．设集合A为所有正整数，集合B为所有非负整数，则A中的数________（填“都”或“不都”）属于B，而B中有一个特殊的数________不属于A。 （三）解答题（共4题） 37．某超市以“计划销量100件”为基准记录某商品连续5天的销量差值（超过计划记正，不足记负）： ＋8，－12，0，＋5，－3。 （1）分别说明－12和0的实际意义； （2）写出5天的实际销量； （3）按“高于计划、达到计划、低于计划”三类整理这些数据。 38． 从下列数中筛选满足条件的数： －5，－2.4，－1，0，，2，3.5，6。 条件：①是有理数；②不是负整数；③不是0；④小于4。 写出全部符合条件的数，并简要说明筛选过程。 39． 某批饮料的标准净含量为350 mL。抽测6瓶，记录相对标准值的偏差如下： ＋1.5，－2.0，＋0.5，－3.2，0，＋2.8（单位：mL）。 若规定偏差在－3 mL到＋3 mL之间（含端点）为合格： （1）写出6瓶饮料的实际净含量； （2）判断哪些合格，哪些不合格； （3）说明记录为0 mL的含义。 40． 同学甲说：“所有无限小数都不是有理数。”同学乙说：“只要一个数写成分数形式，它就一定属于分数集合。” （1）分别判断甲、乙的说法是否正确； （2）若错误，请各举一个反例； （3）概括两种错误产生的原因。 三、压轴拓展篇（尖子生选做） 综合探究大题（共2题） 41． 【分类树纠错与多条件归纳】 老师给出下列10个数： －12，0，，－2.5，4，0.6，，0.272727…，π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）。 小组A制作“有理数分类树”时，得到以下结论： ①整数：－12，0，4； ②分数：，－2.5，0.6，，0.272727…； ③非有理数：π，0.1010010001…。 （1）检查小组A的分类是否有错误；若有，请改正，并在改正后的有理数中写出所有非正有理数和所有非负整数。 （2）从这组数中分别选出一个数，使其满足“负数、整数、非正数”三个条件，以及“正数、分数、有理数”三个条件；再结合－9/3说明判断一个数所属类别时应依据书写形式还是数值。 （3）归纳整数、分数与有理数之间的关系，并说明0在按正负性分类时的特殊地位。 42．【基准记录与命题反例探究】 某实验室以20.0 ℃作为恒温箱的目标温度，把“实际温度－目标温度”记作偏差。四次检测偏差为：－0.8 ℃，＋0.3 ℃，0 ℃，＋1.1 ℃。 （1）写出四次检测的实际温度，并按“低于目标、等于目标、高于目标”分类；若规定偏差在－1.0 ℃到＋1.0 ℃之间（含端点）为正常，同时判断四次检测是否正常。 （2）判断下列命题的真假，并分别说明理由：P：“所有非负有理数都是正有理数”；Q：“若一个有理数不是正数，则它一定是负数”。错误命题请给出反例。 （3）仿照上面的命题，自拟一个关于“整数、分数、正数、负数、0”之间关系的错误命题，给出反例，并指出错误根源。 第二部分 参考答案与详细解析 一、基础巩固篇 （一）选择题 1．【答案】A 【解析】零下9 ℃低于0 ℃，用负数表示，记作－9 ℃。 【易错点】负号表示低于0 ℃这一相反方向。 2．【答案】C 【解析】记录的是“实际次数与达标线120次的差”。120－120＝0，所以记作0。 【易错点】达到基准时记录为0，而不是记作基准本身。 3．【答案】C 【解析】2.75＝，是非整数有理数，属于分数类；－6、0、13都是整数。 【易错点】分类要看数值，不只看书写形式。 4．【答案】B 【解析】海平面以下规定用负数表示，低18 m记作－18 m。 【易错点】同一基准下“上/下”是相反意义。 5．【答案】B 【解析】0.121212…是无限循环小数，可化成分数，因此是有理数。其余三个都是常见无理数或无限不循环小数。 【易错点】无限小数要区分循环与不循环。 6．【答案】B 【解析】负数有－5和－0.4，共2个；0不是负数，7/3和＋12是正数。 【易错点】0既不是正数也不是负数。 7．【答案】C 【解析】0是整数，也是有理数，但0既不是正数也不是负数。 【易错点】0是本节分类中的特殊数。 8．【答案】B 【解析】题意规定库存减少记为负，－36表示库存减少36件。 【易错点】记录的是变化量，不是库存总量。 （二）填空题 9．【答案】－2 【解析】地下方向与地上方向相反，以地面层为0，地下2层用－2表示。 【易错点】基准为0时，相反方向用相反符号。 10．【答案】整数：－11，0，8；分数：，－2.6，1.25 【解析】－2.6＝，1.25＝，均是非整数有理数，属于分数类。 【易错点】有限小数可化成分数。 11．【答案】正；负 【解析】大于0的有理数叫正数，小于0的有理数叫负数。 【易错点】0不属于正数或负数。 12．【答案】－5 【解析】75比分数基准80低5分，因此记作－5分。 【易错点】先算实际值与基准值的差。 13．【答案】正数：，5；负数：－4，－1.8 【解析】2/3和5大于0；－4和－1.8小于0；0不属于正负数。 【易错点】0单独处理。 14．【答案】示例：0或3 【解析】非负整数是大于或等于0的整数，0、1、2、3…都符合。 【易错点】开放题答案不唯一。 15．【答案】；有理 【解析】－0.125＝＝，能写成两个整数之比，所以属于有理数。 【易错点】有限小数一定是有理数。 16．【答案】＋6；－3 【解析】高于0 ℃记正，低于0 ℃记负，所以分别为＋6 ℃和－3 ℃。 【易错点】符号由相对于0 ℃的方向决定。 （三）解答题 17．【答案】（1）＋35本表示还回35本；－48本表示借出48本；0本表示当天借还造成的库存净变化为0。 （2）增加库存：周一、周四；减少库存：周二；库存不变：周三。 【解析】题目规定“还回为正、借出为负”。因此正记录归入增加库存，负记录归入减少库存，0表示净变化为0。 【易错点】实际情境中的0表示“没有变化”，不表示“没有图书”。 18．【答案】正数：，6，2.4；负数：－9，－1.5，；整数：－9，0，6，；分数：，－1.5，2.4。 【解析】＝－4，是整数；－1.5＝，2.4＝，属于分数类有理数。0是整数，但既不是正数也不是负数。 【易错点】先化简再分类，避免把－12/3误看成分数类。 19．【答案】示例：（1）－2，－7，－15；（2），2.5，；（3）0，4，0.8。 【解析】负整数要求小于0且为整数；正分数要求大于0且不是整数；非负有理数包括0和所有正有理数。 【易错点】每个数必须同时满足题目给出的类别限制。 20．【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确。 【解析】（1）整数都能写成分母为1的分数形式，因此都是有理数。 （2）反例：1/2是有理数但不是整数。 （3）有限小数都能化成分数，所以是有理数。 （4）0既不大于0也不小于0，因此既不是正数，也不是负数。 【易错点】判断全称命题时，一个反例即可否定。 二、能力提优篇 （一）选择题 21．【答案】A 【解析】“水位上升”和“水位下降”是在同一量（水位变化）下方向相反，构成相反意义。 【易错点】必须是同一类量且意义相反。 22．【答案】B 【解析】非正整数是小于或等于0的整数。本组中－3和0符合，共2个。－2.5和7/2不是整数，4为正整数。 【易错点】“非正”包含0。 23．【答案】D 【解析】0.5、0.333…、－7/8均是有理数；0.1010010001…是无限不循环小数，不是有理数。 【易错点】无限循环小数是有理数。 24．【答案】A 【解析】正整数一定是正数，也一定是有理数。B、C均以偏概全；0同时属于整数、非负数、非正数等不同集合，所以D错误。 【易错点】集合关系可交叉，不能把“属于某集合”理解成“只属于该集合”。 25．【答案】C 【解析】记录0 mm表示实际长度恰好等于标准长度，偏差最小，因此最接近标准值。 【易错点】“最接近”对应偏差的大小最小，0最小。 26．【答案】C 【解析】非负整数且小于3，只能是0、1、2，共3个。 【易错点】0也属于非负整数。 27．【答案】B 【解析】“不是整数且为非正数”要求≤0且不是整数。－3/2满足；－6和0是整数，8/3为正数。 【易错点】多条件题逐条筛选。 28．【答案】D 【解析】非正数包括负数和0，因此“非正数一定是负数”错误。其余三项均正确。 【易错点】非正＝负数＋0。 （二）填空题 29．【答案】－1，0，1，2，3 【解析】由－2＜x≤3且x为整数，可依次取－1、0、1、2、3。 【易错点】左端不取－2，右端取3。 30．【答案】2；1；4 【解析】非负整数：0、5，共2个；负分数：－0.6，共1个；非负数：0、、5、1.5，共4个。 【易错点】1.5是正分数类有理数。 31．【答案】－2；＋2 【解析】允许误差±2 g表示偏差在－2 g到＋2 g之间，且端点均允许。 【易错点】±表示正、负两个方向的相同允许量。 32．【答案】－18.5 【解析】实际温度＝设定温度＋偏差＝－20＋1.5＝－18.5 ℃。 【易错点】偏差为正表示比设定值高。 33．【答案】－1.25， 【解析】－1.25＝、2/5都是有理数且不是整数；0.2020020002…是无限不循环小数，不是有理数。 【易错点】不要把所有小数都归为有理数。 34．【答案】示例：－2，0 【解析】同时属于非正数和整数，即“≤0的整数”，如－2、0等。 【易错点】0也是非正整数。 35．【答案】－2；整数 【解析】＝－2，化简后的数值是整数，所以应按数值归入整数集合。 【易错点】“分数形式”不等于“分数类”。 36．【答案】都；0 【解析】所有正整数都≥0，因此都属于非负整数；非负整数中还包含0，而0不是正整数。 【易错点】集合B比集合A多了0。 （三）解答题 37．【答案】（1）－12表示比计划少12件；0表示恰好达到计划100件。 （2）实际销量依次为108件、88件、100件、105件、97件。 （3）高于计划：＋8、＋5；达到计划：0；低于计划：－12、－3。 【解析】记录的是“实际销量－计划销量”。因此实际销量＝100＋差值。正数表示超过计划，负数表示低于计划，0表示恰好达到计划。 【易错点】不要把差值直接当成实际销量。 38．【答案】－2.4，，2，3.5。 【解析】原数均为有理数。先用条件②排除负整数－5、－1；条件③排除0；条件④排除不小于4的6。剩下－2.4、、2、3.5均小于4且满足其他条件。 【易错点】筛选题可按“先排除特殊类别，再检查范围”的顺序。 39．【答案】（1）实际净含量依次为351.5 mL，348.0 mL，350.5 mL，346.8 mL，350.0 mL，352.8 mL。 （2）合格：第1、2、3、5、6瓶；不合格：第4瓶。 （3）记录0 mL表示实际净含量恰好等于标准净含量350 mL。 【解析】实际净含量＝350＋偏差。合格区间为[－3，＋3] mL；－3.2小于－3，因此第4瓶不合格，其余偏差均在区间内。 【易错点】“含端点”表示偏差恰为－3或＋3也合格。 40．【答案】（1）甲错误，乙错误。 （2）甲的反例：0.333…，它是无限循环小数且0.333…＝，是有理数。乙的反例：，虽然写成分数形式，但其值为－2，是整数。 （3）甲混淆了“无限循环小数”和“无限不循环小数”；乙把“书写形式”误当成“数值类别”。 【解析】有理数既可表示成有限小数，也可表示成无限循环小数。判断一个数属于整数还是分数类，应先看化简后的数值。 【易错点】本节最常见的概念陷阱是“看形式分类”而不看数值。 三、压轴拓展篇 综合探究大题 41．【答案】（1）有错误。＝－3，其数值是整数，应从“分数”中移出并归入“整数”。改正后：整数为－12，0，4，；分数为，－2.5，0.6，0.272727…；非有理数为π，0.1010010001…。非正有理数为－12，0，－2.5，；非负整数为0，4。 （2）满足“负数、整数、非正数”的数可选－12或；满足“正数、分数、有理数”的数可选、0.6或0.272727…。虽然写成分数式，但化简后等于－3，所以判断数的类别应依据数值本身，而不能只看书写形式。 （3）有理数由整数和分数两部分组成；按正负性分类时，有理数分为正有理数、0、负有理数。0是有理数，也是整数，同时属于非负数和非正数，但0既不是正数也不是负数。 【解析】0.272727…是无限循环小数，可化成分数，因此是有理数；0.1010010001…是无限不循环小数，不是有理数。本题的关键是先把化简为－3，再进行分类。第（2）问体现同一个数在不同分类标准下可以同时属于多个集合；第（3）问要求把“按整数/分数分类”和“按正/0/负分类”两套标准区分开。 【易错点】看到分数线就直接判为“分数类”是错误的。先化简、看数值，再确定类别。 42．【答案】（1）实际温度依次为19.2 ℃、20.3 ℃、20.0 ℃、21.1 ℃。低于目标：第1次；等于目标：第3次；高于目标：第2、4次。正常范围对应偏差[－1.0，＋1.0]，因此第1、2、3次正常，第4次不正常。 （2）P为假，反例可取0：0是非负有理数，但0不是正有理数。Q也为假，反例仍可取0：0不是正数，但也不是负数。 （3）示例错误命题：“所有不是整数的有理数都是负数。”反例：是有理数且不是整数，但它是正数。错误根源是把“整数/分数”的分类标准与“正数/0/负数”的分类标准混为一谈。 【解析】第（1）问用“实际温度＝20.0 ℃＋偏差”计算：20.0－0.8＝19.2，20.0＋0.3＝20.3，20.0＋0＝20.0，20.0＋1.1＝21.1。正常偏差要求不小于－1.0且不大于＋1.0，所以＋1.1超出范围。第（2）问的两个错误命题都忽略了边界数0：非负数包含0，而“不是正数”也包含0。第（3）问通过自拟反例进一步辨析不同分类标准。 【易错点】“非负”不等于“正”，“不是正数”也不等于“负数”；0是判断此类命题的关键边界数。 分层作业 · 去同质化市场教辅详解版 学科网（北京）股份有限公司 $