2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础-进阶-综合三层设计，系统巩固一元二次方程根与系数关系，从直接应用到参数综合再到几何情境，培养运算能力、推理意识与模型应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|韦达定理直接应用|选择1-4、填空7-9直接求两根和积，巩固概念理解| |进阶层|定理变形与参数问题|选择5-6、填空10-12涉及代数式转化、参数范围，提升推理能力| |综合层|跨知识综合应用|解答17-18结合等腰三角形、三角形形状判断，发展模型意识与应用能力|

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：.Q,β是方程x2-3x-2=0的两个实数根， ∴.a+B=3’0B=-2' 故选B。 2.【答案】C 【解析】解：设方程x2-3x+k=0的两个根为r和2r, r+2r=-3=3, 1 .r=1' :另一个根为2×1=2 r×2r=2r2=k=k, 1 ∴.k=2 故选：C 3.【答案】C 【解析】解：由根与系数的关系得m+n=-三=-5，mn=4=-4, 1 1 又(m+n2-2mn ∴.m2+n2=(-52-2×(-4)=25+8=33 故选：C. 4.【答案】A 第1页，共1页 解：a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根， .b=3-b2’a+b=-1'ab=-3' ∴.a2-b+2019=a2-3+b2+2019 =a+b)2-2ab+2016 =1+6+2016 =20231 故选A. 5.【答案】C 【解析】解：，方程有两个实数根， .△=(-4)2-4(m-1)=20-4m≥0 ,解得m≤5： 又，X1+x2=4,x1x2=m-1,代入3x1x2-x1-X2>2得3(m-1)-4>2,解得m>3,故3<m≤5，故选 C. 6.【答案】B 【解析】点拨：设原来的方程为0X+bx+c=01a≠0，由题知-b=6+1=7,C=-2×-5=10, 0 ∴.b=-7a,c=10a,.∴.原来的方程为ax2-7ax+10a=0,则x2-7x+10=0.故选：B 7.【答案】-3 解：，方程x2+2X-3=0的两根为X1、X2, x为=￡=-3. a 故答案为：-3. 8【1片 【解析】.方程x+x-2=0的两根分别为X1,X2, .X1+X2=-1,X1X2=-2, 第2页，共1页 .1+1=x+为=-1-1 X1X2X1X32-22 故答案为2 9.【答案】-3 2 10.【答案】2 【解析】解：根据题意，知X1+X2=3x2=3,则X2=1, 将其代入关于x的方程x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0. 解得k=2. 故答案是：2. 11.【答案】-2 解：.‘x2-4x+3=0,y2-4y+3=0,x≠y, xy可以看作方程。-4a+3=0的两根， .x+y=4’xy=3' 则原式=4-2×3=4-6=-2， 故答案为：-2. 12.【答案】1 【解折】解：4=16+8m-20≥0，m≥ 义X+=40.名=-2m+50,则m 2 又，m为整数， .∴.m=1或m=2. 当m=1时，方程两根都是整数： 当m=2时，方程两根都不是整数， .∴.m=1. 第3页，共1页 13.【答案】【小题1】 原方程可化为2x-3x-5=0,这里a=2,b=-3,c=-5, .△=b2-4ac=(-3P-4×2×(-5)=49>0':.方程有两个不相等的实数根设方程的两个实数根分别 3 为x1,x2,则x1+2三乙，x1x2=-号 【小题2】 原方程可化为5x2+X-3=0这里a=5'b=1'c=-3'4=b2-4ac=1-4×5×(-3)=61>0’ 1 方程有两个不相等的实数根设方程的两个实数根分别为X,X,则X+X中XX三} 14.【答案】【小题1】 解：因为方程x2-4X+1=0的两个根是X1,X2,所以X1+x2=4,X1X2=1. 1+1=X+x2=4=4: X1 X2 X1X2 1 【小题2】 X1+2x2+2=2x1+X2+X1x2+4=2×4+1+4=13 【小题3】 x1-x2=x1-x2P=Vx1+x22-4xx=V42-4×1=2W3 15.【答案】【小题1】 因为关于x的一元二次方程x+2k+1)x+K2+1=0有两个不相等的实数根， 所以2k+1P-4(K2+1)>0,解得k>3 故k的取值范围为k>3 【小题2】 第4页，共1页 由一元二次方程的根与系数的关系，得xX,=k2+1 又x1X2=5, 所以k2+1=5,解得k1=2,k2=-2. 因为k>3 所以k的值为2. 16.【答案】【小题1】 解：，原方程有两个不相等的实数根， .△=-2k+1-4k2+1=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3>0' 解得k>3 【小题2】 解：：方程X-2k+1x+k2+1=0有两个不相等的实数根x,X' ∴.X1+x2=2k+1,X1X2=k2+1' :k>3 49 ∴.X1+X2=2k+1>0, X1+x2=x1+x2' :x1+x2=X1x2 .X1+X2=X1X2, 即2k+1=k2+1, 解得：k1=0,k2=2, X:k>是 .k=2. 第5页，共1页 17.【答案】【小题1】 △=【-(m+3j2-4m+1)=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=(m+1)2+4 .(m+12≥01 ∴.(m+1)2+4>0 则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小题2】 .方程一根为3 ∴.3-3(m+3)+m+1=0 部得m号 设方程的另一个根为x,利用根与系数的关系得 3x=m+1=2 1 .x=2 又·‘方程两根为等腰三角形两边长 当)为题时，+1<3，不能组成三角形 当3为腰时，3,3，可以组成三角形，其周长为3+3+ 1_13 22 18.【答案】解：(1)△=(2k+32-4(k2+3k+2)=1>0 ,无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k=2时， :.原方程化为：X-7x+12=0 第6页，共1页 解得：x=3或x=4, ∴.32+42=52 ∴△ABC是直角三角形： (3)当BC是等腰三角形的腰时， :.X=5是方程的X-(2k+3)x+kK+3k+2=0解， ∴.25-5(2k+3)+k2+3k+2=0' 解得：k2-7k+12=0, k=3或k=4 若k=3时， 则方程为：x2-9x+20=0, “X=4或x=5满足三角形三边关系。 此时周长为14： 若k=4时， 则方程：x-11x+30=0, “X=5或X=6满足三角形三边关系， 此时周长为16； 当BC是等腰三角形的底边时， 此时方程的X-(2k+3)X+kK2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意， 综上所述，当k=3或k=4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14或16。 第7页，共1页 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 一、选择题： 1.若是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知方程的一个根是另一个根的倍，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 4.已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.已知关于的一元二次方程的实数根，，满足，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.小马与小虎一起写作业，在解一道一元二次方程时，小马在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小虎在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和。则原来的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.方程的两根为、，则的值为          ． 8.已知方程的两根分别为、，则的值为          ． 9.若关于的方程的两个实数根分别为和，则           ，           ． 10.设，是关于的方程的两个根，且，则           ． 11.若，，，则的值是          ． 12.关于的一元二次方程的两个实数根都是符号相同的整数，则整数的值是          ． 三、解答题： 13.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． ． ． 14.若方程的两个根是，，求下列代数式的值． ； ； ． 15.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，求的值． 16.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 求实数的取值范围； 若方程两实数根满足，求的值 17.已知关于的一元二次方程 求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程一根为，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长． 18.已知的一条边的长为，另两边，的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根． 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； 当时，请判断的形状并说明理由； 为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2.3一元二次方程的根与系数的关系同步练习 一、选择题： 1.若a,B是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根，则a+B,aB的值为() A.-3,2 B.3-2 C.-3,-2 D.3,2 2.已知方程x2-3x+k=0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为m和n,则代数式m2+n2的值为() A.17 B.6 C.33 D.26 4.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是() A.2023 B.2021 C.2020 D.2019 5.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2,满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值 范围是() A.m≥5 B.m>3 C.3<m≤5 D.m>1 6.小马与小虎一起写作业，在解一道一元二次方程时，小马在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的 两个根是6和1；小虎在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方 程是() A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 二、填空题： 7.方程x2+2x-3=0的两根为x1、x2,则x1·x2的值为· 8.已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1、x2,则号+二的值为 9.若关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b= ，C= 10.设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两个根，且x1=2x2,则k= 11.若x2-4x+3=0,y2-4y+3=0,x≠y,则x+y-2xy的值是 12.关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0的两个实数根都是符号相同的整数，则整数m的值是 三、解答题： 第1页，共3页 13.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积. (1)2x2-3x=5. (2)2x2+3=x(7x+1). 14.若方程x2-4x+1=0的两个根是x1,x2,求下列代数式的值. (①好+安 (2)(x1+2)(x2+2): (3)引x1-x2 15.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2· (1)求k的取值范围： (2)若x1x2=5,求k的值. 16.关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围： (2)若方程两实数根满足|x1+x2|=x1x2,求k的值 17.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程一根为3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长. 第2页，共3页 18.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+ 3k+2=0的两个实数根. (1)无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由： (3)k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长. 第3页，共3页