《2.1一元二次方程的概念》 同步练习题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础认知、应用理解、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|一元二次方程定义、一般形式|单选1-5辨析定义要素，填空8-10强化系数识别，培养抽象能力| |应用理解|根的概念及简单应用|单选3-7、填空11-13结合根的代入求值，解答15规范系数表述，发展运算能力| |综合拓展|新定义与实际问题|解答18-20引入“凤凰方程”“倒方程”及矩形面积问题，培养模型意识与创新思维|

2026-2027学年苏科版九年级数学上册《2.1一元二次方程的概念》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程化成一般形式，它的一次项系数与常数项的和为（    ） A． B．1 C． D．4 3．已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．10 C．12 D．22 4．已知是方程的解，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 6．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．若是关于的一元二次方程，则的值为_____． 9．一元二次方程的一次项系数_______． 10．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为______． 11．关于x的一元二次方程有一根为，则k的值为______． 12．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 13．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 14．若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为______． 三、解答题 15．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 16．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 17．已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 18．如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． (2)已知是关于的凤凰方程，求的值． 19．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 20．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 参考答案 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 2．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．将方程化为一般形式后，识别系数并求和． 【详解】解：原方程：， 移项得：， ，，， ， 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 利用方程根的定义，得到，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 故选B． 4．C 【分析】本题考查代数式求值及一元二次方程的解，整体代入是解题的关键．由方程解的定义可得，整体代入所求代数式求值即可得答案. 【详解】∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】先利用一元二次方程二次项系数不为0得到a的限制条件，再将根代入方程求出a的可能值，最后筛选出符合条件的结果． 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数满足，即 ∵是原方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 解得或， 结合的限制条件，可得． 6．C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 7．C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 8． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 10．6 【分析】先移项化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【详解】解：， ， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ， 故答案为：6． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求解k的值． 【详解】解：将代入方程得：，解得， 故答案为：． 12． 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 13．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 14．， 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握换元法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或 ∴或 解得或， ∴一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 16．(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 17． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 18．(1) 解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； (2) 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 19．(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 学科网（北京）股份有限公司 $