2.1一元二次方程的概念 同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念理解-根的应用-综合拓展”为路径，通过基础题巩固定义与一般形式，提升题强化根的性质与建模，拓展题培养参数讨论与新定义应用能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、一般形式、各项系数|单选题1-2、填空题7-9直接考查概念辨析与形式转化，夯实符号意识| |提升层|方程根的意义、实际问题建模|单选题3-5、填空题10-12通过根求参数、利润问题列方程，发展模型意识| |拓展层|含参数方程分类、新定义应用|解答题15、18结合参数讨论方程类型、“1方程”定义探究，培养推理能力与创新意识|

2.1一元二次方程的概念 同步练习 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 8．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 9．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 10．已知m是方程的实数根，则的值为______． 11．若关于的方程是一元二次方程，则________． 12．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 三、解答题 13．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 14． 已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 15． 为何值时，关于 的方程 ： (1)是一元二次方程； (2)是一元一次方程，并求出对应方程的解． 16.已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 17．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 18．定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 2．A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 3．B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 4．C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 5．C 【详解】解：∵初始本金为2000贯，平均每年增长率为， ∴第一年结束后的总资本为贯， ∴第二年结束后的总资本为第一年总资本乘以，即贯， 又已知两年后总资本为3200贯， ∴可列方程． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 7．①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 8． 【详解】解：， ∴， ∴. 9．2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 10． 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 11．2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 12． 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 13．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 14．二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：；参数m的取值范围是 【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m的取值范围． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：， 由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件，即． 可知它的各项系数分别是 二次项系数是：， 一次项系数是：， 常数项是：． 参数m的取值范围是． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题． 15．(1)． (2)，． 【分析】（1）将方程整理为：，当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程； （2）将方程整理为的形式，当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，求出的值，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∴当，即时，方程为一元二次方程． （2）解：由（1）知，方程为：， ∴当，即时，方程为一元一次方程， 此时方程变为：， ∴，解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．熟练掌握相关概念，正确的求出的值，是解决本题的关键． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 17．(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 18．(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $