第07讲 勾股定理与勾股定理逆定理（核心知识+5易错辨析+12典例精讲+课后作业）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理与逆定理核心知识，系统梳理定理内容、适用条件、变形公式及勾股数，明确逆定理的判定作用与三角形形状拓展，通过对比两者“由形到数”与“由数到形”的逻辑，构建从性质到判定的完整学习支架。 资料以5个易错辨析规避认知误区，12个典例精讲涵盖实际应用（如华表雕龙长度）、数形结合（如勾股树面积）等题型，培养数学思维的推理意识与数学眼光的几何直观。课中助力教师高效授课，课后通过分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第07讲 勾股定理与勾股定理逆定理 （核心知识+5易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】勾股定理 1. 定理内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形两直角边长为 a、b，斜边长为 c，则核心公式： 2. 适用条件 仅适用于直角三角形；公式中 c 一定是斜边（最长边、直角对的边）。 3. 常用变形公式 4. 常见勾股数 (3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)、(7,24,25) 规律：勾股数的正整数倍仍然是勾股数。 5. 几何意义 直角三角形两直角边上正方形的面积之和，等于斜边上正方形的面积。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1. 定理内容 如果三角形的三边长 a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 c所对的角为直角。 2. 核心作用 已知三角形三边长，判定是否为直角三角形（由数定形）。 3. 三角形形状拓展判定（c为最长边） ：直角三角形 ：锐角三角形 ：钝角三角形 【知识点03】勾股定理与逆定理的区别与联系 勾股定理（性质）：直角三角形三边满足平方关系（由形到数，用于求边长、算长度） 勾股逆定理（判定）：三边满足平方关系 直角三角形（由数到形，用于判形状、证垂直） 易错点1：无视适用前提，乱用勾股定理 ❌ 错误认知：所有三角形三边都满足 ✅ 正确结论：只有直角三角形适用勾股定理，锐角、钝角三角形不成立。 易错点2：不区分直角边与斜边，漏分类讨论 例题：直角三角形两边长为3、4，求第三边。 ❌ 错解：直接算斜边，遗漏情况 ✅ 正解：分两种情况 ① 3、4均为直角边，第三边（斜边）=5； ② 4为斜边、3为直角边，第三边（直角边）=。 💡 关键提醒：题目未明确边长类型，必须分类讨论。 易错点3：使用逆定理不找最长边，误判三角形形状 ❌ 错误做法：随意选取边长代入公式验证 ✅ 正确步骤：先找出三边中最长边作为 c，再验证两条短边的平方和是否等于最长边平方。 易错点4：混淆勾股数定义 ❌ 错误认知：(0.3,0.4,0.5)、分数数组是勾股数 ✅ 正确定义：勾股数必须是正整数组；小数、分数可构成直角三角形三边，但不属于勾股数。 易错点5：逆定理书写证明不规范 ❌ 错误书写： ✅ 规范书写：，且 c为三角形最长边， 该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。 【题型一】用勾股定理解三角形 【例1】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，要从电线杆离地面的点处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部点的距离约为（   ）（结果精确到．） A． B．4m C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可得到结果． 【详解】解：地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 设交于点，则， ∴， ∴； (2)26 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据勾股定理将转化为即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知：， ∴，， ∴ ． 【题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为5和4，则正方形C的面积为______． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， 故正方形C的面积为， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1) (2) 成立，理由如下： 在中，， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了运用勾股定理解决几何问题的能力，关键是能准确理解题意并列式，运用勾股定理进行推理、求解． （1）先根据正方形的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得； （2）先根据半圆的面积分别列式表示出，再运用勾股定理可得． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 由题意得，，， ∴； 故答案为：； 【题型三】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1】．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式2】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 【答案】36 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【变式3】．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 【题型四】利用勾股定理证明线段平方关系 【例4】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 【变式1】．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】 证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】略 【变式3】．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）略 （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 【题型五】勾股定理的证明方法 【例5】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了“弦图”的理解，熟练掌握数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理，是解题的关键．根据赵爽用“弦图”证明了勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理． 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【答案】a2+b2＝c2 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【答案】(1) 证明：，， ． 在中，． ， ． 在和中， ． ，． ， ． (2) 解：， ，，． ， ， ， 即． 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键： （1）证明，得到，，再根据线段的和差关系即可得证； （2）根据和两种方法，即可得证． 【题型六】以弦图为背景的计算题 【例6】．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【答案】1 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了赵爽弦图，根据赵爽弦图的几何结构，小正方形的边长等于直角三角形两直角边之差的绝对值，即，结合小正方形边长为1即可求解． 【详解】解：在赵爽弦图中，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，小正方形的边长等于两直角边之差的绝对值． ∵小正方形边长为1， ∴， ∴． 故答案为1． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【答案】5 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据四个三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：5． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1) 由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． (2)26 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， . 【题型七】用勾股定理构造图形解决问题 【例7】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图：   （米）， （米）， （米， 故选：C． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 【变式2】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 【答案】130 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图， ， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， 即这个纸箱能容纳的木棒最长为， 故答案为：． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 【题型八】勾股定理与无理数 【例8】．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（       ） A．边长 B．周长 C．面积 D．对角线 【答案】D 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题考查无理数，勾股定理，根据正方形的面积公式，周长、对角线进行解答． 【详解】解：∵正方形的面积为1， 则正方形的边长为1，周长为4，面积为1，对角线长为，其中是无理数， 故选：D． 【变式1】．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为__________．    【答案】 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 【变式2】．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 【答案】2 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】利用使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，结合图形得出即可． 【详解】解：如图所示：由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，正方形的边长为：．最少只需剪2刀．　 　 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理及无理数的计算，结合利用勾股定理得到四边形四条边相等是解题关键． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) 证明：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． (2)①；②绳索的长为 【知识点】勾股定理与无理数、勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 【题型九】勾股树（数）问题 【例9】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A、∵，∴13，14，15不是勾股数，该选项不符合题意； B、∵，∴3，4，6不是勾股数，该选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5都不是整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，该选项不符合题意； D、∵，∴6，8，10是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1) 证明：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． (2)（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型十】判断三边能否构成直角三角形 【例10】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）分别以下面的数据为三边长画三角形，画出的三角形为直角三角形的是（   ） A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、6、7 D．9、12、15 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理，只需验证各选项中较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能画出直角三角形，不符合题意； B、，不能画出直角三角形，不符合题意； C、，不能画出直角三角形，不符合题意； D、，能画出直角三角形，符合题意； 故选D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，以此判断三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A选项：∵，， ∴，该三角形是直角三角形． B选项：∵，， ∴，该三角形是直角三角形． C选项：∵，， ∴，该三角形是直角三角形． D选项：设，， ∵， ∴，该三角形不是直角三角形． 故选D. 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用三角形面积公式求解．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴该三角形是直角三角形，且直角边长为和， ∴三角形的面积为：． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【答案】(1) 证明：∵E是的中点，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得出结论； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵，E是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴四边形空地的面积=． 【题型十一】利用勾股定理的逆定理求解 【例11】．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且， ∴． ∴b、c是两直角边，a是斜边， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【变式1】．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6其中不能构成直角三角形的是数（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理的逆定理计算选择即可． 【详解】因为, 所以能构成直角三角形， 所以①不符合题意； 因为, 所以能构成直角三角形， 所以②不符合题意； 因为, 所以能构成直角三角形， 所以③不符合题意； 因为, 所以不能构成直角三角形， 所以④符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）中，若，则______． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据题意可得为直角三角形，． 【详解】解：中， ， 为直角三角形， ， 如图： 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴. (2)84 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【题型十二】勾股定理逆定理的拓展问题 【例12】．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C．D． 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【变式1】．给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？ 【答案】方便，见解析 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可 【详解】用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个人同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形 【点睛】本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2) 解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）略 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 1. 勾股定理是直角三角形的性质，核心是“直角定关系”，求边长优先使用，未知边长类型必须分类讨论。 2. 勾股逆定理是直角三角形的判定方法，核心是“边长判形状”，解题必先找最长边再验证平方关系。 3. 勾股数为正整数组，其正整数倍仍为勾股数，可快速用于基础计算。 4. 解题核心思路：无直角、不规则、实际场景问题，一律构造直角三角形转化求解。 5. 核心区别：勾股定理（形→数，计算）；勾股逆定理（数→形，判定证明），二者条件、结论完全相反。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； B、三个数均为分数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； C、7，24，25都是正整数，且，满足勾股数定义，该选项符合题意； D、三个数均为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意； 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，．以为边向三角形外部作正方形，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以为边向三角形外部作正方形， ∴正方形的面积为， 故选：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，连接，由垂直平分线的性质可得，先通过勾股定理求得，设，则，再根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 先分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为． 故选：B． 二、填空题 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 9．如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，数轴上的点表示实数．先根据勾股定理求出的长，得到的长，即可解答． 【详解】解：∵点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 【答案】96 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，连接，线段垂直平分线的性质，得到，勾股定理逆定理得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．    【答案】5 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，完全平方公式在几何图形中的应用．根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 【答案】136 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求出点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上和点恰好落在的中点上，两种情况进行求解，即可得出结果． 【详解】解：在长方形中，，， 当是以为底的等腰三角形时，， ∴点在的垂直平分线上， 当点与点重合，点恰好落在的垂直平分线上时，如图， 则，， 由折叠可得，， 在中，， 在中，， ∴，解得， 当点恰好落在边的中点上时，如图，则， ∴； ∴当存在点使得是以为底的等腰三角形时，且． 三、解答题 15．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 【答案】136 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键 ． 根据勾股定理可得，，计算即可． 【详解】解：三角形是直角三角形， 两直角边的平方和等于斜边的平方， 即， ． 故答案为： ． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， 根据图形可知， 即， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的证明，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，可知为等腰直角三角形，则证，得，再根据，得到，即可求证； （2）根据，将代入，即可求证． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1) 图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 18．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 19．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 【答案】(1)9 (2) 证明： ， ∴， ∴是勾股数； (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据表格信息，列式求解即可； （2）根据表格，运用整式的混合运算法则证明即可； （3）根据题意将变形得到，则，结合（2）的结论计算即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息，当时，，，， ∵由表格第三行可知，，，， ∴， ∴，代入得，， 解得，， 故答案为：9； （2）略 （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：，． 20．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 【答案】（）；（）；（）长的最小值为． 【分析】（）利用同角的余角相等证明，再利用“”证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于点，证明，得出，然后通过勾股定理得出答案； （）过点作，使，过点作于点，连接，，证明，得出，证出，则可得出答案． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； （）过点作，使，过点作于点，连接，，则， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，同角的余角相等，直角三角形的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 勾股定理与勾股定理逆定理 （核心知识+5易错辨析+12典例精讲+课后作业） 【知识点01】勾股定理 1. 定理内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形两直角边长为 a、b，斜边长为 c，则核心公式： 2. 适用条件 仅适用于直角三角形；公式中 c 一定是斜边（最长边、直角对的边）。 3. 常用变形公式 4. 常见勾股数 (3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)、(7,24,25) 规律：勾股数的正整数倍仍然是勾股数。 5. 几何意义 直角三角形两直角边上正方形的面积之和，等于斜边上正方形的面积。 【知识点02】勾股定理的逆定理 1. 定理内容 如果三角形的三边长 a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边 c所对的角为直角。 2. 核心作用 已知三角形三边长，判定是否为直角三角形（由数定形）。 3. 三角形形状拓展判定（c为最长边） ：直角三角形 ：锐角三角形 ：钝角三角形 【知识点03】勾股定理与逆定理的区别与联系 勾股定理（性质）：直角三角形三边满足平方关系（由形到数，用于求边长、算长度） 勾股逆定理（判定）：三边满足平方关系 直角三角形（由数到形，用于判形状、证垂直） 易错点1：无视适用前提，乱用勾股定理 ❌ 错误认知：所有三角形三边都满足 ✅ 正确结论：只有直角三角形适用勾股定理，锐角、钝角三角形不成立。 易错点2：不区分直角边与斜边，漏分类讨论 例题：直角三角形两边长为3、4，求第三边。 ❌ 错解：直接算斜边，遗漏情况 ✅ 正解：分两种情况 ① 3、4均为直角边，第三边（斜边）=5； ② 4为斜边、3为直角边，第三边（直角边）=。 💡 关键提醒：题目未明确边长类型，必须分类讨论。 易错点3：使用逆定理不找最长边，误判三角形形状 ❌ 错误做法：随意选取边长代入公式验证 ✅ 正确步骤：先找出三边中最长边作为 c，再验证两条短边的平方和是否等于最长边平方。 易错点4：混淆勾股数定义 ❌ 错误认知：(0.3,0.4,0.5)、分数数组是勾股数 ✅ 正确定义：勾股数必须是正整数组；小数、分数可构成直角三角形三边，但不属于勾股数。 易错点5：逆定理书写证明不规范 ❌ 错误书写： ✅ 规范书写：，且 c为三角形最长边， 该三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。 【题型一】用勾股定理解三角形 【例1】．（25-26八年级上·江苏南通·期末）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，要从电线杆离地面的点处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部点的距离约为（   ）（结果精确到．） A． B．4m C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，，，，交于F． (1)求证：，； (2)连接、，若，，求的值． 【题型二】以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【变式1】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为5和4，则正方形C的面积为______． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释． (1)如图1，在中，，以的三边长向外作正方形，其面积分别为，直接写出之间存在的等量关系：______ (2)如图2，在中，，以的三边长为直径向外作半圆，其面积分别为，那么第（1）问的结论是否成立？请说明理由． 【题型三】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式2】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____． 【变式3】．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【题型四】利用勾股定理证明线段平方关系 【例4】．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【变式1】．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【变式3】．【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【题型五】勾股定理的证明方法 【例5】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（　　） A．刘徽 B．祖冲之 C．赵爽 D．秦九韶 【变式1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【题型六】以弦图为背景的计算题 【例6】．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代“赵爽弦图”是勾股定理的重要证明方法，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．若直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，小正方形边长为1，则 ________． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【题型七】用勾股定理构造图形解决问题 【例7】．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（   ）米． A． B．20 C．15 D． 【变式1】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【题型八】勾股定理与无理数 【例8】．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（       ） A．边长 B．周长 C．面积 D．对角线 【变式1】．如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为__________．    【变式2】．把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形．最少只需要剪_________刀． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【题型九】勾股树（数）问题 【例9】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．3，4，6 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，10 【变式1】．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【题型十】判断三边能否构成直角三角形 【例10】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）分别以下面的数据为三边长画三角形，画出的三角形为直角三角形的是（   ） A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、6、7 D．9、12、15 【变式1】．（25-26八年级上·江苏常州·期末）由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个三角形三边长为、、，则三角形的面积为______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，校园里有一块四边形的空地，，，，，过点修一条小路，是的中点，且． (1)证明：； (2)求这块空地的面积． 【题型十一】利用勾股定理的逆定理求解 【例11】．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 【变式1】．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④4、5、6其中不能构成直角三角形的是数（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）中，若，则______． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【题型十二】勾股定理逆定理的拓展问题 【例12】．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C．D． 【变式1】．给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？ 【变式2】．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【变式3】．（25-26八年级上·江苏·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 1. 勾股定理是直角三角形的性质，核心是“直角定关系”，求边长优先使用，未知边长类型必须分类讨论。 2. 勾股逆定理是直角三角形的判定方法，核心是“边长判形状”，解题必先找最长边再验证平方关系。 3. 勾股数为正整数组，其正整数倍仍为勾股数，可快速用于基础计算。 4. 解题核心思路：无直角、不规则、实际场景问题，一律构造直角三角形转化求解。 5. 核心区别：勾股定理（形→数，计算）；勾股逆定理（数→形，判定证明），二者条件、结论完全相反。 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3 B． C．7，24，25 D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，，．以为边向三角形外部作正方形，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点．则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 二、填空题 8．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 9．如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．    12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．若存在点使得是以为底的等腰三角形，则的取值范围是______． 三、解答题 15．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，试求正方形A的面积？ 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于C，，点E为上一点，连接，，的延长线交于F． (1)求证：； (2)若，请利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，即求证：． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 18．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 19．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数，如：、． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题（x，y是正整数，且）： x y 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 5 a 41 … … … … … (1)_________； (2)求证：是勾股数； (3)一位同学在他找到的勾股数的表达式中，用（n为正整数且）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数的表达式为_________，_________． 20．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题： 如图，，，，，垂足分别为，，，，的长为______； 【变式思考】 （2）如图，，，，于，，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图，在中，，是高．若，求长的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $