5.1变量与函数 第2课时教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦函数的三种表示方法及自变量取值范围，通过复习常量、变量、函数概念，以“函数如何表示”追问导入，搭建从抽象概念到具体表示的学习支架，承接前一课时函数概念，为后续学习奠定基础。 特色在于“一题多表”策略，以长方形周长实例整合解析式、列表、图象法，培养几何直观与推理意识，通过等腰三角形、潮汐图等实际情境强化自变量取值范围的双重审查，发展模型意识。帮助学生深化函数本质理解，提升数形结合能力，为教师提供清晰教学路径和多样化练习。

第五章 一次函数 5.1变量与函数 第2课时   一、教材分析 本节课“函数的表示”是在学生已经初步建立函数概念的基础上，对函数这一数学对象进行多角度认识和具体化描述的关键一课．它承接第一课时“函数的概念”，将抽象的“单值对应”关系具体化为三种直观且可操作的表示方法：解析式法、列表法和图象法．教材的编排逻辑在于让学生认识到，同一个函数关系可以有不同的外在表现形式，而这三种方法各有其优势和适用场景．解析式法简洁、精确，便于理论推导和计算；列表法具体、直观，直接从数据中体现对应关系；图象法生动、整体，能直观显示函数的变化趋势和性质．这部分内容与前一章“平面直角坐标系”的知识紧密相连，特别是图象法，它直接将函数的抽象对应关系转化为坐标系中可视的图形，是数形结合思想的典范应用．同时，本节课引入的“函数自变量的取值范围”是一个至关重要的概念，它首次明确地将函数与现实意义或数学本身的意义（如分母不为零、被开方数非负等）联系起来，引导学生从纯数学关系转向对问题实际背景的考量，这是数学建模意识的重要培养，也为后续学习具体函数（尤其是一次函数、反比例函数、二次函数）的定义域奠定了坚实的基础.   二、学情分析 学生在第一课时已经理解了函数的本质是变量间的单值对应关系，这是学习本课内容的知识前提．他们具备使用代数式表示数量关系的能力，也有在坐标系中描点绘图的实践经验．然而，将这三种分散的技能统一到“函数表示”这个主题下，并理解它们之间的内在联系与转换，对学生而言是一个新的挑战．学生的困难可能体现在：首先，在从解析式法转换到列表法或图象法时，对于“为什么取自变量的这些值”缺乏策略，可能只是机械地计算；其次，在从图象中读取信息时，可能无法准确地将点的位置坐标转化为函数意义上的“自变量与函数值的对应关系”；最为突出的难点在于确定“函数自变量的取值范围”．学生往往只关注解析式本身的运算，而忽略问题的实际背景（如人数不能为负数、时间不能为负等）或解析式自身成立的数学条件（如分式分母不为零、二次根式被开方数非负），导致取值范围求解不完整或不正确．因此，教学需要引导学生建立一种“双重审查”的意识，即既要考虑数学本身，也要考虑现实意义.   三、学习目标 1.在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系. 2.能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值. 3.在根据函数图像回答实际问题的过程中，发展几何直观、渗透模型思想．   四、教学重难点 重点：在实际情境中，了解函数的三种表示方法，能用适当的表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系. 难点：能在简单实际情境中，根据实际情况确定自变量的取值范围，并会求函数值.   五、教学过程 · 复习回顾 1.什么叫常量？什么叫变量？ 2.什么叫函数？什么叫自变量？ 预设答案： 1.在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量，可以取不同数值的量叫做变量. 2.在一个变化的过程中有两个变量x和y.如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数，其中，x是自变量. 追问：函数如何表示呢？ 一起来探究吧！ 师生活动：教师演示，学生倾听、回答，独立思考． 设计意图：通过复习常量、变量、函数等概念，回顾相关知识，为接下来探究函数的表示方式的学习提供理论依据． · 探究新知 活动一：探究函数的表示方法 探究：用一根长2 m的铁丝围成一个长方形，长方形的一边长为x(m)，另一边长为y(m)，怎样表示y与x之间的函数关系？ 预设答案： 可以列式表示：y=1－x. 可以用表格表示： x/m … 0.1 0.2 0.3 … y/m … 0.9 0.8 0.7 … 可以在平面直角坐标系中画图表示.(如图) 师生活动：学生思考、讨论、回答，师提示，总结． 总结：函数的三种表示方式： 1.用表达式表示．如y＝1－x，y＝30t等，像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式叫作函数表达式． 2.用表格表示．把自变量的取值写在第一行，对应的函数值写在第二行. 3.用图象表示．如图，把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象． 讨论：函数的三种表示方法各有什么优缺点？ 预设答案： 表示法 优点 缺点 表达式法 比较简洁，方便计算． 有些函数不能用表达式表示出来． 列表法 函数值与自变量的值之间的关系一目了然． 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律． 图象法 很直观，可以看到变化趋势． 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值． 师生活动：学生思考、回答，师提示，巡视，讲解． 设计意图：从一个具体的情境出发，让学生思考如何表示y与x之间的函数关系，然后总结三种表示方式，并讨论其优缺点．学生在探究活动中进行讨论、交流，总结，培养发现新问题的能力． 活动二：探究自变量的取值范围 探究：等腰三角形顶角的度数是x，底角的度数是y，y是x的函数吗？如果是，写出函数表达式及自变量的取值范围. 解：y是x的函数， y＝90°－x(0°＜x＜180°)． 在实际问题中，自变量的取值通常有一定的范围.使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围． 讨论：在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位．图中是江苏省一港口某日的潮汐图． 图中的曲线揭示了这一天潮位y cm与时间t h之间的函数关系．根据下图，你能得到潮汐的哪些信息？ 解：这一天潮位最高为496cm，潮位最低为59cm． 在8:00—14:00随着时间的增加而下降等． 师生活动：学生思考、回答，师提示，巡视，讲解． 设计意图：从一个问题出发，让学生思考其中所涉及到的函数表达式以及自变量的取值范围，学生在探究活动中进行讨论、交流，总结自变量取值范围的定义，并将其应用到具体情境中，培养发现新问题的能力． · 应用新知 例1小明从甲地步行到乙地，图中的折线表示小明步行的路程s km与所用时间t min之间的函数关系．根据图象回答问题： (1)小明全程用了多长时间？ (2)小明出发50min时，步行的路程是多少？ (3)折线中有一条平行于横轴的线段，它的实际意义是什么? 预设答案： 解：(1)小明全程用了70min． (2)当t＝50时，s＝3，即小明出发50 min时，步行的路程为3km． (3)当t从20变化到40时，s的值不变，说明小明在途中停留了20min． 总结：解答图像信息题主要运用数形结合思想，化图像信息为数字信息. 主要步骤如下： (1)了解横、纵轴的意义； (2)从图像形状上判定函数与自变量的关系； (3)抓住图像中端点、拐点等特殊点的实际意义. 例2 等腰三角形周长为12，则底边y与腰长x之间的函数表达式是_____________，其中自变量x的取值范围是_____________. 预设答案：y＝－2x＋12；3＜x＜6． 总结：确定函数自变量的取值范围需要注意的问题： (1)使函数表达式有意义； (2)使实际问题有意义. 设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计符号语言说理能力，让学生理解运用本节课所学． · 课堂练习 【教材习题】 1.某书店仓库中有1 000套辞典，出库x套，剩余y套.y是x的函数吗？如果是，写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围. 2.小明和爸爸出门散步，用20 min匀速走了900 m后，小明随即按原速度返回．而爸爸遇到一位朋友，停下与朋友交谈10 min后，用15 min匀速步行回到家里．在下列四个图象中，哪一个表示小明行走路程s m与时间t min之间的函数关系？哪一个表示爸爸行走路程s m与时间t min之间的函数关系？ 【自选习题】 3.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶.如图，这是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图.在下列选项中，白昼时长超过14个小时的节气是（ ） A.惊蛰 B.小满 C.立春 D.秋分 4.研究发现，某种蟋蜂平均每分钟鸣叫的次数n次与环境温度t ℃有关，它们之间近似满足关系：t＝10＋(n－40)． (1)露营时小明记录了这种蟋蜂平均每分钟鸣叫60次，估计此时的温度(结果精确到1℃)． (2)按此关系，温度大约降为多少时，这种蟋蜂会停止鸣叫？(结果精确到1℃) 5.声音在空气中的传播速度约340 m/s． (1)判断传播距离 d m是否是传播时间 t s的函数，并用含t的代数式表示d； (2)如果听到雷声比看到闪电延迟了7s，那么雷电大约发生在离观察者多远的高空？ 6.某花店每天购进16枝某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：枝），统计如下表： （1）该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的有 天. （2）当n＜16时，日利润y（元）关于n的函数表达式为y＝10n－80；当n≥16时，日利润为80元． ①当n＝14时，求该花店这天的利润为多少元； ②求该花店这10天中日利润为70元的天数． 【答案】 1.解：y是x的函数； y关于x的函数表达式为y=1000−x； 自变量的取值范围为0≤x≤1000. 2.解：(2)表示小明离家的路程s (m)与时间t (min)之间的函数关系． (4)表示爸爸离家的路程s (m)与时间t (min)之间的函数关系． 3.解析：根据图象可知，白昼时长超过14小时的节气有小满和夏至.因此答案为：B 4.解：(1)当n＝60时，t＝10＋×(60－40)＝≈13℃． 答：估计此时的温度是13℃． (2)当n＝0时，t＝10＋×(0－40)＝≈4℃． 答：温度大约降为4℃时，这种蟋蜂会停止鸣叫． 5.解：(1)是．传播距离d随传播时间t的变化而变化，当t取一个确定的值时，d有唯一的值与它对应；d＝340t． (2)d＝340×7＝2380(m)． 6.（1）4； （2）解：①当n＝14时，y＝10n－80＝10×14－80＝60． 当n＝14时，该花店这天的利润为60元． ②当n＜16时，令70＝10n－80，解得n＝15． 当n＝15时，对照表格，发现满足题意的天数是2． 师生活动：学生独立完成，教师批阅． 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用． · 归纳总结 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．   六、教学反思 在本节课的教学中，成功之处在于采用了“一题多表”的策略，即围绕同一个典型的函数实例，同时用三种方法来表示它．通过这种对比，学生能清晰地看到不同表示方法是如何刻画同一函数关系的，从而深刻理解它们的等价性与互补性．教学中发现，部分学生在画图象时，往往只是机械地描点，并未将图象理解为一个“点”的集合，更未形成“函数图象是满足函数关系的所有点的集合”这一核心观念．今后教学中，应加强从“数”到“形”的引导，例如在描点后追问“这两个点之间的位置是否也代表函数值？”，并借助几何画板等工具动态演示点的集合形成图象的过程，以此强化数形结合的理解．此外，应设计更多的练习，让学生在不同表示法之间进行转换，并完整地写出考虑周全的自变量取值范围，从而全面提升他们对函数的理解和应用能力. 学科网（北京）股份有限公司 $