数列求和方法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项按难度分层系统覆盖数列求和全部主流方法，以题载法构建从基础到压轴的完整训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础热身|1-5题|公式法、分组求和入门、Sₙ与aₙ互化|从等差等比基本公式到简单方法应用，构建求和概念基础| |方法主干|6-20题|错位相减、裂项进阶（根式/三项连乘）、绝对值分段|核心方法深度训练，结合不等式证明，形成方法与题型对应逻辑| |中上难度|21-30题|错位相减变式（负公比）、倒序相加、奇偶分轨|多法综合与易错辨析，强化公式推导与方法迁移能力| |高难压轴|31-40题|参数双轨求和、阶乘裂项、递推探究|抽象情境与复杂综合，培养数学建模与创新意识|

数列求和方法专项训练(40题)·参考答案与解析 第1一10题参考答案与解析 1.(等差数列片段和性质) 答案：(1)d=2,a1=1,0n=2n-1;(2)Sg=81;(3)S2026=20262=4104676。 解析： S3=3a1+3d=9, a1+d=3, (1) S6=6a1+15d=36, 即 2a1+5d=12, 解得 d=2,a1=1。故 an=1+2n-1=2n-1,Sn=n2。 (2)方法一（性质）：S3,S6-S3,Sg-S6成等差数列。S3=9,S6-S3=36-9=27, 公差=18，故Sg-S6=27+18=45,Sg=36+45=81。 方法二（公式）：S,=9=81。两种方法结果一致。 (3)S2026=20262=4104676。 2.(由前n项和确定等比参数) 答案：(1)a1=3+k;n22时an=S。-S-1=23-1；k=-1;(2）0=23”-1, S10=310-1=59048. 解析： (1)a1=S1=3+k;当n≥2时 a,=Sn-Sn-1=3”+k-3”-1+k=23-1. 要使{a,}为等比数列，n=1时也应满足a1=23°=2，故3+k=2,k=-1。 (2)a=2·3-1,Sn=3-1,S10=310-1=59049-1=59048。 3.（分组求和：等差+等比) 答案：(1)S1=2,S2=7,S3=16;(2)S=n+2”-1;(3)S10=1123。 解析： (1)C1=1+1=2;C2=3+2=5,S2=7;c3=5+4=9,S3=7+9=16。 (2){2k-1}前n项和=1+3+…+2n-1=n2;{2*-前n项和=2”-1。故 Sn=n2+2"-1. (3)S10=102+20-1=100+1023=1123。(检验：S3=9+8-1=16,与(1) 致。) 4.(并项求和入门) 答案：(1)S4=-2,S,=3,S6=-3;(2)S2m+1=m+1;(3)S100=-50,S101=51。 解析： （1)前6项为1，-2,3，-4,5，-6。S4=1-2+3-4=-2:S=-2+5=3: S6=3-6=-3 (2)S2m=1-2+3-4+…+2m-1-2ml,每组为-1，共m组，故S2m=-m 。又a2m+1=2m+1,故S2m+1=S2m+a2m+1=-m+2m+1=m+1。 (3)S10=S2×50=-50;S101=S2×50-1=50+1=51。 5.(Sn与am互化) 答案：(1)an=2-1；(3) 2 kak22n-1。 解析： (1)a1=S1=2a1-1,故a1=1。当n≥2时 an=Sn-Sa-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1, 移项得a=2an-1。故{an}是首项1、公比2的等比数列，a,=2-1。 (2)由an=2”-1得前n项和 1-2=2”-1,而2a,-1=2°-1，与题设 1-2 Sn=2an-1一致。 1 1、1 (3) 20 白2 2、 1 12 27下2。 6.(错位相减第一课：∑k2) 答案：(2)S=258,S10=18434;(3)见解析。 解析： (1）S=12+2·2+…+n2”,则 2Sn=122+2·23+…+n-12"+n-2*1 Sn-2Sn=1-2+22-122+…+n2”-n-12-n-2*1 =2+22+23+…+2-n20*1=2+2+1-4-n2*1, -Sn=-n-12m+1-2→Sn=n-12*1+2. (2)S,=5-125+2=4×64+2=258;S10=9×2+2=9×2048+2=18434。 (3)S,-2*1=n-12*1+2-2”*1=n-221+2>0(n≥2)，故S>2+1。 7.(隔项成等比：积幂递推) [2k-2,n=2k-1, 答案：(1)a=8,a-4,a4=32,a=16:（2）a,=2,n=2k: (3) S10=3069。 解析： (1)a1a2=23→a2=8；a203=23→a3=4;a3a4=2→a4=32:a4a5=29→a,=16。 (2)把n换成n+1得a+1a,+2=22m+3,两式相除： an+2- 22n*3 0,22074, 即an+2=4a,隔项成公比为4的等比数列。 奇数项a2k-1=1·4*-1=22*-2;偶数项02k=8·4-1=2k1。 (3)S10=S2x5:奇数项和 22?-4-1023-341, 4-13 偶数项和 5 2R4-8x341=2728,S341+272830s 8. (裂项相消： n(n+1) 及其逆向问题) 答案： (1)S,=n +1: (2)n=2025:(3)S2=2027 解析： 1 (1) k(k+1k n2025 (2)n+12026 →2026n=2025n+2025→n=2025. (3)S,=n ,放s1(m1时S克.5w0 =1-1 n+1 1 9. (裂项相消： nn+3型) 答案： 8品 (2) 解析： 1 11-1 (1DkIk+33kk+3于是 8 展开后未消去的项为前3项 与末3项- 11+1+1 3n+1n+2n+3 5-是清+2到 11+1+1 旦升共是2-号 8)s女4京公武品号贵品 1,17 S2= 十 41020° 公 式 4-1+2+1=-1x42=共- 47-110-47-63-7 1833451836018180-180 18020。 10.(裂项相消与不等式交汇) n 答案： (1)Sm= 2n+1: (2)n=2026:(3)见解析。 解析： (2) n、2025 2n+14051 (注意4051=2×2025+1)： 4051n>20252n+1=4050n+2025→n>2025, 最小正整数n=2026。 5Z克07克：且s5Z2n2n*3 11 1 (3) >0 ,单调递增。 第11一20题参考答案与解析 11.(根式裂项+放缩不等式) 答案：(1)Vk+1-k;(2)Sm=Vn+1-1,S9=9;(3)见解析。 5 解析： (1) k+1-驱=k+1-k。 Vk+1+9k(k+1-k (2)S,=∑1Rk+1-k=n+1-1,取n=9:Sg=V100-1=9, (3)服打-派=收+1+派2（因为版而>）。于是 1 1 >21Rk+1-服， 贩 对k=1,…,n求和： 三0空酒=4l 12.(三项连乘裂项) 15-片2n+1n2:(2)5as-2x2027x2028 1 1 答案： 解析： (1) 1 1 =42n+1n+2 .1 1 1 2S,242n+n+2k4。S642x2027x2028P 13.(平方差裂项与”逼近”问题) 答案：(1)S,=1-1 n+1z:<2Ss三00；3)n=99。 解析： 6 11-k+12-kK2k+1 (1)衣k+17 k2k+12 kk+1P。故 (2)Sg=1-1=99 100100° 9999 (3) 10000 1-、1 721-70-l*1f100,+1>10m,09,整小水 n+1 n=99。 14.(平方倒数的放缩求和) 答案：见解析。 解析： 11 。1=1-1 (1)k≥2时kK2>kk-1,取倒数：kk-1:且kk-k-1k (2) 含1212112g2 n (3)由(1)： 2n 15.(错位相减：分母含幂) (1)S,=2-n+2 509 答案： 2n; (2)S10= 256: (3)见解析。 解析： (1)S=k1. 2+1。 错位相减： 7 222 故S,=2-n+2 。 (2)5o=2-是=2--5123=50 20 1024256256° (3)Sn=2-n+2 2,2-Sn=n+2 n+3n+2 2” 2 随n增大而减小(2<2当n+3<2n+4 即n>-1,成立)，故Sn递增逼近2。 16.(错位相减：等差首项为2) 答案： ②83 (3)见解析。 解析： 错位相减： n 2.11n+1_52n+5 三二+ Γ36233*T62·3) 35_2n+5 故5-262-3 52n+5 44.3n。 (2)S,=1+1_2 5_7-15-7_2 3:公式：42123。 (3)5.= 434:S1S,= 5_2n+5,5 3>0,单调递增。 P 17.（分段数列求和) 答案：(1)S10=385;(2)S15=63873;(3)S16=129409 解析： （1)5=2k-10×1x2L-385. 10 k=] 6 15 (2) S6=S10+∑2*-385+216-2=385+65536-2048=63873. (3)S16=S15+a16=63873+26=63873+65536=129409。 18.（调和数列包装下的裂项) 1a片a,0,2；2)I27:(8Iw. .1 1 2026 答案： 解析： (1) 日，会关为2，故过1+2--2-，3京0 a 1 (2)akQk+1 2a-2T引太1 n (3)Tn= 2026 2026 2n+12; T2026-2×2026+14053° 19.(摆动数列的并项求和) 答案：(1)S1=1,S2=-2,S=3,S4=-4,S=5;(2)见解析；(3) nn+1 2。 解析： (1)a1=1,a2=-3,a3=5,a4=-7,a=9。S1=1,S2=-2,S3=3,S4=-4,S=5。猜 想S,=-1+1n。 9 (2)配对1-3+5-7列+，每对为-2： 5n214k-3到-14k-1=2-21=-2m. S2m+1-S2m+a2m+1=-2m+4m+1=2m+1。合并：Sn=-1+1n。 3》由8十1rn行sn,放会5=1+2*-+n-nm1. 2。 20.(含绝对值数列的分段求和) 答案：(1)5,3,1,1,3,5，从第4项起an=2n-7;(2)Sn= 6n-n2,n≤3， n2-6n+18,n24; (3)n=13。 解析： (1)2n-7<0n≤3。前6项：5,3,1,1,3,5。 (2)n≤3：S,=27-2k=7n-nln+1=6n-2. n≥4：s.=5,+2k-7=9+m+n-12-71n-3到=n2-6n+18. (3)n≤3时Sn≤9。n≥4时解n2-6n+18≥100，即n2-6n-82≥0。 122-72-82=-10<0,132-78-82=9≥0，故最小n=13。(检验 S13=169-78+18=109≥100。) 第21一30题参考答案与解析 21.（“由Sn求an”的常数项陷阱) 答案：(1)a=4,n≥2时an=2n+1;(2)不是等差数列；(3)c=0, an=2n+1。 解析： (1)a1=S1=4。当n≥2时 10 a,=Sn-Sn-1=n2+2n+1-n-1P+2n-1+1=2n+1. (2)若为等差数列，则n=1时也应满足a1=2×1+1=3,但实际a1=4,故{a} 不是等差数列（它从第2项起才是公差为2的等差数列）。 (3)a1=S1=3+C;n22时an=Sn-Sn-1=2n+1(与c无关)。令a1=3得c=0 。此时an=2n+1(n21),公差为2。 22.（等差数列加绝对值：分段与单调) 3nn+1 13n- n≤4， 答案：(1)a,=3n-13,前4项为负；(2)T= 2 3n2-23n+88 T10=79 2 n≥5； (3)见解析。 解析： (1）am=-10+3n-1=3n-13。a,<0n≤4，即a1,",a4为负。 3nn+1 (2) ns41-213-3k-13n 2 T4=52-30=22。n≥5： 7=2*23k-131=2*3 n+1-10-131n-4=3m-23n+88 2 2 To-30-230+88=79. 2 (3)对n≥5，an+1=3n+1-13=3n-10>0,故Tn1=Tn+ai=Tn+3n-10>T。 ,严格递增。 23.(错位相减：∑k3*-1) 答案：(1)见解析；(2)S3=34。 解析： 11 (1)S,=1+2-3+…+n3-1,3Sn=13+232+…+n-13”-1+n3”。错位相减( 3Sn-Sn): 28,=a3-12kg-收+1g=a3-1-g =n3”-1-3”-3=2n-13"+1 2 2 故S=2n-13+1 4 (2)S,=1+6+27=34:公式： 6-1×27+1_136=34/. 4 4 24.(错位相减：负公比) 答案：(2)S2=6,S3=-18。 解析： (1DS.=2k-2,-2S,=2k1-2.5,-213,=35,: 38,2+k-k-1川-2-n-2=-2+-2--2 接-2 3 ，故通分得 3s.=2-4-2-3n-2_-21-n+1-2r+n-2 3 s,=21-n+1川-2P+n-2 9 (2)n=2:S2=-2+8=6;分子-21-3×4+2×-8=-21-12-16l=54, 5419=6√。 n=3:S3=6-24=-18;分子-21-4×-8+3×16=-21+32+48=-162， -162/9=-18√。 12 25.（“拆项”巧解错位和) 答案： (1)(2)Sn=n2+1;(3)S10=20480。 解析： Ds,-k2+2-n-12+2+2-2=n-2 (2) 错位法核对：5-k+12,25,-公k+12, 2S,-S,=n+121-1-2+2k+121-k+212 注意k+12*+1-k+22*=2k+12*-k+22*=k2,求和后与首尾项合并得 2Sn-Sn=Sn=n2+1。两法一致。 (3)S10=10×2=10×2048=20480。 26.（由an*1=Sn+…型递推求和) 答案：(1)a2=3,a,=7,a4=15;(3)S,=2+1-n-2。 解析： (1)a2=S1+2=1+2=3;a3,=S2+3=4+3=7:a4=S3+4=11+4=15。 (2)an+2=Sn+1+n+2,两式相减：an+2-an+1=Sn+1-Sn+1=an+1+1,故 an+2=2an+1+1。 (3)由an1+1=2an+1(用(2)中an+1=2an+1的下标平移：an+1+1=2an+1 对n≥2：a2+1=4=2a1+1也成立)，且a1+1=2,故an+1=2”,an=2”-1。 5-公25-1212n=21-n-2 27.(“同除以2”的递推与错位求和) 答案：(1)a=n2；(2)Tn=n-12+1;(3)T0=9217。 13 解析： (1)42a+2两边除以2：2学2是+1，即6=b,+1.又6号=1，放 bn=n,a=n2”-1。 (2) I,=∑k2*。由S=∑k2=n-121+2(见第6题)， k=1 k=1 T.=s=n-l2+2=n-12+1. 1 2 (3)T10=9×20+1=9×1024+1=9217。 28.（奇偶分轨求和) 答案：(1)1,2,3,4,5,8：(2)S2m=m2+2m1-2,S2m1=m+1+2m*1-2:(3) 02026=21013 , S0s=10132+2104-2. 解析： (1)奇数位置：1,3,5；偶数位置：2,4,8。前6项：1,2,3,4,5,8。 m (2)奇数项和 2k-1=m 偶数项和】 S2m=m2+2*1-2,S2m*1=S2m+a2m+1=m+1+2m+1-2. (3）Q2026=a2×1013=21013,S2026=S2×1013=10132+2104-2。 29.（倒序相加法) 答案： (2)S= 2025 2；(3)1013. 解析： (1)f1-x= 44-×4/4-4= 2 4+24/4+24+2·42+4,故 14 fx+f1-X=4+2=1. 4+24+2 (2)S中中间项为k=1013: 1 名子其会2024度校长与2025-k配 对，共1012对，每对和为1： S=1012+1=2025 22 (3)2026项可配成1013对，每对和为1，故原式=1013。 30.（平方差配对与平方和计算) 答案：(1)A=5050;(3)22+42+…+1002=171700。 解析： (1)1002-992+982-972+…+22-12,每组=k+1+k=2k+1: A=100+99+198+97++12+1=1+2++100=100×101=5050. (2)(2k-12-2k=4k2-4k+1-4k2=1-4k,故 12-2++2m-1P-2m2=21-4k=m-2mm+1=-2m2-m=-m2m+1. (3)2+42++1002=412+2++5021=4×50x51×101=4×42925=171700. 6 注意到 A=2+4+…+1002)-12+32+…+992),故奇数平方和 =171700-5050=166650。 总和 =166650+171700=338350, 而 100×101×201_2030100=338350,两者一致，验证完成。 6 6 第31一40题参考答案与解析 31.（含参数的双轨数列求和) 答案：(1)S,n=mA+B+mm-1d,+d (2)S2m+1=S2m+A+md1;(3)前8 2 项1,1,2,3,3,5,4,7，S8=26。 15 解析： (1)奇数项是首项A、公差d,的等差数列，前m项和=A+mm四1d:偶 2 数项是首项B、公差d的等差数列，前m项和=mB+m21d。勖 S2m=m(A+B+mm-1d:+d) 2 (2)a2m-1=A+md1,S2m+1=S2m+A+mdi (3)A=B=1,d1=1,d2=2:奇位置1,2,3,4：偶位置1,3,5,7；前8项： 11,23,35,47,和=26。公式（m=4):4×2+4x3×3=8+18=26. 2 32. (阶乘裂项：∑kk) 答案：(2)Sn=n+1!-1:(3)So=11!-1,末位数字为9。 解析： (1)k+11-k!=k+1k!-k!=kk!。 (2)kk!=k+1!-k!,逐项相加得Sn=n+1!-1!=n+1!-1(中间项全部抵 消)。 (3)S10=11!-1=39916800-1=39916799。因为11！含有因子10，末位为0，故 S10末位为9。 33.（二次式加绝对值：符号分析+求和) 答案：(1)n=1,…,9时为负，n=10时为零，n≥11时为正；前6项 9,16,21,24,25,24: (2) Sg=165,S10=165: (3 ) nn+1川29-2n n≤9， Sn= 6 330+nn+1川2n-29 (4)S15=370 n≥10； 6 16 解析： (1)n2-10n=nn-10:1≤n≤9时为负，n=10时为零，n≥11时为正。 n2-10n=10n-n2(1≤n≤9)，=n2-10n(n≥10)。前6项：9,16,21,24,25,24 (2)5-210k-k=10×45-9×10x19-450-285=165.s-S,+0=16 9 6 (3 n≤9.52|10k-R-5nn+1-mn+12n.a+1i29-2a 6 n≥10： S6+-10,其中 之-咖+1212， 6 knt145,题 2 s,=165+mn+12n+1-285-10nn*1-45=330+nn+12n-29 6 2 6 （4056-30+15×16x30-29=30+240=30+40=370. 6 6 34.(递推与平方和不等式) 答案： ①w-2a-2a-器 (3)见解析。 解析： 0,1*1-2,42*20,号25站品 a a =*-1引2*部12in-1=2n-1， 故a>/2n-1。 17 ③)先证a,2之1（显然a,递增且a=),则，于是 =1212-n13n-2 当 n≥2时3n-2≤n2(因n2-3n+2=n-1川n-2≥0)，故a7≤n,an≤n。n=1 时a1=1≤1也成立。 35.（大数值双轨求和) 答案：(1)S2m=3m2+2m,S2m+1=3m2+4m+1;(2)a202s=4052,S2026=3080533 。 解析： (1)奇数项和1+3+…+2m-1=m;偶数项和4+8+…+4m=2mm+1。 S2m=m2+2mlm+1=3m2+2m,S2m+1=S2m+a2m+1=3m2+4m+1. (2)2026=2×1013:Q2026=4×1013=4052。 S2026=S2×1013=3×10132+2×1013=3078507+2026=3080533. 36.(构造等比：递推+分组+错位三合一) 答案：(1)a2=5,a3=16,a4=41;(2)a=7201-3n-3;(3) 5,=7-20-7-3m90,（407,=7n-18+3n9 2n-1。 解析： (1)a2=2×1+3=5:a3=2×5+6=16:a4=2×16+9=41。 (2)设bn=an+3n+3,则 bn+1=an+1+3n+1+3=2an+3n+3n+6=2an+3n+3=2bn: b1=a1+6=7,故b,=7:2-1,a,=72-1-3n-3。(验：a2=14-6-3=5) 18 3)8-722*12k-3n=72-1-3ng+1-3n=7-2-7-3n49n k=1 2 2=7n-3公1 3k+3 台2-T 利用给出结论 4及2 27n-18+3n+9 20-1 酸n1,7-18+12-1号 37.（二次项的摆动并项) 答案：(1)S2=-4,S3=8,S4=-12;(2)见解析；(3)S2026=-2054364,S2m<0 S2m*1>0。 解析： (1)a1=1×2=2,a2=-2×3=-6,a3=3×4=12,a4=-4×5=-20。 S1=2:S2=2-6=-4:S3=-4+12=8:S4=8-20=-12。 235.2k-1小2k-2k2k+1川-222k-1-2k+1川=2-4 =-4×mm+1=-2mm+1. 2 S2m*1=S2m+2m+12m+2=-2mm+1+2m+12m+1=2m+12。 (3)S2026=S2×1013=-2×1013×1014=-2×1027182=-2054364。 符号：S2m=-2mm+1<0,S2m+1=2m+1>0。 19 38.(递推与倒数裂项：a+1=aan+1) o=2,a=6.a,=2,a)$1。(45,-5805 1805 答案：( 解析： (1)a2=1×2=2;a3=2×3=6;a4=6×7=42。 1-1=1-1=a+1-1.1 (2)a dia daldn+1 ddn+1a+1 1=1-1 3)由(2)，0+1a4a故 ,58.0,单泻诺预. (4)a,=42×43=1806,S4=1-1=1- 1 1805 18061806· 39.(长链分段求和) 答案：(1)A1=15,A2=80;(2)S0=2580;(3)最小n=21。 解析： (1)A1=1+2+3+4+5=15。A2=26+7+8+9+10=2×40=80。 (2)S20=A1+A2+ =15+80+ k=11 20 10 2k220×21×41 6 =2870, k2=385。故 k=1 S20=15+80+2870-385=2580. (3)S20=2580<3000。当n≥21时an=n2,S21=2580+21=2580+441=3021≥3000 故最小n=21。 20 40.（奇偶步长递推：压轴综合) 答案：(1)1,3,4,6,7,9；(2)a2k-1=3k-2,a2k=3k;(3)S2m=3m2+m, S2m+1=3m2+4m+1;(4)a2026=3039,S2026=3079520。 解析： (1)a2=a1+2=3;a3=a2+1=4;a4=a3+2=6;a=a4+1=7;a6=a+2=9。前6 项：1,3,4,6,7,9。 (2)对任意n,an+1与an的步长由n的奇偶决定。n与n+2同奇偶，故 an-2-an=(an-2-an-1)+(an-1-an), 其中an+2-an+1的步长由n+1的奇偶决定，an+1-an由n的奇偶决定，二者一个 是2、一个是1，故an+2-an=3。 奇数项1，a3,a5,“:a2k-1=1+3k-1=3k-2。偶数项a2k=3+3k-1=3k。 奇数项前m项和∑3k-2-")加，偶数项前m项和3k3m k=1 2 Sn=3m-m3m+3m=3m2+m,S21=S2n+024=3m2+m+3m+1=3m2+4m+1. 2 (4)Q2026=a2×1013=3×1013=3039 S2026=S2×1013=3×10132+1013=3078507+1013=3079520. 21 数列求和方法专项训练（40 题） 使用说明：本卷 40 题按难度从易到难编排（第 1—5 题为基础热身，第 6—20 题为方法主干，第 21—30 题为中上难度的辨析与深练，第 31—40 题为高难与压轴综合），题号越大难度越高。覆盖公式法、分组求和、裂项相消、错位相减、并项配对、绝对值分段求和、倒序相加及递推探究等全部主流方法。答案与解析见另册《参考答案与解析》。 第1—10题　热身与入门（难度逐题上升；★~★★★） 1.（等差数列片段和性质）★ 设等差数列 的前 项和为 。已知 ，。 （1）求公差 与首项 ，并写出通项公式； （2）求 （要求分别用”片段和性质”与”求和公式”两种方法求出并比较）； （3）求 的值。 2.（由前 项和确定等比参数）★ 设数列 的前 项和为 （ 为常数）。若 是等比数列： （1）用 表示 （注意 与 的区别），求 的值； （2）写出通项公式，求 。 3.（分组求和：等差 + 等比）★★ 已知 （）。 （1）求 的值； （2）把 拆成等差数列的项与等比数列的项，分别求和，推出 的公式； （3）求 。 4.（并项求和入门）★★ 设 （即 ）。 （1）求 ； （2）把前 项两两并组，证明 ，进而求 ； （3）求 与 。 5.（ 与 互化）★★ 设数列 的前 项和为 ，且 （）。 （1）求 ；当 时，由 建立 与 的关系，求通项公式； （2）验证：由（1）中的 算出的前 项和恰为 ，与题设一致； （3）求 关于 的表达式，并证明它小于 。 6.（错位相减第一课：）★★★ 设 。 （1）写出 的展开式，用 （或 ）错位相减，推导 （2）求 与 ； （3）证明：对一切 ，。 7.（隔项成等比：积幂递推）★★★ 设正项数列 满足 （），且 。 （1）求 ，观察奇数项、偶数项各成什么数列； （2）证明：，并写出分段通项公式； （3）求 。 8.（裂项相消： 及其逆向问题）★★★ 设 ，。 （1）把 拆成两项之差，求 ； （2）解方程 ，求 ； （3）证明： 对一切 成立，并求 。 9.（裂项相消： 型）★★★ 设 。 （1）把 拆成 ，写出 展开后未消去的项； （2）化简 为 ； （3）用 验证。 10.（裂项相消与不等式交汇）★★★ 设 。 （1）求 的表达式（裂项：）； （2）求使 的最小正整数 ； （3）证明： 对一切 成立，且 单调递增。 第11—20题　方法主干：裂项进阶、错位、分段与绝对值（难度逐题上升；★★★~★★★★） 11.（根式裂项 + 放缩不等式）★★★ （1）化简 ； （2）求 ，并求 ； （3）证明：（），并由此证明 12.（三项连乘裂项）★★★★ 设 。 （1）把 拆成 ，求 ； （2）证明 ，并求 的表达式（不要求化成小数）。 13.（平方差裂项与”逼近”问题）★★★★ 设 。 （1）证明 ，求 ； （2）求 ； （3）求使 的最小正整数 。 14.（平方倒数的放缩求和）★★★★ （1）证明：对 ，； （2）证明： 对一切 成立； （3）利用（1）证明：。 15.（错位相减：分母含幂）★★★★ 设 。 （1）写出 ，用错位相减法求 ； （2）求 （用分数表示）； （3）证明：，并说明当 增大时 如何变化。 16.（错位相减：等差首项为 2）★★★★ 设 。 （1）用错位相减法求 ，并化简为 ； （2）用 验证； （3）证明 且 单调递增。 17.（分段数列求和）★★★★ 设数列 满足：（），（）。 （1）求 ； （2）求 ； （3）求 。 18.（调和数列包装下的裂项）★★★★ 若正项数列 满足 是等差数列，则称 为调和数列。设调和数列 满足 ，。 （1）求 ，写出通项公式； （2）求 的表达式； （3）证明： 对一切 成立，并求 。 19.（摆动数列的并项求和）★★★★ 设 （即 ），前 项和为 。 （1）求 ，猜想 的表达式； （2）用并项法证明：，，从而 ； （3）求 。 20.（含绝对值数列的分段求和）★★★★ 设 （）。 （1）写出前 项，确定从第几项起 ； （2）求 （分段写出）； （3）求使 的最小正整数 。 第21—30题　中上难度：辨析、深练与多法综合（难度逐题上升；★★★★） 21.（“由 求 ”的常数项陷阱）★★★★ 已知数列 的前 项和 。 （1）求 ，并求 时的通项公式； （2） 是否为等差数列？说明理由； （3）若 的前 项和为 ，求使 成为等差数列的 值，并写出通项。 22.（等差数列加绝对值：分段与单调）★★★★ 设等差数列 满足 ，。记 。 （1）求通项 ，确定负项的下标范围； （2）求 （分段表示）与 ； （3）证明：当 时 （数列 从第 项起严格递增）。 23.（错位相减：）★★★★ 设 。 （1）写出 ，用错位相减法推导 ； （2）求 并验证。 24.（错位相减：负公比）★★★★ 设 。 （1）用错位相减法求 ，化简为 ； （2）用 验证公式。 25.（“拆项”巧解错位和）★★★★ 设 。 （1）方法一：把 拆成 ，利用 求 ； （2）方法二：直接用错位相减法求 ，比较两种方法的结果； （3）求 。 26.（由 型递推求和）★★★★ 设数列 满足 ，且 （），其中 是前 项和。 （1）求 ； （2）写出 ，与已知式相减，证明 ； （3）由（2）证明 ，即 ，并求 。 27.（“同除以 ”的递推与错位求和）★★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）设 ，证明 是等差数列，并求 ； （2）求 ； （3）求 。 28.（奇偶分轨求和）★★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）写出前 项； （2）求 与 （化简）； （3）求 与 （结果中 的幂保留指数形式）。 29.（倒序相加法）★★★★ 设 。 （1）证明 ； （2）求 ； （3）求 。 30.（平方差配对与平方和计算）★★★★ （1）求 ； （2）证明：； （3）利用公式 求 ，并验证 第31—40题　高难与压轴：抽象参数、多法综合、递推探究（难度逐题上升；★★★★） 31.（含参数的双轨数列求和）★★★★ 设数列 满足 ，（），即奇数项、偶数项分别成等差数列（ 为常数）。 （1）推导 用 表示的公式； （2）写出 的公式； （3）取 ，写出前 项并求 ，与公式核对。 32.（阶乘裂项：）★★★★ （1）验证恒等式 ； （2）求 ； （3）求 ，并说出 的末位数字。 33.（二次式加绝对值：符号分析 + 求和）★★★★ 设 （）。 （1）确定 、、 的 的范围，写出前 项； （2）求 与 ； （3）求 的分段公式； （4）求 。 34.（递推与平方和不等式）★★★★ 设 ，（）。 （1）求 （可用根式表示 ）； （2）证明：，并由此证明 ，即 ； （3）证明： 对一切 成立。 35.（大数值双轨求和）★★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）求 与 的公式； （2）求 与 （写出具体数值）。 36.（构造等比：递推 + 分组 + 错位三合一）★★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）求 ，猜测通项中”非 的幂部分”为一次式； （2）设 ，证明 是等比数列，并求 ； （3）求 （分组求和，化简）； （4）求 （用错位相减法的结论 ）。 37.（二次项的摆动并项）★★★★ 设 。 （1）求 ； （2）把 按两项并组，证明 ，； （3）求 ，并说明 的符号规律。 38.（递推与倒数裂项：）★★★★ 设数列 满足 ，（）。 （1）求 ； （2）证明：； （3）求 ，并证明 且 单调递增； （4）求 。 39.（长链分段求和）★★★★ 设数列 满足： （1）求第 段的和 与第 段的和 ； （2）求 ； （3）求使 的最小正整数 。 40.（奇偶步长递推：压轴综合）★★★★ 设数列 满足 ，且当 为奇数时 ，当 为偶数时 。 （1）写出 ； （2）证明： 对一切 成立，由此分别写出奇数项、偶数项的通项公式（分段形式）； （3）推导 与 的公式； （4）求 与 。 学科网（北京）股份有限公司 $