6.5 数列求和专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 数列求和专项训练以8大核心方法为框架，系统整合倒序相加、错位相减等求和技巧，通过分层题型构建从基础到复杂的解题逻辑链，培养数学思维的推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倒序相加法|4题|利用首尾对称项和相等简化运算|基于函数性质与数列对称性的应用| |错位相减法|4题|等差乘等比数列求和的标准步骤|通项公式推导与求和方法的结合| |分组求和法|4题|分解数列成可求和子列分别计算|数列分拆与基本求和公式的综合| |裂项相消法|6题|将通项拆为差式实现正负抵消|分式型通项的变形技巧与极限思想| |并项求和法|4题|相邻项组合转化为新数列求和|符号交替数列的整体化处理| |插项重组求和|6题|调整项序或插入新项构建求和模型|数列结构重组与信息整合能力| |奇偶项求和|6题|分奇偶项讨论构建分段求和公式|分类讨论思想在数列中的应用| |放缩法求和|4题|通过不等式变形估计和式范围|推理能力与极限思想的综合运用|

6.5 数列求和 8大考点汇总 考点01 倒序相加法 考点02 错位相减法 考点03 分组求和法 考点04 裂项相消法 考点05 并项求和法 考点06 插项、重组求和的问题 考点07 奇偶项求和 考点08 放缩法求和 题型专练 考点01 倒序相加法 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【答案】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式. 【详解】略 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）若等差数列满足，则______. 【答案】 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 考点02 错位相减法 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过构造辅助等比数列求解； （2）将通项拆分为等差乘等比型项与等差数列项的差，分别用错位相减法和等差数列求和公式计算后合并结果 【详解】（1）因为， 所以，而 所以数列为以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以. 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)等差数列公差，等比数列公比； (2)，。 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）可先由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【详解】（1）由题意，可得， 由，可得：， 联立，解得：或 因为， 所以等差数列公差，等比数列公比； （2）由（1）可得，.，故， ， ， 两式相减得： ， 有， 所以． 7．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)已知 ，，显然 ， 两边同时取倒数得，所以， 所以数列为首项，公差是的等差数列， 所以，所以，即的通项公式是； (2)由（1）知，所以 ， 则① 所以② 由①②得 ， 所以， 因为，所以单调递增， 所以, 因为，所以 综上，，得证. 【分析】（1）对递推式两边同时取倒数，证明数列是等差数列，再求出的通项公式； （2）利用（1）求出的通项公式，使用错位相减法求，判断数列单调递增，完成不等式证明. 【详解】（1）略； （2）略. 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意构造，得到，再构造等比数列求解即可. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）， ，， 可得， ，， ，，又， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，. （2）由题意得， 可得， 得到， ， . 考点03 分组求和法 9．（25-26高二下·山东东营·期末）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列通项与前项和的基本量运算，以及等比中项的概念列方程求解即得通项公式； （2）由已知，得到数列的前项和的表达式，先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为， 由 得 ， 即 ①. 由 成等比得， 化简得， 即 ， 将其代入①，解得 . 故数列的通项公式为； （2）由（1）知，， 已知当为奇数时， ；当为偶数时， . 则 . 不妨设， 则， 两式相减，可得 ， 故， 从而. 10．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)（或） (2)设的前项和为，则（或）. 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由条件计算等差数列的基本量，进而可得通项公式； （2）由题意可知当为奇数时，当为偶数时，再进行分组并项求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为 ()，由，得， 即，解得 或（舍去）， 故 ，所以数列的通项公式为. （2）由得， 当为奇数时，；当为偶数时，. 因此数列的奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列. 即，. 所以 . 因此. 12．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在数列中，，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)因为，当时，， 又，可得， 又，则，即，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，因此. (2) 【分析】（1）直接由递推公式及等比数列的定义证明可得； （2）由（1）知，进而可求，再通过分组求和可得数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以 因此． 考点04 裂项相消法 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 14．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得， 所以，即； 当时，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 15．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明：由题意得 ， 即； (3) 【分析】（1）根据题设定义求对应项的值即可； （2）应用对数的运算性质及新定义得到的关系，即可证； （3）根据（1）（2）的结论，结合构造法及等比数列的定义得到，再应用裂项相消法求. 【详解】（1）由题意得，； （2）略 （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以. 16．（25-26高二下·江西萍乡·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据“数列”定义得到存在正整数，使得即可求出公差；将代入后利用裂项相消法求得，解不等式得到结果. 【详解】等差数列的通项公式，前n项和公式， 因为等差数列是“数列”，根据“数列”定义，当时，存在正整数，使得， 即，整理得； 因为，为正整数，所以仅当时满足条件，因此； 所以， 因此数列的前项和 ， 令，则，所以； 所以正整数的最小值为5. 17．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 18．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列满足，，则__________. 【答案】333000 【详解】由已知条件可得，则. 令， 则 即. 所以，，…，. 累加得，所以. 于是，. 则. 考点05 并项求和法 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，， 故 20．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 21．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得为等比数列，再利用解得即可求. （2）由得到，再利用为偶数时，分组求出，再把代入即可. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列，设公比为. 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 所以. 22．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 考点06 插项、重组求和的问题 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】(1)因为，，成等差数列， 所以， 当时，， ，得 ， 由，得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据的关系，结合等差数列的性质、等比数列的定义进行求解即可. （2）根据等比数列前项和公式，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知：数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， ， 由题意可知：， ， 设， ， 因为，所以， 即， 所以数列是递增数列， 因为， 所以使得不等式成立的最小正整数的值为. 24．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【答案】(1)已知数列的前项和为，且， 当时，，，解得， 当时，有，两式相减，得， 所以，即， 又因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用得到，两式相减即可证明； （2）根据数列和的通项公式，找出数列的规律即可求解. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，，所以， 数列的前几项为，，，，，，， 所以，，所以是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以数列为， 所以数列除外，其余项均在数列中， 由于，，，即， 所以数列的前项中包含的项有，共项，因此还需往后找个非的项， 由于，因此要剔除，是接下来的个项， 因此的值等于数列的前项和减去， 即. 25．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】分析可知在数列中为第项，利用分组求和法求，再结合错位相减法以及并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：在数列中为第项， 且与之间插入个的和为， 因为，， 则， 设，则， 可得，且，即，所以； 当为奇数时，则， 可得， 所以. 26．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____． 【答案】 【分析】先根据递推关系分别求出等差、等比数列通项，将两数列所有数值升序合并得到；利用分组求和分别计算等差、等比片段和，依次检验临近分界点，对比与大小确定最小正整数． 【详解】由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 时，，解得， 时，，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 将、全部项从小到大不重复排列得新数列： 观察分界：小于的等比数列的项仅有，共项； 其余项为等差数列的项． 设前项中包含个等比项、个等差项，则， 等比数列的前项和， 等差数列的前项和， 观察指数增长，小于的等比项仅有个，前项内无新等比项，临界点集中在附近， ①验证， 前项包含个等比项、个等差项（）， ，， 所以，不等式不成立． ②验证， 前项在前项基础上增加等差项， ，， 所以，不等式成立． 故不满足，满足，故满足的最小正整数为． 27．（2026高三·全国·专题练习）已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）数列的通项含，可分为奇偶两种情况确定的取值，结合是的前项和，奇偶项各占项，可求和得到的通项；数列给出了对任意正整数恒成立的指数等式，通过赋值可推导的通项形式，再验证该通项的唯一性. （2）由第一问所得，可知需删除中下标为的倍数的项，剩余项构成的新数列的奇数项、偶数项分别构成公比为的等比数列，可将前项和拆分为奇数项和与偶数项和两部分，分别用等比数列求和公式计算后合并. 【详解】（1）数列满足，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又数列满足， 所以 由题意知：又知数列中，，且对任意正整数，，． 令，对任意正整数均有，即， 经验证，当时，，，即恒成立， 故； （2）由题知将数列中的第项、第项、第项……删去后构成的新数列，其项依次为 观察可得，新数列的奇数项为，偶数项为 即新数列中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是，，公比均是， 记数列的前项和为， 所以 . 【点睛】方法归纳： 1. 通项含的数列问题优先采用奇偶分类讨论的思路处理，涉及对任意正整数成立的递推关系，可通过特殊值赋值法快速推导通项. 2. 等比数列删除下标成等差数列的项后，剩余的子数列可按位置奇偶性拆分为公比相同的两个等比数列，分别求和后合并即可得到总和. 28．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 考点07 奇偶项求和 29．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，的通项公式为，且k为奇数 【分析】（1）①应用求出通项公式；②应用分组求和法求出即可； （2）应用为“Ⅱ（k）数列”且为“Ⅱ数列”的定义计算求解得出及为奇数. 【详解】（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以． 因为，所以． 当时，，得． 当时，，则，即， 经检验，当时，满足， 所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列， 所以． ②解：．     （2）（2）假设存在这样的数列， 由是“Ⅱ（k）数列”可得． 由是“Ⅱ数列”可得， 所以，， 即，所以． 由，令，得，令，得． 因为，所以，解得， 所以为2，，2，，2，，…， 的通项公式为． 当n为偶数时，，解得，k为奇数． 当n为奇数时，，解得，k为奇数． 综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”， 此时的通项公式为，且k为奇数． 30．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 31．（2026·安徽六安·模拟预测）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 32．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)由递推关系及等比数列定义可得； (2)由分组求和可得. 【详解】（1）设公比为 . 由 得 . 又 , 故 . 令 得 , 令 得 , 两式相除得 , 由正项数列知 , 代入得 , 因此 . （2）由 得 , 则 ， 前 项和拆分为奇数项与偶数项之和: ， 奇数项和为 . 偶数项和为 . 相加得 . 33．（2026·湖北武汉·三模）（多选）已知数列的通项公式是，设为数列的前项和，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若存在，使得，则 【答案】ABD 【分析】将m值代入数列中判断AB即可；对于C，分两种情况讨论，再代入到数列中求解m值即可判断；对于D，利用周期性，要想判断正负，只需考查即可，利用分组求和法求和后再进一步判断符号即可. 【详解】选项A，当时，，所以； 又因为且n为偶数时，，所以，所以，A选项正确； 选项B，当时，， 所以，， 所以， 又因为当时，，所以数列周期为6， 所以，B选项正确； 选项C，若，则，所以，即， 又因为为偶数，所以，解得，C选项错误； 选项D，当时，，所以数列周期为，因此的正负，只需考查即可. 当时，奇数项，所以奇数项是首项为9，公差为-2的等差数列， 所以奇数项的和； 偶数项，所以偶数项是首项为4，公比为的等比数列， 所以偶数项的和， 因此 当时，，，所以，且周期重复后仍为正， 当时，， 所以若存在，使得，则，D正确. 34．（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【详解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 考点08 放缩法求和 35．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）将已知的数列递推式取倒数，再进行构造，即可得为等比数列，再由等比数列的通项公式求得数列的通项公式，逐步得到的通项公式； （2）将（1）中求得的的通项公式代入，然后利用分组求和法结合等比数列的前项和公式计算可得； （3）化简，得到，先利用放缩法证明当时，，再证明当时，，即可得证. 【详解】（1）由已知得，可变形得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 故， 解得，即 （2）， 所以. （3）若为奇数，，若为偶数，， 故， ， 当时， ； 当时，. 因此，当时，不等式成立. 36．（25-26高三上·河南郑州·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用数列放缩的知识对每一个选项的上界和下界进行逐一证明即可. 【详解】对于A：证明下界：当时，有， 故 ，下界得证； 当时，有， 同理可得，，上界得证. 故A正确； 对于B：，下界得证； 当时，有 ，即. 故，上界得证. 故B正确； 对于C：，，， ，， ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD. 37．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（多选）如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（    ）    A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 【答案】ACD 【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可. 【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式， 可得，故C正确； 对于D，因为，， 当时，， 则，故D正确． 故选：ACD 38．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）记为正项数列的前项和，已知，. (1)证明：数列是常数列； (2)求的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过构造数列，再证明是常数列，进而可证明结论； （2）由（1）可得与的关系，根据公式法可得数列为等差数列，进而可得通项公式； （3）将数列的通项进行适当的放缩，再结合对数的运算即可证明. 【详解】（1）因为正项数列，且， 所以，且，记，则， 故，易知，两式作商，可得. 而，故， 而，故，于是， 所以，即，故数列是常数列. （2）由（1）可知，，两式作差可得， 得，即. 又由知， 所以数列是公差为2，首项为1的等差数列，故， 故的通项公式为. （3）由，知，即，故， 而，故， 下面证明.设函数，，， 故在上单调递增，于是，故，即. 故， 于是. 综上，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.5 数列求和 8大考点汇总 考点01 倒序相加法 考点02 错位相减法 考点03 分组求和法 考点04 裂项相消法 考点05 并项求和法 考点06 插项、重组求和的问题 考点07 奇偶项求和 考点08 放缩法求和 题型专练 考点01 倒序相加法 1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 2．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若等差数列满足，则______. 4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 考点02 错位相减法 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知数列满足，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 6．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． (1)求等差数列的公差和等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和． 7．（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知数列满足，且， (1)求证：数列为等差数列，并求出的通项公式. (2)若数列满足，记的前项和为，证明：． 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数．数列满足，数列满足， (1)求数列、的通项公式； (2)求数列的前项和． 考点03 分组求和法 9．（25-26高二下·山东东营·期末）已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 10．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 11．（25-26高二下·广东深圳·期末）记是公差不为的等差数列的前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.为数列的前n项和，求． 12．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知在数列中，，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 考点04 裂项相消法 13．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 14．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 16．（25-26高二下·江西萍乡·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 17．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 18．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列满足，，则__________. 考点05 并项求和法 19．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 20．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 22．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，，则_________． 考点06 插项、重组求和的问题 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）数列的前项和为，已知，，成等差数列. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 24．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)已知数列满足，．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 25．（25-26高二下·广东阳江·期末）已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 26．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知数列满足，，数列的前项和满足，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记数列的前项和为，则使得成立的正整数的最小值为____． 27．（2026高三·全国·专题练习）已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 28．（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 考点07 奇偶项求和 29．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”． (1)设为“Ⅱ（1）数列”． ①求的通项公式； ②若，数列的前n项和为，求． (2)是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 31．（2026·安徽六安·模拟预测）（多选）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 33．（2026·湖北武汉·三模）（多选）已知数列的通项公式是，设为数列的前项和，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若存在，使得，则 34．（25-26高二下·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 考点08 放缩法求和 35．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）已知数列中，首项，. (1)求证是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和； (3)令，的前项和为，求证：，． 36．（25-26高三上·河南郑州·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高三上·湖北·阶段检测）（多选）如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（    ）    A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 38．（25-26高三上·辽宁·阶段检测）记为正项数列的前项和，已知，. (1)证明：数列是常数列； (2)求的通项公式； (3)记数列的前项和为，证明：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $