重难点专训02 数列求和的七种方法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以7大求和方法为核心，通过“方法提炼-题型通法-分层过关”三阶体系，系统构建从基础到综合的解题逻辑，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法提炼|1表7法|结构特征+核心操作+适用口诀|从公式法到综合应用，形成方法链| |题型通法|7题型（含30+例题）|错位相减检验、裂项抵消规律等|方法与题型精准对应，渗透数学抽象| |分层过关|巩固11题+创新10题|压轴题放缩与不等式证明|从基础到创新，培养模型意识与推理能力|

重难点专训02 数列求和的方法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 公式法求和 2 题型2 分组求和法 2 题型3 裂项相消法 4 题型4 错位相减法 5 题型5 倒序相加法 6 题型6 并项求和法（奇偶讨论 / 周期求和） 8 题型7 数列求和与不等式综合（压轴方向） 9 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 方法 通项结构特征 核心操作 适用口诀 公式法 等差数列或等比数列 直接代前 n 项和公式（等比须讨论 q=1） 等差等比，公式直达 分组求和法 分组后分别求和，再相加 混合通项，拆开分别算 裂项相消法 分式、根式型，可拆成两项之差 裂项后中间项两两抵消 分母能拆，裂项相消 错位相减法 Sₙ 与 qSₙ 错位相减 等差乘等比，错位相减 倒序相加法 首尾两项之和为定值 正序 + 倒序相加后除以 2 首尾和定，倒序相加 并项求和法 含 (-1)ⁿ 或分段、周期 两项并项或按周期求和，分奇偶 符号变号，并项讨论 通项转化法 通项复杂或由递推 / 前 n 项和给出 先求或化简通项，再选方法 通项不明，先化再求 题型通法及变式提升 题型1 公式法求和 ① 巧用性质：等差数列中 a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …；等比数列中 aₘ·aₙ = aₚ·a_q（m + n = p + q），可减少计算量。 ② 结构记忆：等差数列 Sₙ 是关于 n 的二次函数（常数项为 0）；等比数列（q≠1）Sₙ 形如 Sₙ = A(qⁿ − 1)。 1．（2026·上海杨浦·二模）计算______. 2．（2026·上海虹口·三模）已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知数列满足，，则_______． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 5．（25-26高三下·上海·期中）已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 6．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 题型2 分组求和法 ① “等差 + 等比”型，如 aₙ = pn + q + kⁿ，拆成“等差数列求和 + 等比数列求和”。 ② 等差部分常用结论：Σ(2k−1) = n²，Σk = n(n+1)/2，直接代公式。 7．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 8.已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 9.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 10．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 11．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 题型3 裂项相消法 ①根据分母结构裂项（注意补系数）；②写出 Sₙ 的展开式，观察抵消规律；③保留首、尾“幸存项”求和。 14.数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 16.若对任意的正整数，函数均存在两个极值点、 ，且满足 ，则数列的前项和_____. 17．已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 18.已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 题型4 错位相减法 ① 相减时“首项与中间等比部分”单独保留，qSₙ 的最后一项符号为负，切勿漏项或漏负号。 ② 结果可用 S₁ 检验：n = 1 代入应等于 a₁。公比为负时同样适用，注意 (−1)ᵏ 的幂次符号。 ③ 结果结构常为 Sₙ = A(n)·qⁿ + B，其中 A(n) 为一次式。 19.已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则______． 20．已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 21．已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 22.已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 23.已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求使得成立的所有的值； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 24.已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 题型5 倒序相加法 ①写出 Sₙ 的正序展开；②将各项倒序再写一遍（利用对称性配对）；③两式相加除以 2。 25.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 26.已知等差数列满足（，），则_____． 27.已知函数，正项等比数列满足，则_________ 28.已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 29.已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 30.已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 题型6 并项求和法（奇偶讨论 / 周期求和） ① 形如 aₙ = (−1)ⁿ·f(n)：两两合并后常化为等差数列或常数，计算量骤减。 ② 周期数列：先求一个周期的和，再用“整周期 + 余项”计算。 ③ 结果分段：n 为偶数、n 为奇数分别写出，切勿只给一半。 31．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 32.已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 33.已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 34.对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 35.已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 题型7 数列求和与不等式综合（压轴方向） ①用合适方法求出 Sₙ（或 Tₙ）的表达式；②把不等式转化为关于 n 的函数不等式；③利用单调性、放缩或作差比较证明。 36.已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 37．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 38．已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 39．设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 40.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 2．（2025·上海崇明·一模）已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 3．（2025·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 6.已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 7.已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 8.已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 10.已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 11．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值． 创新提升 1．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（    ） A．9 B．17 C．26 D．34 2．（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3．（26-27高三上·上海·开学考试）对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 4.已知数列的通项公式为，函数，求________. 5．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7.已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 8.设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 9.已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 10.已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 数列求和的方法 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 公式法求和 2 题型2 分组求和法 3 题型3 裂项相消法 8 题型4 错位相减法 11 题型5 倒序相加法 15 题型6 并项求和法（奇偶讨论 / 周期求和） 18 题型7 数列求和与不等式综合（压轴方向） 22 重难专题分层过关练 27 巩固过关 27 创新提升 32 解题方法及技巧提炼 方法 通项结构特征 核心操作 适用口诀 公式法 等差数列或等比数列 直接代前 n 项和公式（等比须讨论 q=1） 等差等比，公式直达 分组求和法 分组后分别求和，再相加 混合通项，拆开分别算 裂项相消法 分式、根式型，可拆成两项之差 裂项后中间项两两抵消 分母能拆，裂项相消 错位相减法 Sₙ 与 qSₙ 错位相减 等差乘等比，错位相减 倒序相加法 首尾两项之和为定值 正序 + 倒序相加后除以 2 首尾和定，倒序相加 并项求和法 含 (-1)ⁿ 或分段、周期 两项并项或按周期求和，分奇偶 符号变号，并项讨论 通项转化法 通项复杂或由递推 / 前 n 项和给出 先求或化简通项，再选方法 通项不明，先化再求 题型通法及变式提升 题型1 公式法求和 ① 巧用性质：等差数列中 a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = …；等比数列中 aₘ·aₙ = aₚ·a_q（m + n = p + q），可减少计算量。 ② 结构记忆：等差数列 Sₙ 是关于 n 的二次函数（常数项为 0）；等比数列（q≠1）Sₙ 形如 Sₙ = A(qⁿ − 1)。 1．（2026·上海杨浦·二模）计算______. 【答案】 【详解】 . 2．（2026·上海虹口·三模）已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 【答案】40 【详解】由题可知：， 由等差数列求和公式得：. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知数列满足，，则_______． 【答案】60 【详解】因为数列满足，， 所以是一个首项为，公差为2的等差数列， 由等差数列前项和公式得：. 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知数列为等比数列，且，公比，则该数列的前4项的和等于___________． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且，公比， 所以该数列的前4项的和为， 故答案为： 5．（25-26高三下·上海·期中）已知数列为等比数列，，，则前5项和为___________． 【答案】 【详解】已知数列为等比数列，设首项是，公比为，则， ，解得， ． 6．（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 【答案】133 【详解】设， 由得，即， 由得，即， 联立得，。 故. 题型2 分组求和法 ① “等差 + 等比”型，如 aₙ = pn + q + kⁿ，拆成“等差数列求和 + 等比数列求和”。 ② 等差部分常用结论：Σ(2k−1) = n²，Σk = n(n+1)/2，直接代公式。 7．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【详解】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 8.已知数列满足：，且，，则的前100项和为______． 【答案】5000 【详解】因为， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 故，， 所以 ， 所以的前100项和为. 故答案为：. 9.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【答案】1012 【详解】设，则函数单调递增， 且，故方程存在唯一的实数根， 且， 当时，，据此可得， 当时，，可得，从而， ，. 故答案为：1012. 10．已知数列满足，且对任意的，都有. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式及数列的前项和. 【详解】(1)因为，即， 又，即， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . 11．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 12．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 13．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 【详解】（1）因为方程的两个根为：， 又为方程的两个根且， 当时，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以． （2）由（1）知数列中的相邻两项必为： 中的一个表达式， 所以数列的前项和中有项满足通项公式， 有项满足通项公式， 所以 . （3）因为， 所以由有： ， 所以， 当时， ， 同时， ， 综上所述， ， 所以的最大值为，最小值为. 题型3 裂项相消法 ①根据分母结构裂项（注意补系数）；②写出 Sₙ 的展开式，观察抵消规律；③保留首、尾“幸存项”求和。 14.数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 15．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知数列满足，，则数列前2026项的和为__________． 【答案】 【详解】因为，即， 且，可知数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 则，可得， 所以数列前2026项的和为. 16.若对任意的正整数，函数均存在两个极值点、 ，且满足 ，则数列的前项和_____. 【答案】 【详解】函数定义域为，， 由可得， 由题意可知，方程在上有两个不等的正根、 ， 所以，可得， 所以， 整理可得，解得， 所以数列的前项和为， 故答案为：. 17．已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 【答案】 【详解】解法一： 设， 则， 记，，则， 又，所以，所以， 所以. 解法二： 由①， 得②， 由①得③， 由②③得，则，即， 所以. 故答案为： 18.已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【详解】(1)证明：由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 题型4 错位相减法 ① 相减时“首项与中间等比部分”单独保留，qSₙ 的最后一项符号为负，切勿漏项或漏负号。 ② 结果可用 S₁ 检验：n = 1 代入应等于 a₁。公比为负时同样适用，注意 (−1)ᵏ 的幂次符号。 ③ 结果结构常为 Sₙ = A(n)·qⁿ + B，其中 A(n) 为一次式。 19.已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则______． 【答案】9217 【详解】由题意，的可能取值为1，2，3，，10， 根据子集定义，共有个1，个2，个3，，个10， ， 则， 两式相减得：， ． 故答案为：9217． 20．已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，所以，即， 又， 所以. （2）由，得. 所以，， 当时，； 当时，， ， 所以， 即. 21．已知等差数列的前项和为，若，. (1)求数列的通项公式及前项和； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）设公差为，则， ， 解得，故； ； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 22.已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 23.已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求使得成立的所有的值； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，整理得， 解得，或（舍去）， 所以， 所以； （2）由题可得，易得， 当时，令， 得，， 所以，使得成立的所有的值为1，3，4； （3）由题可得， 所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 24.已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 【详解】(1)由题意可得，即， 两边同时除以可得， 又， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 化简可得， 当时，代入也成立， 所以. （3）因为， 则， ， 两式作差可得， 所以. 题型5 倒序相加法 ①写出 Sₙ 的正序展开；②将各项倒序再写一遍（利用对称性配对）；③两式相加除以 2。 25.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】C 【详解】由已知，数列通项，所以， 所以， 所以. 故选：C. 26.已知等差数列满足（，），则_____． 【答案】 【详解】因为数列是等差数列，故，解得； 令， 则， 故 解得. 故答案为：. 27.已知函数，正项等比数列满足，则_________ 【答案】 【详解】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到, 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以， 因为正项等比数列满足，所以， 所以， 所以， ①， ②， 则①②相加得： 即， 所以. 故答案为：. 28.已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 29.已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 30.已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是． (1)判断数列单调性，并说明理由； (2)求数列的通项公式； (3)表示正整数的各个数位上的数字之和，如，求的值． 【详解】(1)是严格减数列；理由为： 由各项为正数，，即，即 所以是严格减数列. （2）把变为， 平方得， 即，所以是公差为4的等差数列， ，即， 即， 又，所以. （3）由（2）得，则，即， 设， 即， 倒序得， 按上述倒序且“错位对齐”的方法相加，， 依次下去，上下两行对应项之和都是19，把上述的两行对应项相加， 得，于是， 即． 题型6 并项求和法（奇偶讨论 / 周期求和） ① 形如 aₙ = (−1)ⁿ·f(n)：两两合并后常化为等差数列或常数，计算量骤减。 ② 周期数列：先求一个周期的和，再用“整周期 + 余项”计算。 ③ 结果分段：n 为偶数、n 为奇数分别写出，切勿只给一半。 31．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 32.已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 【详解】（1）因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. （2）因为，， 所以， 而. 因为在数列前30项内，不在数列前30项内， 即为的前30项，其集合为 则数列前30项和为：=1203. 33.已知数列的首项为，且满足 (1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【详解】(1)因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. （2）由（1）可知：， 若n为偶数，则； 若n为奇数，则； 综上所述：. 34.对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以. （2）在区间内的偶数为，则． 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3）依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 35.已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求； (2)若，求； (3)若是等比数列，项数不少于2，求所有任意不同两项的乘积的总和． 【详解】（1）设等差数列公差为， 由题意， 所以， 所以； （2）当时， ， 当时， ， 综上； （3）由题意：公比， 所以， 则， 记， 所以 . 题型7 数列求和与不等式综合（压轴方向） ①用合适方法求出 Sₙ（或 Tₙ）的表达式；②把不等式转化为关于 n 的函数不等式；③利用单调性、放缩或作差比较证明。 36.已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由，， ， ， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以当时，取最小值的取值范围是. 故答案为：. 37．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. （2）由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. （3）由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 38．已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 39．设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【详解】(1)证明如下： 当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 40.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设由构成的新数列为是等差数列，求的值； (3)对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 2．（2025·上海崇明·一模）已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 【答案】36 【详解】由题意，所以. 故答案为：36 3．（2025·上海静安·一模）设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则___________． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 【答案】11 【详解】令，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 设数列的前项和为，则， 所以， 因为单调递增， 又，， 所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【详解】(1)由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. (2)由， 可得 6.已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， (1)求数列的前项和； (2)，数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【详解】（1）根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. （2）由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 7.已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 【详解】(1)时，，所以， 当时，由,得， 则， 即， 所以又， 故就是首项为，公比为3的等比数列. （2）由（1）可得即. 将代入得, 所以 =. 8.已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 9．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列满足：，公差，且、、恰为等比数列的前三项. (1)求数列与的通项公式； (2)若数列满足：，求数列前项和. 【详解】（1）由题意可知，，即，即， 整理可得，因为， 所以，， 因此，. 所以，，， 则等比数列的公比为， 故. （2）由（1）可得， 所以， . 10.已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【详解】（1）因为，，两边同时除以可得： ，从而，， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 则； （2）由，， 所以，则， 所以， 所以 则， 因为中的每一项，所以为递增数列， 所以，因为， 所以，即实数的取值范围为. 11．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列前n项和，若，求正整数n的最小值． 【详解】（1）由题设， 所以，而， 所以. （2）由题设，则， 所以，显然在上递增， 时，， 时，， 所以成立，正整数n的最小值为6. 创新提升 1．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（    ） A．9 B．17 C．26 D．34 【答案】D 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前13项和为：. 故选：D 2．（2025·上海黄浦·一模）若数列同时满足如下条件：（ⅰ）是无穷数列；（ⅱ）是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得对任意的，都有的前n项的和，则称具有性质P．关于如下结论：①存在等差数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（   ） A．①和②均正确 B．①和②均错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【详解】对①，对于任意等差数列，若是递增数列，则，，当时，，与的前n项的和矛盾，故不存在； 对于②，构造等比数列，令，则， ，故为递增数列. 由等比数列前项和公式得， 因为，所以，取，则对于任意的都有. 综上分析，可知①错误，②正确. 故选：D. 3．（26-27高三上·上海·开学考试）对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 【答案】18445 【详解】当时，，此时， 所以， 所以 令， 则， 所以， 即， 所以，. 4.已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 5．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 【答案】 【详解】数列满足下列条件：， 则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以， 对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为. 故答案为： 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，① 当时，，则； 当时，，② 则①②得，， 则，则， 又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，则. （2）， 则 ， 设， 则， 所以 ， 所以，则. 7.已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【详解】（1）由题意得，又， 设的公比为， 故，相加得，则①， 两式相除得②， 又，所以③， 由①③得④， 由②④得，解得， 解得或0（舍去）， 由得，， 所以，所以， 其中，故， （2）， 其中， ， 故 8.设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. （2）因为，得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 9.已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 【详解】（1）因为，则有： 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得，整理得； 且，可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以，即. （2）由（1）可得：， 所以， 所以数列的前n项和. （3）由（1）可得：， 令，即，解得， 可得数列的最大项为， 因为等式对任意正整数n都成立，即， 可得，解得或， 所以实数t的取值范围. 10.已知各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列. (1)证明：数列是等比数列，并写出通项公式； (2)若，设，求数列的前项和； (3)若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1） 各项均为正数的数列的前项和为，首项为，且成等差数列． 则：①， 当时，，解得：． 当时，②， ①②得：，整理得：， 所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列． 所以：． （2） 由于：，所以，则， 所以①， ②， ①②得：， 解得：． （3） 设， 则：， 当，2，3时，， 当时，，即， 故的最大值为1， 不等式对一切正整数恒成立，只需即可， 故：，解得：或， 所以的取值范围是：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $