28.2 相似三角形的判定(1) 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形的判定(1)核心知识点，系统梳理从相似三角形定义（对应角相等、对应边成比例）到预备定理（平行截得相似）、判定定理1（两角对应相等）的逻辑脉络，结合A字型、X字型、子母型等基本图形模型，通过定义辨析、定理应用、模型识别的解题技巧构建学习支架。 该资料以模型化教学为特色，提炼A/X型等图形结构帮助学生用数学眼光抽象几何关系，分层设计例题、变式及强化训练，通过推理训练培养数学思维，解题技巧总结助力学生用数学语言表达推理过程，课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾强化、查漏补缺。

沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2相似三角形的判定(1) 学习目标 相似三角形的定义 相似三角形的判定方法 核心知识梳理 相似三角形判定预备定理 相似三角形判定定理1 课堂要求 相似三角形基础概念辨析类题目 运用相似三角形判定预备定理进行求解 运用相似三角形判定定理1完成证明与计算 主流考查题型 A字模型 经典相似几何模型 X(8字)模型 子母模型 知识详解 【知识点01】相似三角形的定义 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 如图，DE是△MBC的中位线，那么在△4DE与△MBC中，∠A=∠A,∠ADE=∠B, AD DE AE1 ∠AED=∠C;AB BC AC2.由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符 号来表示，记作△ADE∽△MBC,其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应 顶点；符号“”读作“相似于”. 0 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应 的位置上. 根据相似三角形的定义，可以得出： (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两 个三角形的相似比（或相似系数） （2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 2.相似三角形的判定 (1)相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如 图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 易错点：“对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： 左上 右上 左下 右下 左下（全）右下（全），左上（全）右上（全）， 左全 右全 左上左下左全 左下（上）“右不（上），或右左右下右全 (2)相似三角形判定定理1(AA) 两角对应相等的两个三角形相似。 内容 两角对应相等的两个三角形相似(A.A) 符号语言： 如图，在△ABC和△A1B,C1中 基本图形 D LA=∠A1,∠B=∠B1 B B 9 D 正A、正X B 模型：(A字型) (X字型或8字型) (平行模型) 符号语言： DE//BC DE//BC .DEc∽AABC .DEc∽AACB E 反A、反X B 反A字型 反X字型 符号语言： LAED=∠B，,∠A=∠A(公共角)：∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC(对顶角) .EDc∽AABC ∴.DEC∽△ABC D 字母型 B 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B,∠A=∠A(公共角)'LADC=∠ACD,∠A=∠A(公共角) ∴CDC∽△ABC .CD∽△ABC 解题技巧总结： 1. 相似三角形基本概念的辨析 抓住两点：对应角相等、对应边成比例。做题重点看清“对应”，避开 把边角随便配对的错误，区分全等与相似。 2.预备定理解题（平行线型） 核心：平行于三角形一边的直线，截得的三角形和原三角形相似。 看到图里有平行线，直接用这个定理找相似，再列比例线段计算边长。 3.判定定理1解题（两角分别相等） 找两组对应角相等即可证相似。常用：对顶角相等、公共角、等角的余 /补角相等，找到两组角就能判定。 4.常见相似模型 A型相似：三角形内部一条平行线，直接套用预备定理，找上下两组 对应边写比例。 X型相似(8字形)：两条直线相交形成对顶角，再找一组等角，证两 角相等得到相似。 子母型相似：直角三角形斜边上的高衍生模型，找准公共角，利用互余 找相等角，得到三组相似三角形。 题型精讲 【题型01】 相似三角形基本概念 【例1】根据下列条件判定△MBC与△DEF是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符 号表示出来. (1)∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°： (2)∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60° 【变式11】如图，已知AD⊥BC,CE⊥AB,且交AD于点P,试写出图中所有的相似 三角形. 【变式1-2】如图，在△ABC中，如果DE∥BC,DF∥AC,则图中的相似三角形有 【变式1-3】如图，在正方形ABCD中，AD=4cm,P为AB中点，Q为BC上一点，且，求PQ 长度。 D 【题型02】相似三角形判定的预备定理 【例2】如图，△ABC中，已知D、E分别是AB、AC的中点，求证：△ADE∽△ABC B 【变式2-1】如图，DE∥BC,DF∥AC,AD=6cm,BD=8cm,DE=5cm,则线段 BF的长是 D E B 【变式2-2】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DEAC,∠DEF =∠A.求证：△BDE△EFC. A D 【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD,点E、F分别是AB、 BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：△EDM∽△FBM: (2)若DB=6,求BM. 0 M 【变式2-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD,点E、F分别是AB、 BC的中点，EF与BD相交于点M. (1)求证：△EDM∽△FBM; (2)若DB=6,求BM. D C M 【题型03】利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在△4BC和△4BC中，∠A=∠A,∠B=∠B,求证：△M4BC∽ △4B,C A A C B C 【变式3-1】如图，在△MBC中，P是AC上一点，联结BP,要使△4BP∽△MCB,还 需要补充一个条件这个条件可以是 【变式3-2】如图，CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE,求证： △ABC∽△DEB B D 【变式3-3】如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且若∠A=40°， ∠B=65°，∠AED=75°」 D B (1)求证：△AED∽△ACB: (2)若AB=9,AD=6,AC=7,求AE的长. 【变式3-3】如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，将点C沿BE翻折恰好落到边AD 上的点F处.求证：△DEF∽△AFB: E C B 【变式3-4】如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上， CD=CE B D C (1)求证：△ABD∽aCAE, 2若B=6,AC=9。 Γ2，AD=5,则直接写出CD的长为 【变式3-5】·己知，如图，△MBC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上， ∠ADE=60°， 求证：△ABD∽△DCE A D B 【变式3-6】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,M为AD中点， 连接CM交BD于点N,且ON=1,求BD的长. D B 【变式3-7】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点 F,求证：△AEF∽△BEC E 【变式3-8】如图，在△4BC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是AMBC内一点，且 ∠APB=∠APC=135 求证：ACPA∽△MPB 【变式3-9】 已知：四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AB=AD=25,BC=32.连接BD,AE⊥BD,垂足 为点E. (1)求证：△ABE∽△DBC; (2)求线段AE的长 D E B c 【变式3-10】如图，在△ABC中，∠ABC=2LC,点E为AC的中点，ADLBC于点D, ED延长后交AB的延长线于点F,求证：△AEF一△ABC. B 【变式3-11】如图，在△MBC中，AB=AC,D点是CB的延长线上一点，E是BC延 长线上的一点，且满足AB2=DB.CE;求证：(1)△4DB∽AEAC(2)若 ∠BAC=40°，求∠DAE的度数. ,AB=AC∽△EAC AB=AC△EAC 【变式3-12】.如图，Rt△ABC中， ∠ABC=90°.BF1AC于 F,AD是∠BAC的平分线，DG⊥AD交AC于G,AD与BF交于点E. D (1)求证：△ABE~△DCG (2)△ABD-△--△_，△ABE~aDCG-△_ 强化训练 1.下列命题是真命题的是() A.有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B.有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C.有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D.有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 2.如图，已知AD1BC,CE1AB,且交AD于点P,试写出图中所有的相似三角 形 A F B 3.(24-25九年级上·上海期中)如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，如 DE AE 果BC=AC'那么—得到DE∥BC: (填“能”或“不能”) B 4.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD=∠B,AC=4,AB=8,则AD= 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD平分∠BCA,作AE⊥CD交BC于点E,垂足 为F.作BG⊥AE,垂足为G. A D F B E C G (1)求证：AC2=CF.CD, 6.如图，在△MBC中，AB=15厘米，AC=12厘米，AD是∠BAC的外角平分线，DE/ AB交AC的延长线于点E,求CE的长 A B D 7如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD=∠B,若AC=3,AD=2,E则BD= B 8.已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且 ∠ACD=∠B=∠BAE D AD DE (1)求证：BCAC: AEAB (2)当点E为CD中点时，求证：CE=AD: 9.如图，已知：D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD, ∠ACD=LADC=LADE,DE交AB于点F. B D (1)求证：AB=AE: (2)如果AD=AF,求证：EF2=BF·AB 沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2 相似三角形的判定(1) 知识详解 学习目标 【知识点01】 相似三角形的定义 生活中有许多形状相同，但大小不一定相同的图形，我们称之为相似图形。 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”． D A B C E 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2. 相似三角形的判定 （1）相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形于原三角形相似。 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 易错点;“对应线段成比例”包含两种情况：①上下对应；②左右对应具体包括： ，，，或 （2）相似三角形判定定理1（AA） 两角对应相等的两个三角形相似。 内容 两角对应相等的两个三角形相似（A.A） 基本图形 符号语言： 如图，在△ABC和△中 ∵∠A=∠，∠B=∠ ∴△ABC∽△ 正A、正X （平行模型） 模型： (A字型) （X字型或8字型） 符号语言： ∵DE//BC ∵DE//BC ∴DE∽△ABC ∴ DE∽△ACB 反A、反X 符号语言： ∠AED=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴ED∽△ABC ∴ DE∽△AB C 字母型 子母型 特殊子母型（射影型） 符号语言： ∠ACD=∠B，∠A=∠A (公共角) ∵∠ADC=∠ACD，∠A=∠A (公共角) ∴CD∽△ABC ∴ CD∽△AB C 解题技巧总结： 1. 相似三角形基本概念的辨析 抓住两点：对应角相等、对应边成比例。做题重点看清“对应”，避开把边角随便配对的错误，区分全等与相似。 2. 预备定理解题（平行线型） 核心：平行于三角形一边的直线，截得的三角形和原三角形相似。 看到图里有平行线，直接用这个定理找相似，再列比例线段计算边长。 3. 判定定理1解题（两角分别相等） 找两组对应角相等即可证相似。常用：对顶角相等、公共角、等角的余/补角相等，找到两组角就能判定。 4. 常见相似模型 A型相似：三角形内部一条平行线，直接套用预备定理，找上下两组对应边写比例。 X型相似（8字形）：两条直线相交形成对顶角，再找一组等角，证两角相等得到相似。 子母型相似：直角三角形斜边上的高衍生模型，找准公共角，利用互余找相等角，得到三组相似三角形。 【题型01】 相似三角形基本概念题型精讲 【例1】根据下列条件判定与是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号 表示出来． （1），，； （2），，，． 【难度】★ 【答案】（1）相似，；（2）相似，． 【解析】（1）根据三角形内角和，可得，又，根据相似 三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定； （2）根据三角形内角和，可得，又，根据相似三角形判 定定理1，确立对应关系，即可判定 【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和进行求解． 【变式1-1】如图，已知，，且交于点，试写出图中所有的相似三角形． 【难度】★ 【答案】． 【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可 知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形． 【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似． 【变式1-2】如图，在中，如果，，则图中的相似三角形有___________________ 【答案】∆ADE∽∆ABC，∆ADE∽∆DBF，∆ABC∽∆DBF 【分析】本题主要考查了相似图形的概念，两个图形相似需对应角相等且对应边成比例。 【详解】解：∵，， ∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠BDF=∠BAC,∠DFB=∠ACB , ∴∆ADE∽∆ABC,∆DBF∽∆ABC ∴∆ADE∽∆DBF（相似的传递性） 【变式1-3】如图，在正方形ABCD中，AD=4cm，P为AB中点，Q为BC上一点，且,求PQ长度。 【分析】本题主要考查了相似三角形的定义，正方形的性质，由正方形的性质得出，由得出，进而求出CQ,PQ的长度。 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，PD=CP=2, ∵ ∴=, ∴CQ= ∴PQ= 【题型02】 相似三角形判定的预备定理 【例2】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【变式2-1】如图，，，，，，则线段的长是___________。 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定的预备定理，根据平行可证三角形相似，根据相似三角形对应边成比例即可求得BF长。 【详解】解：∵，， ∴∆ADE∽∆ABC,∆DBF∽∆ABC ∴∆ADE∽∆DBF ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【分析】根据，得出，根据可判断，可证． 【详解】证明， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行线性质，三角形相似判定是解题关键． 【变式2-3】如图，在四边形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求． A B C D E F M 【解析】（1）证明：，是的中点， ，又//， 四边形是平行四边形． ， ． （2）解：，为中点， ，． 代入可得：． 【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用． 【变式2-4】如图，在四边形中，//，且，点、分别是、的 中点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求．A B C D E F M 【难度】★★ 【答案】（1）略；（2）． 【解析】（1）证明：，是的中点， ，又//， 四边形是平行四边形． ， ． （2）解：，为中点， ，． 代入可得：． 【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用． 【题型03】 利用两角对应相等判定相似 【例3】如图，在和中，， 求证：∽ 证明：在上截取，作 ∴，∴ ∵ ∴∽ ∴∽ . 【变式3-1】如图，在中，是上一点，联结，要使∽，还需要补充一个条件.这个条件可以是 ． 【解析】∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC 【变式3-2】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，在中，是上一点，是上一点，且若，，． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：在矩形中，， 根据翻折可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-4】如图，在中，点D在BC边上，．点E在AD边上，． (1)求证：； (2)若，，，则直接写出CD的长为________． 【答案】(1)证明：， ． ， 又， ． 又， ． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，即可证明； （2）结合（1）的结论，对应边成比例可求出的长，即可解答． 【详解】（1）略． （2）解： ， ， ，，， ． ． ． 【变式3-5】．已知，如图，是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°． 求证：∽ 参考答案： 证明：∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵∠ADE=60° ∴ ∴ ∴∽ 【变式3-6】如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴∠DMN=∠BCN ， ， ， ∵DM==BC ∴ 设，则， ， ，， ，解得， ． 【变式3-7】如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． 【变式3-8】如图，在中，，，是内一点，且． 求证：． A B C P 【解析】证明：，， ． 即． ， ． ． ， ． 【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转化． 【变式3-9】 已知：四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD，垂足为点E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）求线段AE的长． （ 参考答案：此题考查相似三角形判定及应用； （1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2. ∵AD∥BC，∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3. ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠C=90°. ∴△ABE∽△DBC. （2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE. ∴BD=2BE. 由△ABE∽△DBC，得. 1 2 3 ∵AB=AD=25，BC=32，∴. ∴BE=20． 【变式3-10】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【答案】证明见解析． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【详解】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 【变式3-11】如图，在中，，点是的延长线上一点，是延长线上的一点，且满足； 求证：（1）∽ （2）若，求的度数. 参考答案：证明：（1）∵ ∴ ∴ ∵, ∴ ∴∽ （2）∵, ∴ ∵∽ ∴ ∴ 【变式3-12】．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E． (1)求证： (2) ， ． 【答案】(1)见解析 (2)ADG，AFE，ACD 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】（1）解：证明：如下图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， 又，，， ∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°， ∴ADGAFE， ∴∠3=∠AGD=∠AEF， ∴∠ADC=∠CGD=∠AEB， 又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C， ∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 故选：A． 1．下列命题是真命题的是（     ）强化训练 A．有一个角是36°的两个等腰三角形相似 B．有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C．有一个角是60°的两个等腰三角形相似 D．有一个角是钝角的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，根据有两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：A、36度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； B、45度的两个角一个是顶角，一个是底角时，两个等腰三角形不相似，选项为假命题； C、有一个角是60°的两个等腰三角形均为等边三角形，相似，为真命题； D、有一个角是钝角，且钝角的度数相等的两个等腰三角形相似，选项为假命题； 故选C． 2.如图，已知，，且交于点，试写出图中所有的相似三角 形． 【难度】★A B C D E P 【答案】． 【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1 可 知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形． 【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似． 3.（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 4.如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 5.如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．    (1)求证：． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． 6.如图，在中，厘米，厘米，是的外角平分线， //交的延长线于点，求的长． 【难度】★★A B C D E F 【答案】． 【解析】是的外角平分线， ． //， ， ， ． 又由//， 可得， 即， 解得． 【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可． 7.如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 【答案】 【分析】利用两组角相等得到，进而利用求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴即：， ∴. 8．已知：如图，在中，点D在边上，点E在线段上，且 (1)求证：； (2)当点E为中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意并结合三角形外角的定义及性质得出，再结合即可证明出，即可得证； （2）证明，得出，再由点E为中点，得出，从而可得，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $