28.2（2）相似三角形的判定（2）（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定核心知识点，系统梳理SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）判定定理及直角三角形HL（斜边和一条直角边对应成比例）定理，承接相似三角形概念与性质，构建从定理理解到灵活运用的学习支架。 该资料以“特别提醒”强化易错点（如SAS需夹角、HL需直角前提）培养严谨推理意识，通过“随学随练+题型分类”（如基本判定辨析、SAS/SSS/HL运用）设计，结合蝶形图X型相似、中点连线证相似等实例提升几何直观与抽象能力。课中辅助分层教学，课后助力学生通过基础与素养练习查漏补缺，强化用数学语言表达判定过程的能力。

第二十七章 相似三角形 28.2（1） 形似三角形的判定（2） 课标要点 1. 掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理； 2. 理解直角三角形相似判定的HL定理； 3. 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似； 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形判定定理； 难点： 判定方法的灵活选择及运用； 知识点 相似三角形判定定理2 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，已知在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，（AB＞DE）. ∴△ABC∽△DEF. 特别提醒 1.在用相似三角形判定定理2时，一定要注意相等的角是夹角。 2.在蝶形图中常常伴随两组“X型图”相似。 随学随练 1. 求证：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 2.如图，四边形的对角线与相交于点，，，，． （1）求证：与是相似三角形 （2）图中还有其他相似三角形吗？    知识点 相似三角形的判定定理3 定理：三边对应成比例两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵ ∴△ABC∽△ 特别提醒 在使用SSS定理时，一定要注意对应边成比例。可以有序排列三边长度，准确写出对应比例，避免对应边写错。 随学随练 1. 如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 知识点 直角三角形相似判定定理 1. 定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中，∠C= ∠， ∵ ∴△ABC∽△ 特别提醒 在运用HL定理时，不要忽略前提条件“在两个直角三角形中”。 随学随练 1. 求证：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 题型相似三角形基本判定方法的辨析 ▌例1如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1. 如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2.如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练3. 如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型 相似三角形SAS定理的运用 解题贴士 1. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2. 遇到等积式常常要化成比例式子，要证两三角形相似，有了两边成比例通常再证夹角相等。 ▌例1如图，在和中，，． 求证：∠ABC=∠ADE； ▌例2已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． ▌对点练1. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． ▌对点练2. 如图，，，求证：． ▌对点练3. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． ▌对点练4. 如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． ▌对点练5. 如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． ▌对点练6. 如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． 题型 相似三角形SSS定理的运用 解题贴士 定理：三边对应成比例的两个三角形相似。 ▌例1如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． ▌例2如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． ▌对点练1. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． ▌对点练2.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． ▌对点练3. 如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． ▌对点练4.如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 题型 直角三角形相似HL定理的辨析 ▌例1 已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC 解题贴士 1. 定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 2. 判定直角三角形相似的方法有AA定理、SAS定理、SSS定理和HL定理。 ▌对点练1. 下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 ▌对点练2. 下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 ▌对点练3. 如图，已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且求证：△ABC∽△A1B1C1 ▌对点练4. 如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 题型 综合应用 ▌例1 如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？解题贴士 1. 灵活选用适当方法判定三角形相似； 2. 相似三角形性质和判定的综合应用。 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ ▌对点练1. 在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） ▌对点练2. 如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) ▌对点练3. 如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． ▌对点练4. 如图，在和中，，，AC和DE交于点P，求证：△PDC∽△PAE； P 基础通关 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 7．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 8．（2024·云南昆明·一模）如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是_________．（写出一个即可）    9．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 10．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 素养提升 1．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广西钦州·周测）在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 6．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 8．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 10．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 迁移创新 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 相似三角形 28.2（1） 形似三角形的判定（2） 课标要点 1. 掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理； 2. 理解直角三角形相似判定的HL定理； 3. 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似； 学习重难点 重点： 理解并掌握相似三角形判定定理； 难点： 判定方法的灵活选择及运用； 知识点 相似三角形判定定理2 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 符号语言：如图，已知在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，（AB＞DE）. ∴△ABC∽△DEF. 特别提醒 1.在用相似三角形判定定理2时，一定要注意相等的角是夹角。 2.在蝶形图中常常伴随两组“X型图”相似。 随学随练 1. 求证：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【详解】如图，已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，（AB＞DE）. 求证：△ABC∽△DEF. 证明：在AB上截取AG=DE,作GH∥BC， ∴△AGH∽△ABC， ∴ ∵ AG=DE， ∴AH=DF， ∵∠A=∠D， ∴△AGH≌△DEF(SAS)， ∴△ABC∽△DEF. 2.如图，四边形的对角线与相交于点，，，，． （1）求证：与是相似三角形 （2）图中还有其他相似三角形吗？    【答案】见解析 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】（2）证明：，，，， ， ． ， 与是相似三角形． （2），． 与是相似三角形． 知识点 相似三角形的判定定理3 定理：三边对应成比例两个三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵ ∴△ABC∽△ 特别提醒 在使用SSS定理时，一定要注意对应边成比例。可以有序排列三边长度，准确写出对应比例，避免对应边写错。 随学随练 1. 如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 首先可判断、、为的中位线，根据平行线分线段成比例的知识，可判断与的对应边成比例，继而可得出结论． 【详解】解：，，分别是的三边，，的中点， 、、为的中位线， ， ． 知识点 直角三角形相似判定定理 1. 定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 符号语言：如图，在△ABC和△中，∠C= ∠， ∵ ∴△ABC∽△ 特别提醒 在运用HL定理时，不要忽略前提条件“在两个直角三角形中”。 随学随练 1. 求证：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【详解】解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型相似三角形基本判定方法的辨析 ▌例1如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． ▌对点练1. 如图，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、，， ，故本选项不符合题意； B、，， ，故本选项不符合题意； C、， ∴， 又， ，故本选项不符合题意； D、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意． ▌对点练2.如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． ▌对点练3. 如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 题型 相似三角形SAS定理的运用 解题贴士 1. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2. 遇到等积式常常要化成比例式子，要证两三角形相似，有了两边成比例通常再证夹角相等。 ▌例1如图，在和中，，． 求证：∠ABC=∠ADE； 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可证； 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． ∴∠ABC=∠ADE． ▌例2已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）由，，求出，得到，由，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌对点练1. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． ▌对点练2. 如图，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌对点练3. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． ▌对点练4. 如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． ▌对点练5. 如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌对点练6. 如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 题型 相似三角形SSS定理的运用 解题贴士 定理：三边对应成比例的两个三角形相似。 ▌例1如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． ▌例2如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． ▌对点练1. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． ▌对点练2.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)与相似，理由见解析 (2)与相似，理由见解析 【分析】（）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定求解； （）根据三边对应成比例的两个三角形相似即可判定求解； 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：与相似，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：与相似，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． ▌对点练3. 如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． ▌对点练4.如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）易得，，分别为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么的三边对应成比例，可证； （2）根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． （2）解：如图，（1）中结论仍成立． 题型 直角三角形相似HL定理的辨析 ▌例1 已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC 解题贴士 1. 定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 2. 判定直角三角形相似的方法有AA定理、SAS定理、SSS定理和HL定理。 【分析】由ΔABC与ΔACD都是直角三角形和，得出RtΔDCA∽RtΔABC，最后得出∠DCB=90°，从而推出结论. 【详解】∵∠BAC=∠ADC=90°， ∴ΔABC与ΔACD都是直角三角形.   ∵ ∴   ∴   ∴RtΔDCA∽RtΔABC （HL） ∴∠DCA=∠B ∵∠B+∠ACB=90° ∴∠DCA+ACB=90°，即∠DCB=90° ∴DC⊥BC ▌对点练1. 下列说法不正确的是（   ） A．有一组角对应相等的两个直角三角形相似 B．有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似 C．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【详解】A：若两个直角三角形仅有一组角对应相等（如均为直角），但另一锐角不相等，则它们不相似． 例如，一个含锐角的直角三角形与一个含锐角的直角三角形不相似，故选项A错误． B：若两个直角三角形有一组锐角对应相等，则另一锐角也必然相等（因两角之和为）， 满足“两角对应相等”的相似条件，故选项B正确． C：两条直角边对应成比例，且夹角为直角（对应相等）， 符合“两边对应成比例且夹角相等”的相似条件，故选项C正确． D：斜边和一条直角边对应成比例时，根据勾股定理，另一条直角边也必然成相同比例， 满足“三边对应成比例”的相似条件，故选项D正确． 故选：A． ▌对点练2. 下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 【详解】解：A：∵顶角为的等腰三角形，底角均为， ∴两个等腰三角形的三个内角对应相等，故两三角形相似，原说法正确，不符合题意． B：∵两个直角三角形的一锐角都为， ∴两个直角三角形的两个角对应相等，两三角形相似，原说法正确，不符合题意． C：设第一个直角三角形两边为12和8，第二个为9和6，若第一个直角三角形的直角边为12和8，斜边为；第二个直角三角形的斜边为9，一条直角边为6，另一直角边为，此时，故两三角形此时不相似，原说法错误，符合题意； D：∵等边三角形三角均为且三边成比例， ∴两个等边三角形一定相似，原说法正确，不符合题意． 故选：C． ▌对点练3. 如图，已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且求证：△ABC∽△A1B1C1 【详解】证明：∵AD⊥BC，A1D1⊥B1C1， ∴∠ADB=∠=90° ∵ ∴△ADB∽△(HL) ∴∠B=∠ ∵∠BAC=∠A1B1C1=90° ∴△ABC∽△A1B1C1(AA) ▌对点练4. 如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F， ∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， ∴∠D=90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∴AF=CD=1,AD=CF， ∴BF=AB-AF=1， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵∠D=∠A=90°， ∴△CDE∽△EAB； （2）△CDE∽△CEB相似，理由如下： ∵，, ∴，，， ∴ ， ∴△CDE∽△CEB. 题型 综合应用 ▌例1 如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？解题贴士 1. 灵活选用适当方法判定三角形相似； 2. 相似三角形性质和判定的综合应用。 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可解答； （2）根据相似三角形的判定定理结合等腰梯形的性质即可解答． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则不能证明． （2）解：若，．理由如下： ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴． ▌对点练1. 在中，利用尺规作图在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，作出，再结合，即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，交边于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧交弧于点，连接并延长交于点，点即为所求， ， 由作图可得，， ∵， ∴． ▌对点练2. 如图，在四边形中，，E为边上一点，请用尺规作图法在边上找一点F，连接，使得与相似． (不写作法，保留作图痕迹) 【答案】见详解 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定．由得到，因此作使，得或其它对应相等的一组角即可得到与相似． 【详解】解：如图，点F即为所求作． 由作图可知：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌对点练3. 如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，设．结合勾股定理计算可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：． 理由如下：设． 根据勾股定理，得，，． ∵，，， ∴． ∴． ▌对点练4. 如图，在和中，，，AC和DE交于点P，求证：△PDC∽△PAE； P 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出，再由相似得到∠D=∠A，从而获证。 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ， ∴∠D=∠A 又∵∠DPC=∠APE ∴△△PDC∽△PAE. 基础通关 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等），逐一验证各选项的边长比例是否相等即可. 【详解】解：A答案：对应边的比相等，所以两三角形相似； B答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； C答案：对应边的比不都相等，所以两三角形不相似； D答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； 故选： A． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 8．（2024·云南昆明·一模）如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是_________．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 10．（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 素养提升 1．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．（25-26九年级下·广西钦州·周测）在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 6．（25-26九年级上·全国·周测）在如图所示的网格中，有，其中与相似的是_________（所有三角形的顶点均在小正方形的顶点上） 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定。根据勾股定理分别求出三个三角形的三边长，再按照大边比大边、小边比小边、中边比中边求出三边之比，所求三边之比相等的两个三角形就是相似三角形． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则，，，，，，，． ， 与不相似； ， 与不相似； ， 与相似. 故答案为. 7．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． 9．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 10．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 迁移创新 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $