精品解析：四川泸州市龙马潭区五校联考2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习

2026年秋期龙马潭区五校联考九年级暑假自主学习情况调研 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共12小题，共48分） 1. 以下标识图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. ， D. 7. 如果，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 同位角相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 9. 若，，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 2 10. 赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 11. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共20分） 13. 分解因式：_________． 14. 函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 15. 一组数据：3，4，8，6，8的中位数是________． 16. 如图，点是的对角线的中点，过点作，分别交，于点，，连接．若，，则的大小为____________． 17. 如图，在五边形中，已知，，，在上分别找一点M、N，若要使的周长最小时，则的最小周长为______． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算： 19. 计算：． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 计算：． 21. 如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：． 22. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项：A、小时以上；B、小时；C、小时；D、小时以下． （1）本次调查活动采取了 调查方式；本次调查的学生人数为 ；图（2）选项C的圆心角度数为 ． （2）请根据图（1）中选项B的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，你估计该校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在小时以下． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，在中，对角线，交于点O，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，的周长是12，求的长． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点坐标为，点在第一象限，，．为射线上一点，过作直线轴交于，交射线于． （1）求B点坐标； （2）当为线段中点时，在直线上找点，当为等腰三角形，请直接写出点坐标； （3）如图②，为中点，当时，求点坐标． 25. 如图，在四边形中，点M、N分别在边上．连接． （1）如图1，四边形为正方形时，连接，且． ①已知，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，四边形为矩形，，点N为的中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期龙马潭区五校联考九年级暑假自主学习情况调研 数 学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共12小题，共48分） 1. 以下标识图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，根据定义进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：图形左右对称，不符合题意； 对于选项B：图形左右对称，不符合题意； 对于选项C：图形左右对称，不符合题意； 对于选项D：图形不具有对称性，不是轴对称图形，符合题意． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，不是“勾股数”，不符合题意； 不是“勾股数”，不符合题意； 不是正整数，故不是“勾股数”，不符合题意； 是“勾股数”，符合题意； 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A：是合并同类项，结果应为，不是，A错误； 对选项B：根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得，计算正确，B正确； 对选项C：根据积的乘方法则，，原式计算错误，C错误； 对选项D：根据完全平方公式，，原式展开错误，D错误． 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象的上下平移的规律“上加下减”法则，一次函数图象向上或向下平移个单位长度，只需要对原函数的常数项加上或减去即可得到结果． 【详解】解：，向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，运算正确，该选项符合题意； B、2与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，该选项不符合题意； C、，原运算错误，该选项不符合题意； D、，原运算错误，该选项不符合题意． 6. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不能判断四边形是平行四边形； B. ，不能判断四边形是平行四边形； C. ，，四边形是平行四边形，符合题意； D. ，不能判断四边形是平行四边形． 7. 如果，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 8. 下列命题中，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 同位角相等 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，矩形的性质，平行线的性质和等边三角形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意； B、矩形的对角线相等，不一定垂直，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意． 9. 若，，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用． 将代数式 展开，利用已知条件和直接代入计算． 【详解】解：∵ ， ∵ ，， ∴ ． 故选：C． 10. 赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和，若，且，则黄实为（ ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，根据勾股定理的， ∴黄实的面积为． 故选：D． 11. 不同型号的电动车使用的电池技术不同，充电速度也有差异．现有甲、乙两辆电动车同时开始充电，它们的电量（用百分比计量）与时间（单位：）之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 两车开始充电时电量相同 B. 当时，甲车的电量比乙车的电量高 C. 两车的电量增加所需的时间总相等 D. 按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、两车开始充电时电量都是，故A正确； B、当时，甲车的图象在乙车的上方， ∴甲车的电量比乙车的电量高，故B正确； C、∵甲车的图象是曲线，乙车的图象是直线， ∴由图象得，只有从到时，两车的电量增加所需的时间才相等，故C错误； D、当时，乙车的图象在甲车的上方， ∴按照图中趋势，乙车电量比甲车电量更早达到，故D正确． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点是边上不与重合的一个动点，旋转后点的对应点为点，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由勾股定理可求的长，由三角形面积公式可求的长，由旋转的性质可得，可得，则当点与点重合时，有最小值，即有最小值． 【详解】如图，过点作于点， ， ， ， ， 解得：， 将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是点到线段最短的距离， 即：当点与点重合时，有最小值，， 即：此时有最小值，， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 二、填空题（共5小题，共20分） 13. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 14. 函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得， 解不等式得， 解不等式得， 取两个解集的公共部分，得． 15. 一组数据：3，4，8，6，8的中位数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将该组数据按从小到大的顺序排列得，，，，， 本组数据的个数为，是奇数， 因此中位数为中间位置的数，即， 这组数据的中位数是． 16. 如图，点是的对角线的中点，过点作，分别交，于点，，连接．若，，则的大小为____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质可求出，，则可求出，证明垂直平分，推出；则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵点是的对角线的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∴． 17. 如图，在五边形中，已知，，，在上分别找一点M、N，若要使的周长最小时，则的最小周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题. 作出A关于和的对称点，将的三边转化在同一直线上是解题的关键.利用点的对称，让的三边在同一直线上，即作出A关于和的对称点，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． 过作延长线的垂线，垂足为H， ∵， ∴， 则中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义、负整数指数幂的定义及非零数的零次幂，熟练掌握算术平方根的定义、负整数指数幂的定义及非零数的零次幂是解题的关键． 【详解】解：原式 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．把分式中的分子、分母因式分解，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明后，利用全等三角形的性质即可得到． 【详解】略 22. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项：A、小时以上；B、小时；C、小时；D、小时以下． （1）本次调查活动采取了 调查方式；本次调查的学生人数为 ；图（2）选项C的圆心角度数为 ． （2）请根据图（1）中选项B的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，你估计该校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在小时以下． 【答案】（1）抽样，200， （2）见解析 （3）该校可能有150名学生平均每天参加体育活动的时间在小时以下 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据题意可得本次调查活动采取了抽样调查，用B的人数除以B所占百分比，即可求出本次调查的学生人数，用360度乘以C所占百分比，即可求出C的圆心角度数； （2）先求出D的人数，即可补充统计图； （3）用全校人数乘以平均每天参加体育活动的时间在小时以下的人数所占百分比，即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查活动采取了抽样调查， 本次调查的学生人数（人）， 选项C的圆心角度数， 故答案为：抽样，200，； 【小问2详解】 解：（人）， 补充条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校可能有150名学生平均每天参加体育活动的时间在小时以下． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，在中，对角线，交于点O，，，垂足分别为点E，F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，，的周长是12，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，可知； （2）根据线段中点的定义结合已知条件得到，由勾股定理得到，可知，根据平行四边形的性质作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵，的周长是12， ∴， 设， ∴， 由勾股定理得到：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点坐标为，点在第一象限，，．为射线上一点，过作直线轴交于，交射线于． （1）求B点坐标； （2）当为线段中点时，在直线上找点，当为等腰三角形，请直接写出点坐标； （3）如图②，为中点，当时，求点坐标． 【答案】（1）； （2）满足条件的点坐标为或或或； （3）点坐标为或． 【解析】 【分析】此题是一次函数和三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题． （1）先求出，进而求出，即可得出结论； （2）先设出点坐标，进而表示出，，，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论； （3）先求出，直线，的解析式，进而设出点的坐标，表示出，，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图①，过点作于， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴， 点是中点， ，， ， 设， ， ，，， 为等腰三角形， ①， ， 或， 或； ②， ， ， ； ③， ， （舍或， ， 即：满足条件的点或或或； 【小问3详解】 解：如图 由（1）知，， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 点是中点， ， 设点，， ， ， ， ， 或， 点坐标为或． 25. 如图，在四边形中，点M、N分别在边上．连接． （1）如图1，四边形为正方形时，连接，且． ①已知，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，四边形为矩形，，点N为的中点，，求的长． 【答案】（1）①10；②4； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理可直接得出结论； ②延长至点E，使，连接，，可证明，可得；进而可得，可得到；设，则，，在中，利用勾股定理可得关于a和b的等式，解之即可得出结论； （2）如图，延长交于点E．可证，可得，由，可得，则，，根据，求出x的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①在正方形中，， 在中，， ∴； ②如图，延长至点E，使，连接， 在正方形中，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ，即， 在和中， ， ∴， ， ∵， 设，则． ∴， 在中，， ∴， ， ∵， ，即， ∴的值为4； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点E． ∵， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ， 设，则， 即， 解得：， 即， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $