第21章 一元二次方程概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学“一元二次方程”知识清单系统梳理了第21章核心内容，涵盖概念、解法、判别式、根与系数关系及应用五大知识范畴，搭建了从“定义理解”到“解法选择”再到“实际应用”的递进式学习支架。 清单通过“章节分类+概念分层”呈现知识体系，如将解法细分为因式分解法等五种并标注适用场景，培养运算能力与模型意识。设“相关概念”栏关联易混点，如“根与方程的解”，还提示“判别式应用需保证二次项系数非0”，助力学生高效自主复习，教师可据此精准教学。

第21章 一元二次方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 21.1 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫作一元二次方程。判断时需满足三个条件：只含一个未知数、最高次数为 2、是整式方程（整理后二次项系数不为 0）。 整式方程；未知数；最高次数 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （、、 为已知数，）。其中 叫二次项， 是二次项系数； 叫一次项， 是一次项系数； 叫常数项。解方程或求系数前，通常先通过去括号、移项、合并同类项把方程化为一般形式。 二次项系数；一次项系数；常数项 一元二次方程的根 使方程 （）成立的未知数 的值，叫作这个一元二次方程的解（实数解），也叫作根。判断一个数是不是方程的根，依据根的定义，把未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等。 方程的解；代入检验；实数根 21.2 一元二次方程的解法 因式分解法 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于 0 的形式，即 ，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题。依据是：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0，反之也成立。因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程（如缺常数项、易分解的方程）；注意不能两边同除以含未知数的因式，否则会失根。 因式分解；两个因式的积为零；降次 直接开平方法 利用平方根的定义，对形如 或 的方程两边直接开平方求解：当 时，方程有两个不相等的实数根 ；当 时，有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。把 看成一个整体（换元思想）即可解 型方程。 平方根；整体思想；降次 配方法 给 加上一次项系数一半的平方 配成完全平方式的过程简称“配方”；通过配方把方程化为 的形式，再用直接开平方法求解的方法叫作配方法。一般步骤：移项（常数项移到右边）→ 二次项系数化为 1 → 两边同加上一次项系数一半的平方 → 配成完全平方式 → 开平方求解。 完全平方式；配方；直接开平方法 求根公式与公式法 用配方法解一般形式的一元二次方程 （），当 时，方程的两个实数根为 ，这个式子叫作一元二次方程的求根公式；当 时，，即方程有两个相等的实数根（重根）。先化成一般形式，确定 、、 的值后代入求根公式求解的方法称为公式法，公式法适用于所有的一元二次方程。 求根公式；配方法推导；重根 解法的选择 解一元二次方程时应根据方程的特点选择适当的方法：缺一次项（形如 ）或含完全平方式时用直接开平方法；易因式分解或缺常数项时用因式分解法；二次项系数不为 1 时可先化为 1 再配方；公式法对所有一元二次方程都适用。各种方法的实质都是“降次”，把二次方程转化为一次方程。 降次；转化思想；因式分解法；配方法；公式法 21.3 一元二次方程的判别式 判别式的概念 一元二次方程 （）的根的情况完全由系数 、、 确定，把 叫作这个一元二次方程的判别式，通常用符号 表示，记作 。利用判别式，可以不解方程就能判断方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。 ；不解方程；根的情况 判别式与根的情况 对一元二次方程 （）：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。上述判断反过来也是正确的，即由根的情况可以确定 的符号，常用于由方程根的情况求字母参数的取值范围或证明方程根的情况（注意须保证二次项系数不为 0）。 两个不相等的实数根；两个相等的实数根；无实数根；含参数讨论 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理（根与系数的关系） 如果一元二次方程 （）的两个实数根分别是 、，那么 ，，即两根之和等于一次项系数与二次项系数之商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之商。 两根之和；两根之积；韦达定理 韦达定理的应用 不解方程可求两根之和与两根之积；已知一根可求另一根及方程中的待定系数；还可求与两根有关的对称代数式的值，如 ，，。使用时方程须化成一般形式，且必须满足 （有实数根）这一前提。 对称式求值；待定系数； 前提 21.5 一元二次方程的应用 实数范围内二次三项式的因式分解 设一元二次方程 的两个实数根是 、，则 。因此，若 ，可用求根公式求出两根，从而在实数范围内把二次三项式 因式分解；若 ，则该二次三项式在实数范围内不能因式分解。 求根公式；根与系数的关系；分解条件 列方程解应用题 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题（弄清题意和已知量、未知量）、设未知数、找等量关系列出方程、解方程、检验（根是否符合方程及是否符合实际意义，不符合的舍去）、作答。常见类型：面积（几何）问题、增长率（降低率）问题 、销售利润问题（利润＝单个利润×销售量）、比赛场次问题 、行程问题 、工程问题等。 等量关系；检验实际意义；增长率问题；利润问题；行程问题 可化为一元二次方程的分式方程 去分母后所得整式方程是一元二次方程的分式方程，其求解步骤与解可化为一元一次方程的分式方程类似：方程两边同乘最简公分母去分母，化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，再把根代入原分式方程检验。去分母时两边同乘的代数式可能为 0，因此可能产生增根，增根必须舍去；检验时既要看是否为增根，也要看结果是否符合实际意义。 分式方程；去分母；增根；验根 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $