第21章 一元二次方程概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪教版五四制八年级上册

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概念

定义或说明

相关概念

21.1 一元二次方程的概念

一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫作一元二次方程。判断时需满足三个条件：只含一个未知数、最高次数为 2、是整式方程（整理后二次项系数不为 0）。

整式方程；未知数；最高次数

一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是 （、、 为已知数，）。其中 叫二次项， 是二次项系数； 叫一次项， 是一次项系数； 叫常数项。解方程或求系数前，通常先通过去括号、移项、合并同类项把方程化为一般形式。

二次项系数；一次项系数；常数项

一元二次方程的根

使方程 （）成立的未知数 的值，叫作这个一元二次方程的解（实数解），也叫作根。判断一个数是不是方程的根，依据根的定义，把未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等。

方程的解；代入检验；实数根

21.2 一元二次方程的解法

因式分解法

通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于 0 的形式，即 ，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题。依据是：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0，反之也成立。因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程（如缺常数项、易分解的方程）；注意不能两边同除以含未知数的因式，否则会失根。

因式分解；两个因式的积为零；降次

直接开平方法

利用平方根的定义，对形如 或 的方程两边直接开平方求解：当 时，方程有两个不相等的实数根 ；当 时，有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根。把 看成一个整体（换元思想）即可解 型方程。

平方根；整体思想；降次

配方法

给 加上一次项系数一半的平方 配成完全平方式的过程简称“配方”；通过配方把方程化为 的形式，再用直接开平方法求解的方法叫作配方法。一般步骤：移项（常数项移到右边）→ 二次项系数化为 1 → 两边同加上一次项系数一半的平方 → 配成完全平方式 → 开平方求解。

完全平方式；配方；直接开平方法

求根公式与公式法

用配方法解一般形式的一元二次方程 （），当 时，方程的两个实数根为 ，这个式子叫作一元二次方程的求根公式；当 时，，即方程有两个相等的实数根（重根）。先化成一般形式，确定 、、 的值后代入求根公式求解的方法称为公式法，公式法适用于所有的一元二次方程。

求根公式；配方法推导；重根

解法的选择

解一元二次方程时应根据方程的特点选择适当的方法：缺一次项（形如 ）或含完全平方式时用直接开平方法；易因式分解或缺常数项时用

降次；转化思想；因式分解