22.1.1直角三角形的性质学案2025-2026学年沪教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦直角三角形性质，涵盖两锐角互余、斜边中线性质、含30°锐角性质及逆定理。通过课前预习填空与检测题搭建基础，课堂以定理证明探究和例题交流为支架，衔接前后知识。 资料特色在于注重定理推导过程，如用同一法、反证法探究证明培养推理意识，结合滑雪高度等实际情境问题发展应用意识，分层练习设计帮助学生构建知识体系，提升抽象能力与几何直观，适合自主学习与教学评估。

22.1.1直角三角形的性质 1、 学习目标 1. 理解直角三角形两锐角互余的性质定理及逆定理； 2. 理解直角三角形斜边上中线的性质定理及逆定理； 3. 理解含有30o锐角的直角三角形的性质和判定； 2、 课前预习 1.预习课本P109-111完成下列任务： （1）定理 直角三角形的两个锐角______. 判定定理： _________________的三角形是直角三角形. （2）定理 直角三角形斜边上的中线____________________ 逆定理： _________________________的三角形是直角三角形. （3）性质 直角三角形中，30o锐角所对的直角边_____________. 2.预习检测 （1）若直角三角形的两个锐角相差20°,则这两个锐角分别等于_____________. （2）在Rt△ABC中，∠C=90°,如果∠A=36°,那么∠B=____. （3）在Rt△ABC中，ZC=90°,∠B=30°,如果AC=5cm,那么AB=___· （4）在Rt△ABC中，∠C=90°,周长为48 cm,若三边长之比a:b:c=3:4:5,则斜边上的中线为______ （5）如图，已知△ABC的三个内角之比为∠B:∠C:∠A=1:1:2,若AD=BD,则∠CBD=______. 3、 课堂学习 1. 两锐角互余 定理：直角三角形的两个锐角互余； 逆定理： 两个锐角互余的三角形是直角三角形. 交流预习情况： （1）若直角三角形的两个锐角相差20°,则这两个锐角分别等于_____________. （2）在Rt△ABC中，∠C=90°,如果∠A=36°,那么∠B=____. 2. 斜边中线 （1）探究——定理的证明： 如图，已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.求证： 方法（1）——同一法 方法（2）——反证法 （2）探究——逆定理的证明： 例1 如图，已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且，求证：△ABC是直角三角形. 定理： 直角三角形斜边上的中线____________________ 逆定理： _________________________的三角形是直角三角形. 3. 含30o锐角的直角三角形 例2如图,已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°.求证：BC=AB. 总结：直角三角形中，30o锐角所对的直角边_____________. 交流预习题3-5 4. 直角三角形的判定 例3 已知：如图，BD⊥AC,E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G,∠1=∠2，求证：△CGE是直角三角形。 总结：两锐角互余是判定直角三角形最常见的思路 练习： 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB。找出所有互余的角。 2.在△ABC中，∠A=90°,∠B=3∠C。则∠B=______,∠C=______。 3.已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm,求斜边AB=_____。 4.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B,已知AB=200 m。问：这名滑雪运动员的高度下降了_____米? 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AB=1.5,D为斜边AB的中点，连结CD。求AC,CD的长。 6.如图，已知D为线段AB的中点，EA⊥AB,CB⊥AB,垂足分别为A、B,AE=AB=2BC,那么下列结论中不正确的是( ) A.DE=AC; B.∠E+∠C=90°; C.∠CAB=30°; D.∠EAF=∠ADE. 7.如图，已知：在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,E、F分别是边AB、AC的中点，且DE=DF.求证：AB=AC. 8.如图，已知：BD、CE分别是△ABC的高，M、N分别是BC、DE的中点.求证：MN⊥ED. 4、 课后练习 1.根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。 (1)∠B=50°,∠C=40°; (2)∠B=∠C=45°; (3)∠A,∠B,∠C的度数比为5:3:2。 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠1=∠C,求∠B,∠C,∠BAC的度数。 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°,求∠A,∠B的度数。 4.如图，已知AD⊥BD,AC⊥BC,E为AB的中点。试判断DE与CE是否相等，并给出证明。 5.已知如图，点A,B,D在同一条直线上，∠A=∠D=Rt∠,AC=BD,∠1=∠2。求证：△BEC是等腰直角三角形。 6.如图，已知：∠ABC=∠ADC=90°,M、N分别是AC、BD的中点.求证：MN⊥BD. 学科网（北京）股份有限公司 $