第21章 一元二次方程（知识清单）数学沪教版五四制2024八年级上册

第21章 一元二次方程 知识点01：一元二次方程 1. 一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 知识点02：解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2.直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如的形式求解． 3.配方法 先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 配方法的理论依据是完全平方公式：． 配方法解一元二次方程一般步骤 1 先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 2 移项：把常数项移到方程右边； 3 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成的形式； 4 当时，用直接开平方的方法解变形后的方程． 4.公式法 一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式． 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 知识点03：判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点04：根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05：二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点06：可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点07：应用一元二次方程解决实际问题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 易错点1. 忽略一元二次方程的概念中 a ≠0 【例1】（24-25八年级上·上海崇明·期中）下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，是一元二次方程，故符合题意； B．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是关于x的一元二次方程，则 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23八年级上·上海·期中）方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．的值无法确定． 【答案】B 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得，， ∴， 故选：． 【变式1-3】（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得， 故答案为：6． 易错点2. 解一元二次方程中出错 【例2-1】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【答案】，． 【详解】解：， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，． 【例2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【答案】， 【详解】解：， ， ， ，． 【例2-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【例2-4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解方程： 【答案】， 【详解】解：， 去括号得， 即， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【例2-5】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）解方程： 【详解】解： 方程两边同时乘以，得， 整理，得， 解这个整式方程，得，， 检验：当时，， 当时，， 可知是增根，舍去， 所以，原方程的根是． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程 【答案】，． 【详解】解：， 整理得， 开方得， 解得，． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】 【详解】解： 即 ∴ ∴ ∴ 解得： 【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ，． 【变式2-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ， ∴， ∴或， ∴． 【变式2-5】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解： 去分母得： 去括号，移项得： ∴ ∴或， ∴，； 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为． 易错点3. 在一元二次方程根的判别式中忽略 a ≠0 【例3】（22-23八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 【变式3-1】（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根 (1)求m的取值范围； (2)请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根. 【详解】（1）解：根据题意，得且， 解得且； （2）解：m满足条件的最小整数值，则原方程化为， ∴， ∴， ∴，． 【变式3-2】关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， 且，即且， 解得且， k的取值范围为且； （2）解：方程有两个相等的实数根， ， ， 代入方程得，， 解得． 易错点4.一元二次方程实际应用中出错 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 【详解】解：设这个车棚的宽为米，则这个车棚的长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：这个车棚的长是15米，宽是6米． 【变式4-1】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【变式4-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【变式4-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、整理后为不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：； 故选B． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为零，则m的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．0 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为零， 把代入得到，， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令， 解得：， 所以， 故选：A． 5．（24-25八年级上·上海·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海·期中）方程的解是 ． 【答案】或 【详解】解： ， ， 或， 解得：，， 故答案为：或 8．（24-25八年级上·上海·期中）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 9.（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 【答案】 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 12.（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 ． 【答案】， 【详解】解：∵关于x的方程的两个根为，， ∴，， ∴，， ∴关于y的方程化为， 即， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 14.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·上海·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为 ． 【答案】或 【详解】解： 又由，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可得: 整理得：，解得：或， 经检验或是原方程的解, 故答案为：或． 三、解答题 17．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 【详解】解： ，，， ， ， ， 18．（24-25八年级上·上海松江·期末）解方程：． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 19．（24-25八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【详解】解：去分母，得：． 即． ∴ ∴或． ∴，． 20．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程： 【答案】 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘，得 整理得 即 移项得 因式分解得 解得 检验：当时；当时 所以原方程的根是 21．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 【详解】解：①当a、b是腰时，则， ∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴该方程为， 解得：， ∴， ∵， ∴不能组成三角形； ②当为腰时， ∴是其中一根， 设另外一根为， ∴，， 解得：，或，， ，，或，，能组成三角形， 综上所述，为或时，是等腰三角形． 22．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 24．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 【详解】（1）解：设款的进货单价为元，则款的进货单价为元， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款的进货单价为元，款的进货单价为元； （2）解：设款购进个，总利润为元， 由题意得，， ∵款的数量不小于款的一半， ∴， 解得， ∵， ∴当取最小值时，取最大值， ∵为整数， ∴的最小值为， 即款数量购进个时，小洋获得的总利润最高，最高利润元． 25．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 26．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程 知识点01：一元二次方程 1. 一元二次方程的概念： 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析：判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中 叫作二次项， 是二次项系数； 叫作一次项， 是一次项系数； 叫做常数项． 知识点02：解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解，把一元二次方程化成 等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1） （2） （3） （4） 2.直接开平方法 如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如 的形式求解． 3.配方法 先把方程中的 移到方程 ，把 配成 ，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 配方法的理论依据是完全平方公式：． 配方法解一元二次方程一般步骤 （1） （2） （3） （4） 4.公式法 一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式． 用公式法解一元二次方程一般步骤 （1） （2） （3） （4） 知识点03：判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有 的实数根； 当时，方程有 的实数根； 当时，方程 实数根． 知识点04：根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得 这是一元二次方程根与系数的关系 知识点05：二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点06：可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤： （1） （2） （3） （4） （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： （1） （2） 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点07：应用一元二次方程解决实际问题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 易错点1. 忽略一元二次方程的概念中 a ≠0 【例1】（24-25八年级上·上海崇明·期中）下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知是关于x的一元二次方程，则 【变式1-2】（22-23八年级上·上海·期中）方程是关于的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．的值无法确定． 【变式1-3】（22-23八年级上·上海宝山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 易错点2. 解一元二次方程中出错 【例2-1】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【例2-2】（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【例2-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【例2-4】（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）解方程： 【例2-5】（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）解方程： 【变式2-1】（23-24八年级上·上海·阶段练习）解方程 【变式2-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）用配方法解方程：． 【变式2-3】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：． 【变式2-4】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解方程 (1)； (2) 【变式2-5】（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 易错点3. 在一元二次方程根的判别式中忽略 a ≠0 【例3】（22-23八年级上·上海静安·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【变式3-1】（22-23八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根 (1)求m的取值范围； (2)请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根. 【变式3-2】关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解． 易错点4.一元二次方程实际应用中出错 【例4】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如图，小区要建一个面积为90平方米的长方形车棚，分别停放自行车和电瓶车，为节约材料，车棚一边靠着原有的一堵墙，墙长16米，另三边用木栏围起，车棚开两扇1.5米的小门．已知木栏材料总长30米，且正好用完，求这个车棚的长和宽分别是多少米？ 【变式4-1】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【变式4-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【变式4-3】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列关于的方程中，一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的一元二次方程有一根为零，则m的值为（   ） A．或3 B．3 C． D．0 4．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）将二次三项式在实数范围内分解因式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海·期中）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·上海·期中）方程的解是 ． 8．（24-25八年级上·上海·期中）方程的解为 ． 9.（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）2023年工厂的生产总值为1000万元，估计2025年三年的生产总值之和为3333万，设这两年的平均增长率为，请列出方程： ． 11．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 12.（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 13．（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的方程的两个根为，，那么关于的方程的两个根为 ． 14.（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 15．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 16．（24-25八年级上·上海·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 18．（24-25八年级上·上海松江·期末）解方程：． 19．（24-25八年级上·上海普陀·期末）解方程：． 20．（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）解方程： 21．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 22．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 23．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 24．（24-25八年级下·上海·期中）随着电影《哪吒魔童闹海》的热映，周边玩偶热销．小洋经营的线上周边专卖店销量激增，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶多元，花元购进款哪吒玩偶的数量比花元购进款哪吒玩偶的数量少个． (1)问：、两款玩偶的进货单价分别是多少元？ (2)小洋准备要投入元购进两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，于是他决定将款玩偶的销售单价定为元，将款玩偶的销售单价定为元，如果所有玩偶都按定价全部卖出，请你根据计算说明，当款数量购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少元？ 25．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 26．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$