第22章 直角三角形概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪教版五四制八年级上册

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定义或说明

相关概念

22.1 直角三角形

直角三角形的概念与基本性质

有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。直角所对的边叫作斜边，其余两边叫作直角边。直角三角形的两个锐角互余，即若 ，则 ；斜边大于任意一条直角边。

直角；斜边；直角边；互余角

直角三角形中边与角的关系

在直角三角形中，锐角的对边与邻边具有相应的大小关系：较大的锐角所对的直角边较长；斜边是三边中最长的边。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；若斜边上的中线长为 ，则斜边长为 。

锐角；对边；邻边；斜边上的中线

直角三角形全等的判定（HL）

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。也就是说，在两个直角三角形中，若斜边及一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。

全等三角形；斜边；直角边；HL判定

利用直角三角形全等证明线段或角相等

证明两个直角三角形全等时，先确认两个直角，再寻找斜边和一条直角边分别相等的条件；由全等三角形的对应边、对应角相等，可推出所需的线段或角相等。

对应边；对应角；全等三角形的性质

22.2 角平分线

角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线。若射线 平分 ，则 。

角平分线；相等的角；角的顶点

角平分线的性质

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。若点 在 的平分线上，且 、，则 。

点到直线的距离；垂线段；直角三角形全等

角平分线性质的逆定理

在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。若点 在 的内部，且点 到 、 的距离相等，则 平分 。

逆定理；角的内部；距离相等

三角形角平分线的交点

三角形的三个内角的平分线相交于一点，这一点叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等；反之，三角形内部到三边距离相等的点就是三条内角平分线的交点。

内心；三角形内角平分线；到三边的距离

22.3 勾股定理

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角边长分别为 ，斜边长为 ，则 。

直角三角形；直角边；斜边；平方和

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长 满足 （其中 为最大边），那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角是直角。

逆定理；最大边；直角的判定

勾股数

满足 的三个正整数 叫作一组勾股数。勾股数可以用来构造直角三角形，例如 3,4,5 和 5,12,13；将一组勾股数同时乘以同一个正整数，所得三数仍为勾股数。

正整数；3-4-5；5-12-13；直角三角形的构造

等腰直角三角形的边长关系

在等腰直角三角形中，若两条直角边长均为 ，则斜边长为 ；若斜边长为 ，则每条直角边长为 。

等腰直角三角形；直角边；斜边

勾股定理在实际问题中的应用

在实际问题中，先根据题意建立直角三角形，确定已知边和所求边，再运用 或其变形求边长；涉及面积时，可结合三角形面积公式 。

建模；距离；高度；最短距离；三角形面积