专题03 一元二次方程（5知识7题型4易错）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题03 一元二次方程（5知识&7题型&4易错） 【清单01】一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 定义解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【清单02】解一元二次方程 1.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 2.开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 3.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4.配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 5.公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 6.换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【清单03】一元二次方程的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【清单05】一元二次方程的应用 一、二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 二、可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 三、列方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　 （1）增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 （2）握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 （3）利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． （4）几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． （5）动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 【题型一】一元二次方程的概念 【例1-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【例1-3】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是 【例1-4】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 【例1-5】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是 ． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【变式1-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则 ． 【题型二】解一元二次方程 【例2-1】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【例2-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）阅读下面的例题：解方程． 解：当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）， 原方程的根是， 请参照例题解方程：． 【例2-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-1】（因式分解法）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程： 【变式2-2】（直接开平方法）（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【变式2-3】（换元法）（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 【变式2-5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得 ． 【变式2-6】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 【变式2-7】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【变式2-8】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【题型三】一元二次方程根的判别式 【例3-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【例3-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若一元二次方程 满足 ，则下列说法正确的是（     ） A．方程一定有两个不相等实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【变式3-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【变式3-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的一元二次方程 ． (1)说明原方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求实数的取值范围． 【题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【例4-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实效根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【例4-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【题型五】二次三项式因式分解 【例5-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在实数范围内因式分解： ． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果二次三项式在实数范围内能因式分解．则的取值范围是 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 【题型六】可化为一元二次方程的分式方程 【例6-1】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【例6-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【例6-3】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海松江·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 【题型七】一元二次方程的实际应用 【例7-1】（增长率问题）（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（握手、循环赛问题）（24-25七年级上·上海·阶段练习）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了15场比赛，设八年级共有个班级，那么列出方程是 ． 【例7-3】（动态几何问题）（24-25八年级上·上海·月考）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【例7-4】（传播问题）（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【例7-5】（行程问题）（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【例7-6】（分式方程的工程问题）（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【例7-7】（营销问题）（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【例7-8】（与立体图形有关的问题）（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【例7-9】（与平面图形有关的问题）（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·月考）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·月考）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 【变式7-3】（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【变式7-4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是 人． 【变式7-5】（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有 人． 【变式7-6】（24-25八年级上·上海·月考）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【变式7-7】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【变式7-8】（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【变式7-9】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【变式7-10】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【题型一】一元二次方程解法的常见错误 1．（利用公式法解方程忘记化一般式致错）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 2．（配方出错）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①．    ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是     ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 【题型二】利用根的判别式忽略二次项系数不为0而出错 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 【题型三】利用判别式与根与系数关系解决等腰三角形问题时忘记分类讨论而出错 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程．若为等腰角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【题型四】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 10．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（5知识&7题型&4易错） 【清单01】一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 定义解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【清单02】解一元二次方程 1.因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 2.开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 3.配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 4.配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 5.公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 6.换元法 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 【清单03】一元二次方程的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【清单04】一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【清单05】一元二次方程的应用 一、二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 二、可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 三、列方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　 （1）增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 （2）握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 （3）利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． （4）几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． （5）动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 【题型一】一元二次方程的概念 【例1-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 【例1-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 【例1-3】（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是 【答案】 【详解】解：由题意，设所求一元二次方程为； 将代入方程得：， 解得：． 则方程为：； 故答案为：． 【例1-4】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 【例1-5】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】25 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵该方程的一次项系数是， ∴设一元二次方程为 ， ∵方程的一个根是1， ∴， ∴， 取，则， ∴方程为， 故答案为：（答案不唯一） 【变式1-3】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 【题型二】解一元二次方程 【例2-1】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 所以，； （4）解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 【例2-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）阅读下面的例题：解方程． 解：当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）， 原方程的根是， 请参照例题解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程解法、解含绝对值的方程．参照例题方法，根据绝对值内表达式 的符号分情况讨论，转化为一元二次方程求解，并验证解是否符合取值范围． 【详解】解：①当 时，即 ， 原方程化为 ， 解得 ， ∵ ， ∴ 不合题意，舍去； 符合题意， ②当 时，即 ， 原方程化为 ， 解得 ， ， ∵ ， ∴ 不合题意，舍去； 符合题意， ∴ 原方程的根是，． 【例2-3】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 【变式2-1】（因式分解法）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程： 【答案】， 【详解】解：， 分解因式可得：， 整理可得：， 可得：或， 解得：，． 【变式2-2】（直接开平方法）（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【答案】， 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 【变式2-3】（换元法）（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， 或， 解得； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解： ， 解得． 【变式2-5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-6】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为 ． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 【变式2-7】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 【变式2-8】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型三】一元二次方程根的判别式 【例3-1】（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 【例3-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列关于的方程必有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断其是否恒非负，只有选项C的判别式恒大于零，因此必有实数根． 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 【例3-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．由于一元二次方程有两个实数根，需满足二次项系数不为零，且判别式大于等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 即，， 解得且， 故答案为：且． 【变式3-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列关于的方程中，有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【详解】解：A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若一元二次方程 满足 ，则下列说法正确的是（     ） A．方程一定有两个不相等实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，结合条件，分析Δ的符号即可确定根的情况． 【详解】由题意，方程 满足 ，即a与c异号． 则． 因此，． 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， ∴最小的整数值为1， 故答案为：1． 【变式3-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ． 【答案】方程有两个实数根 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可． 【详解】解：当，时，方程有两个实数根； 故答案为：方程有两个实数根． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的一元二次方程 ． (1)说明原方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求实数的取值范围． 【答案】(1)理由见详解 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的分布，根的判别式及一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答． （1）要证明原方程恒有两个实数根，只要计算出该方程的根的判别式不小于零即可，代入数据计算的值，即可证明结论成立； （2）先求出题目中方程的两个根，然后根据方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，可以得到关于m的不等式组，然后解答即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原方程一定有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5， ∴或， 解得：或． 【题型四】一元二次方程根与系数的关系 【例4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 【例4-2】（25-26八年级上·上海青浦·期中）已知关于的方程． (1)若方程有实效根，求的取值范围． (2)若、是方程的两个根，且，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得． 又， 故． 【例4-3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：， ，则，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：由（1）得：， ，则， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）一元二次方程的两根是．则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值．首先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将所求分式通分，利用代数恒等变形，代入已知值计算． 【详解】解：一元二次方程的两根为， 由根与系数的关系，得 其中， ∴原式 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程的两个根分别为． (1)是这个方程的解吗？请说明理由； (2)与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)负数，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海静安·期中）已知实数m满足， (1)如果实数n满足，且，求 的值； (2)如果实数s满足，且．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． （1）由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； （2）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． （2）解：把两边同时除以， 得． 又 ∵， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ， ． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【答案】(1) (2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析 (3)；原方程的根为和 【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． （1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）解：方程的一个解为3， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． 【题型五】二次三项式因式分解 【例5-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【例5-2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式和解一元二次方程，先求出方程的根，再分解因式即可．能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 【详解】解：， 此时，，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，分解的因式一般要分解分到无理数为止．本题中利用二次三项式进行因式分解即可． 【详解】当， ， ， ， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果二次三项式在实数范围内能因式分解．则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由二次三项式在实数范围内可以因式分解，可得是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 【详解】解：二次三项式在实数范围内可以因式分解， ∴是一元二次方程且在实数范围内有解， 且， 解得且， 则的取值范围是且， 故答案为：且． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·阶段练习）在实数范围内因式分解： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． （1）首先令，利用公式法即可求得此关于的一元二次方程的解，继而可将此多项式分解； （2）令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：令，则式子可化为， 令， 则， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【题型六】可化为一元二次方程的分式方程 【例6-1】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义的条件，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，解得：且； 故答案为：且． 【例6-2】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解可化成一元二次方程的分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验下结论即可． 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得， ， 解得， 检验，当时，，不是方程的解； 当时，，是方程的解； ∴原分式方程的解为． 【例6-3】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【答案】， ；， 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即；为一元二次方程，即，分别求解即可． 【详解】解：两边同乘， 得， 整理得：， 若，即，则，解得：； 若，由题意，知， 解得， 当时，； ∴综上可得：， ；，． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海松江·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 两边都乘以得，， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵分式方程的解为正实数， ∴且， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 【答案】且或且 【分析】本题主要考查了分式方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，解题的关键是熟练掌握相关内容．根据方程根的情况确定判别式的取值范围，从而得出参数的取值范围． 【详解】解：原方程两边同时乘以得，， 整理得，， ． 关于的方程有两个不同的实数解， ， 即， ， 解得，或， 又， 即且， ， 化简整理得，， 且． 综上，的取值范围是且或且． 【题型七】一元二次方程的实际应用 【例7-1】（增长率问题）（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得， ， 故选：C． 【例7-2】（握手、循环赛问题）（24-25七年级上·上海·阶段练习）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了15场比赛，设八年级共有个班级，那么列出方程是 ． 【答案】 【详解】解：设共有x个班参赛，根据题意，得， 故答案为：． 【例7-3】（动态几何问题）（24-25八年级上·上海·月考）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 【例7-4】（传播问题）（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【例7-5】（行程问题）（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【例7-6】（分式方程的工程问题）（22-23八年级下·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【例7-7】（营销问题）（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 【例7-8】（与立体图形有关的问题）（25-26八年级上·上海嘉定·期中）有一张边长为10cm的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子．如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 【例7-9】（与平面图形有关的问题）（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； （2）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·月考）我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为 ． 【答案】 【详解】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·月考）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 【答案】 【详解】解：设存款利率为，则第一年提取200元后存款为， 根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 【变式7-4】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是 人． 【答案】50 【详解】解：设学生人数为n， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴这个班的学生人数是人， 故答案为：50． 【变式7-5】（25-26八年级上·上海·期中）某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有 人． 【答案】10 【详解】解：设小组共有n人， 根据题意得，总照片数为 解得或（不符合题意，舍去）， ∴小组共有10人． 故答案为：10． 【变式7-6】（24-25八年级上·上海·月考）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 【变式7-7】（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 【变式7-8】（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)与墙垂直的边的长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 【变式7-9】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 【变式7-10】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1)①见解析；② (2)1，3，3，1， 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意作图如下： ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 【题型一】一元二次方程解法的常见错误 1．（利用公式法解方程忘记化一般式致错）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 2．（配方出错）（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）解：， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）整理易错题是一种很好的学习习惯，小海和小华同学就把自己这段时间里容易做错的题目进行了收集整理，还分享给对方学习，想通过这种方式一起进步： 小海分享的题目：下列从左到右的变形正确的有_____． ①．    ②． 小华同学回答：①②都正确． 小华分享的题目：下列解法和变形错误的有_____． ①．方程的解是     ②． 小海同学回答：①②都错误． 请你判断一下，小海和小华谁的解答不正确，帮其订正一下，并说明理由． 【答案】小华的解答不正确．理由见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，解一元二次方程，因式分解等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． 小华对小海分享的题目判断错误，因未考虑变形成立的条件；小海对小华分享的题目判断正确．需帮小华订正其错误判断． 【详解】解：小海分享的题目： ①由等式左边得：， ∴且， ∴，即①正确； ②由等式左边得： 和 ， ∴同号， 当，时，， 当，时，， ∴且，等式成立；当，时，等式不成立， ∴②错误． ∴小华回答“①②都正确”不准确，需附加条件． 小华分享的题目： ①方程 的解为或， ∴仅说错误． ② 与 不相等， 例如时，左边，右边， ∴等式都错误． ∴小海回答“①②都错误”正确． 综上，小华的解答不正确． 【题型二】利用根的判别式忽略二次项系数不为0而出错 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，不符合题意， 当时，方程没有实数根， ∴， 解得； 当时，方程化为， 解得，方程有一个根； 当且时，， 此时方程有两个不相等的实数解． ∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)先化简，再求值：，其中m为（1）中取值范围内的最小整数解，n是原方程的正根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，二次根式的化简求值． （1）根据根的判别式大于零且二次项系数不等于零列式求解即可； （2）先根据二次根式的运算法则把所给代数式化简，再求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且． （2）解：原式= ， ∵m为（1）中取值范围内的最小整数解， ∴， ∴， 解得， ∵n是原方程的正根， ∴， ∴． 【题型三】利用判别式与根与系数关系解决等腰三角形问题时忘记分类讨论而出错 6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是 ． 【答案】3或4 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系的应用，根据根与系数的关系，方程两根之和为4，两根之积为．分两种情况讨论：当3为底边时，两腰相等且为方程根，求；当3为腰时，另一腰为3，底边为方程另一根，求．并验证三角形三边存在条件． 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程．若为等腰角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程与几何的应用，求出判别式的符号，推出是方程的一个解，代入方程求出的值，进而求出方程的另一个解，求出的周长即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴是方程的一个解， ∴， 解得，， 当时，，解得， ∴等腰三角形的三边为，周长为； 当时，，解得， ∴等腰三角形的三边为，周长为； 综上：的周长为或． 8．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于方程. (1)如果方程只有一个实数根，求的值，并求出此时方程的根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的值和的周长. 【答案】(1)时，根为；时，根为． (2)，周长为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的性质，熟练掌握方程根的情况与判别式的关系及等腰三角形的三边关系是解题的关键． （1）分方程是一元一次方程和一元二次方程且判别式为0两种情况，求m的值并解方程的根； （2）分a为腰和a为底两种情况，结合方程根的情况求m的值和三角形周长． 【详解】（1）解：当时，方程化为， 解得． 当时，方程化为， ， 解得． 此时方程为，即 ， 解得． 综上，时，根为；时，根为． （2）解：当为腰时， 把代入方程， 得， 解得． 方程为，即， 解得， ． 周长为． 当为底时，方程有两个相等实根，由（1）知，方程根为，但，不满足三角形三边关系，舍去． 综上，，周长为． 【题型四】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 10．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在． 【详解】（1）解:由题意得，且， 解得， 的取值范围为且； （2）不存在． 由根与系数的关系得，，， 解得， 由（1）得，， 满足条件的值不存在． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $