第19章 实数概念清单速记表（知识清单）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学“实数”单元知识清单系统梳理了第19章核心内容，涵盖平方根与立方根的概念及数值规律，实数的分类、与数轴的对应关系、运算及科学记数法等知识范畴，为学生搭建了从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 清单采用“概念-定义-相关概念”三级呈现方式构建知识体系，如“平方根与算术平方根”明确区分定义及表示方法，“实数与数轴”突出一一对应关系，培养学生的抽象能力和运算能力。特别标注重难点如“负数没有平方根”“实数与数轴一一对应”，并附数值规律应用提示，不同层次学生可高效复习，教师可据此设计针对性教学，提升课堂效率。

第19章 实数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 19.1 平方根与立方根 平方根与算术平方根 如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么 叫作 的平方根（也称二次方根）， 叫作被开方数。求一个数的平方根的运算叫作开平方。正数有两个平方根，它们互为相反数；其中正的平方根叫作这个数的算术平方根，记作 。正数 的两个平方根记作 。0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。 时， 表示 的算术平方根；；；负数不能进行开平方运算 立方根 如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么 叫作 的立方根（也称三次方根）， 叫作被开方数。求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方根记作 。任何一个实数都有且只有一个立方根；正数的立方根为正数，0 的立方根为 0，负数的立方根为负数。 ；； 平方根、立方根的数值规律 被开方数的小数点向右或向左移动三位时，立方根的小数点相应向右或向左移动一位；平方根的求值遵循平方数与其平方根的对应关系。 ； 19.2 实数 有理数的小数形式 有理数是能够写成分数 （ 为整数且 ）的数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数。分数化小数用分子除以分母，除法过程中余数有限，余数重复便产生循环节。 有理数 有限小数或无限循环小数；循环小数可以通过设元、移位、相减化为分数 无理数 无限不循环小数叫作无理数。无理数不能写成整数之比，也不能表示为有限小数或无限循环小数；例如 、、 等都是无理数。 不是有理数（可用互素正整数反证）；很多非完全平方数的平方根和立方根是无限不循环小数 实数的分类 有理数和无理数统称为实数。实数可分为有理数与无理数，也可分为正实数、0 和负实数；有理数还可分为正有理数、0、负有理数，无理数可分为正无理数和负无理数。 实数 = 有理数 ∪ 无理数；有理数为有限小数或无限循环小数；无理数为无限不循环小数 实数与数轴 每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点；数轴上的每一个点也都对应唯一一个实数。因此，实数与数轴上的点一一对应。正实数对应原点右侧的点，负实数对应原点左侧的点。 实数与数轴上的点一一对应；可用有理数逐步缩小范围来估计无理数的位置；若 ，则 实数的绝对值与相反数 实数 在数轴上所对应的点到原点的距离叫作 的绝对值，记作 。绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；0 的相反数是 0，非零实数 的相反数是 。 （），（）；；；数轴上两点对应实数 时，线段长为 实数的大小比较 实数的大小顺序与有理数相同：数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。负实数小于 0，0 小于正实数，负实数小于正实数；两个正实数比较绝对值，绝对值大的较大，两个负实数比较绝对值，绝对值大的反而较小。 数轴上右大左小；若 ，则 ；若 且 ，则 实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算意义，以及有理数的运算法则、运算律和运算顺序，在实数范围内同样适用。若 为实数，则加法交换律为 ，加法结合律为 ，乘法交换律为 ，乘法结合律为 ，乘法对加法的分配律为 。 正数和 0 可以开平方，任意实数可以开立方；混合运算顺序：先乘方和开平方（立方），再乘除，最后加减；无理数运算通常先利用运算法则和运算律化简 精确数与近似数 与实际数值完全相等的数是精确数；只接近实际数值、按需要取出的数是近似数。涉及无理数的运算常需取近似值，通常先适当化简，再按要求用四舍五入法确定精确到哪一位。 近似值应注明精确度或保留的小数位数；无理数的近似值可用计算器求得 科学记数法 把一个数表示成 （， 是整数或小数， 是整数）的形式，这种记数方法叫作科学记数法。当 或 时，系数中的“1”通常省略不写。 时通常表示绝对值较大的数； 时通常表示绝对值较小的数；科学记数法便于表示和计算数量级 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $