第19章 实数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 2．下列分数中，能化成有限小数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 6．已知，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 7．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 8．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（   ） A． B． C． D． 9．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 10．有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（    ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小： （用“”“”“”号填空）． 12．用科学记数法表示：（1）5400070= ；（2）-0.000063= 13．若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是 ． 14．小数化分数： ． 15．﹣的相反数是 ，﹣2的绝对值是 ，的立方根是 ． 16．实数，在数轴上的对应点可能是点 ． 17．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 18．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 20．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： . 23．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 24．将下列小数化为分数． (1) (2) (3) 25．已知的平方根为，的立方根为2. (1)求，的值； (2)若是的整数部分，求的平方根. 26．【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 27．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 28．在数学课本中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数 单元测试卷·强化卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行解答，即可． 【详解】解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，共个． 故选C． 2．下列分数中，能化成有限小数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分数的互化，小数的互化，熟知以上知识是解题的关键．根据有理数的除法的法则计算即可． 【详解】解：A、分母中含有质因数3，不能化成有限小数，不符合题意； B、分母中含有质因数3，不能化成有限小数，不符合题意； C、，能化成有限小数，符合题意； D、，分母中含有质因数3，不能化成有限小数，不符合题意； 故选：C． 3．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数与数轴上的点是一一对应的 【答案】A 【分析】依据有理数和无理数的概念回答即可． 【详解】A．无理数都是无限不循环小数，故A正确； B．无限循环小数是有理数，故B错误； C．带根号的数不都是无理数，如，故C错误； D．实数与数轴上的点一一对应，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的相关概念，熟练掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 4．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选C． 5．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C．64的立方根是 D．的算术平方根是5 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，关键是能准确地求一个数的平方根、算术平方根和立方根． 根据平方根、算术平方根和立方根的知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、负数也有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、64的立方根是4，原说法错误，故此选项不符合题意； D、∵，25的算术平方根是5，∴的算术平方根是5说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6．已知，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．幂运算的性质：1的任何次幂都是1．首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后再代值计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 7．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 8．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点B表示的数即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ． 的坐标为，B在点A的左侧， 点表示的数为． 故选：C． 9．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 10．有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（    ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，； 当时，； 当时，； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小： （用“”“”“”号填空）． 【答案】 【分析】先取两数的绝对值，再比较两数绝对值大小，进而得到这两个数的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了实数的大小的比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 12．用科学记数法表示：（1）5400070= ；（2）-0.000063= 【答案】 5.40007×106 -6.3×10-5 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】（1）5400070=5.40007×106； （2）-0.000063=-6.3×10-5. 故答案为：5.40007×106；-6.3×10-5. 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出a的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与分别是某个正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．小数化分数： ． 【答案】 【分析】有限小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；无限循环小数化为分数，用9做分母，有多少个循环数，分母就几个9，然后约分即可． 【详解】解：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查将小数化为分数．注意无限循环小数化为分数的方法． 15．﹣的相反数是 ，﹣2的绝对值是 ，的立方根是 ． 【答案】 ； 2﹣； 2． 【分析】根据相反数的求法，绝对值的性质以及立方根的求法解答即可． 【详解】的相反数是，的绝对值是，的立方根是2． 故答案为，，2． 【点睛】本题考查了实数的性质，用到相反数的求法，绝对值的性质以及立方根的求法，熟练掌握性质是解题的关键． 16．实数，在数轴上的对应点可能是点 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．根据无理数的估算可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则实数，在数轴上的对应点可能是点， 故答案为：． 17．如图是一个数值转换程序，当输入的x值为时，输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，根据流程图逐个求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 输入时， ，是有理数，再次返回输入得到是无理数输出， 故答案为：． 18．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，求解即可； （2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：0.1，10； （2）①，． 故答案为：17.32；0.01732； ②． 故答案为：560． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 【答案】②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：，， 整数   { ② ， ③， ⑥，．．．}； 分数   { ⑦，⑧，．．．}； 无理数 { ①， ④ ， ⑤ ， ．．．} 故答案为：②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤． 20．在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“>”连接． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了数轴，实数的大小比较，相反数，平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．先化简，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：， 如图所示． 由数轴可知，． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根化简后计算即可； （2）去绝对值后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题关键． 22．计算： . 【答案】8 【分析】根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）＝2×4＝8． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，正确的计算是解题的关键． 23．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程； （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）直接利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： 整理，得． ∴， 解得：或． （2）解：， ∴， ∴， ∴； 24．将下列小数化为分数． (1) (2) (3) 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （3）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】 （1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．已知的平方根为，的立方根为2. (1)求，的值； (2)若是的整数部分，求的平方根. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得，． （2）估算出的值的范围，从而求出c的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得，； （2）∵， ∴的整数部分为3，即， 由（1）知，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根为． 26．【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①，；②；；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （1）①根据大正方形面积是两个小正方形的面积和，可得大正方形的面积，根据勾股定理可得可得小正方形的对角线长； ②依据图2中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为，可得点表示的数分别为； （2）①由于大正方形的边长是小长方形的对角线，所以根据勾股定理可得大正方形的边长； ②由①可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上以原点为圆心，为半径，即可找到表示的点． 【详解】解：（1）①拼的新的大正方形的面积为， 小正方形的对角线长为， 故答案为：，； ②如图2中小正方形对角线长为， 原点与之间的距离为， 点表示的数为； 点到圆心的距离是， 点表示的数分别为， 故答案为：，； （2）①由图可知大正方形的边长为， 故答案为：； ②如图所示，以原点为圆心，小长方形对角线或直角三角形的斜边长度为半径画弧，交数轴于点，点即为所求．          或 27．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 28．在数学课本中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$