25.2 降次—解一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层覆盖解一元二次方程全知识点，从基础解法到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与思维提升，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|配方法、因式分解法等单一知识点|直接应用概念，如单选题1配方法变形、解答题15基础解方程| |中档|根与系数关系、判别式综合应用|结合几何（直角三角形面积）、实际问题（菱形边长），如填空题11、解答题18| |提升|新定义（同伴方程）、跨学科（赵爽几何法）|创新情境与逻辑推理，如填空题14“同伴方程”、解答题20几何构造解方程|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2降次—解一元二次方程》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在解一元二次方程时，运用因式分解法将其变为，即或，这个过程中蕴含的比较突出数学思想是（   ） A．类比 B．转化 C．特值 D．数形结合 3．若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．9 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．9 B． C． D．36 5．已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 6．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（） A．6 B．5 C．4 D．3 7．关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（  ） A．当方程有实数根时 B．当时，方程一定有两个不相等的实数根 C．当时，方程的实数根为， D．若，为方程的两个实数根，则有 二、填空题 8．写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程：______． 9．关于的方程有实数根，那么的取值范围为___________． 10．若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 12．关于的方程的根是均为常数，，则关于的方程的根是__________． 13．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如 ．若（为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是______． 14．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则___________． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题“”让同学们讨论，甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：原式可化为： ，当时，，当时，，，． 乙同学： 解：原式可化为： ，，，，， (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断哪位同学的解法有误______（填“甲”或“乙”），错误的原因是________________； (2)你是否还有其他解法？请写出来并与同学们交流． 17．已知关于的一元二次方程，有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 18．已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 19．定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 20．三国时期的数学家赵爽在《勾股圆方图说》中记载了构造几何图形解一元二次方程的方法，以解一元二次方程为例： 将方程写成； 如图1，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即． 所以，．易得一个正实数根． 请用构造几何图形方法解决下列问题： (1)一元二次方程的一个正实数根为 ； (2)关于的一元二次方程（为常数），在所构造的图形中大正方形的面积为81，求出该一元二次方程的正实数根及的值．（在图2虚线框中画出构造的几何图形并标出相应的边长）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的核心步骤：对于形如的一元二次方程，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再合并右边的常数项． 【详解】解：原方程为， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方为，得， 左边根据完全平方公式可化为，右边计算得， 即； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查解一元二次方程过程中蕴含的数学思想，需明确各选项中数学思想的含义，结合因式分解法的解题过程进行判断即可． 【详解】解：∵解一元二次方程时，通过因式分解将原方程转化为两个一元一次方程或， 即将一元二次方程的求解问题转化为更易解决的一元一次方程的求解问题 ∴该过程中蕴含的比较突出的数学思想是转化思想． 故选：B 3．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值． 先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； 故选：C． 4．A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，当一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式，代入方程系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得， 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键． 方法一：将已知根代入方程，求出参数的值，再解一元二次方程得到另一个根． 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根． 【详解】方法一： ∵是方程的一个实数解， ∴将代入方程得， 即， ∴ 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∴方程的另一个解为； 方法二： 设方程的另一个解为， ∵在一元二次方程（）中，两根之和为， 在方程中，，， ∴， ∴， 即方程的另一个解为． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴两根分别为和， 即两直角边长为2和3， ∴面积， 故选：D 7．B 【分析】对一元二次方程进行变形，化为的形式，可知一个数的平方大于等于零，即可求出方程有解时k的取值范围，再根据不同的k值进行方程求解． 【详解】解析：原方程可以化为，当时，方程有实数解，即． 因此当时，方程没有实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根． 当时，，，． 当时，由可以求得， 则有. 故选B． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程有解时以及一元二次方程的解法的相关知识． 8． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若方程的两根为、，则方程可表示为是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入一般式（），取即可构造出满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴两根之和，两根之积． 设一元二次方程为， ∵，， ∴，， ∴所求方程为． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式，解题关键是运用分类讨论思想解题． 方程可能为一元二次或一元一次方程，需分类讨论；当为一元二次方程时，利用判别式求参数范围． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根； 当时，方程为二次方程，有实数根时， 判别式， 解得 ； 综上，时方程有实数根． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据方程有两个实数根得出，可得或，根据两个实数根都大于列不等式组，解不等式组即可得答案． 【详解】解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 12．， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．由原方程根与系数的关系求出的值，再代入新方程求解即可． 【详解】解：原方程的根为，， 展开得， 由根与系数的关系，根之和为， 又根之和为，所以，解得． 新方程为， 代入得． 令，则方程化为， 由原方程知且， 所以或， 即或， 解得或． 故答案为：， 13．0或 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键． 将代入方程，根据定义运算得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：0或． 14．或2 【分析】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【详解】解：∵方程满足和， ∴当时，，即是方程的根； 当时，，即是方程的根， ∴方程的根为和， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程的根为和， ∴若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有相同根，满足条件； 若相同根为，则，即，此时两方程分别有根、和、，仅有共同根，满足条件， 若相同根为，则不是方程的根，不满足题意， 综上，或． 故答案为：或2． 15．(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 16．(1)乙，常数项移到方程右边时未变号 (2)解：利用公式法： ，，， ， ， ，． 【详解】（1）解：乙，常数项移到方程右边时未变号； （2）解：略 17．(1) (2)4 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据根与系数的关系得，，然后将原式变形为代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得，， ， 的值为4． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 19．(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 20．(1) (2) ；该一元二次方程的正实数根为； 【分析】（1）根据题意可得，构造边长为的大正方形，再仿照例题求解即可； （2）根据题意可得，构造边长为的大正方形，可求出大正方形的面积为，也为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 如图所示，大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴一元二次方程的一个正实数根为； （2）解：∵， ∴， ∴； 如图所示（见答案），大正方形由4个小长方形与中间的小正方形组成， 大正方形面积为，4个小长方形与正方形的面积的和为，即， ∵在所构造的图形中大正方形的面积为81， ∴，， ∴或，， ∴或， ∴该一元二次方程的正实数根为． $