25.2.3因式分解 分层训练 2026----2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以因式分解法解一元二次方程为核心，通过基础方法到综合应用的分层设计，构建从概念理解到中考实战的知识巩固路径，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|提公因式法|选择填空结合错误分析题，强化概念理解与规范运算| |进阶层|公式法、十字相乘法|几何应用（等腰三角形周长）与代数推理题，提升推理意识| |拓展层|综合应用与中考真题|日历九宫格等实际情境题，衔接测评，发展应用意识|

25.2.3 因式分解法（分层训练） 一、提公因式法因式分解解一元二次方程 1.一元二次方程的解为（    ） A． B． C．，0 D．，0 2.方程的解是（　　） A．1 B．3 C．，3 D．，3 3.方程的解为（    ） A．4 B． C．，4 D．， 4.下列一元二次方程的解法中正确的是（   ） A. , ∴ 5, , ∴，8 B．, ∴,∴， C．, ∴， D．,两边同除以，得1 5.一元二次方程的根是______． 6.小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是____． 7.一元二次方程的解为____． 8.下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步 第三步 解得第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 9.用因式分解法解下列方程： (1); (2); (3); (4). 二、公式法因式分解解一元二次方程 1.方程的根是______． 2.一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 3.我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 4.解方程： (1); (2); (3); (4) 三、 用十字相乘法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 3.一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 4.已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为________． 5.用十字相乘法解方程： （1） （2） （3） （4）(2)． 1.我们将这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是，例如，若，则（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．或 2.已知，且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 3.如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 4.阅读下面的例题：解方程， 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），． 原方程的根是，． (1)解方程； (2)解方程． 5.阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得 当时，，∴； 当时，，∴； 原方程有四个根： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到降次的目的，体现了数学的_________思想． （2）解方程： 1.（2025·贵州·中考真题）一元二次方程 的根是 ． 2.（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·江苏连云港·中考真题）解方程． 4.（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：． 5.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 6．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 25.2.3 因式分解法（分层训练）答案 一、提公因式法因式分解解一元二次方程 1.C  2.D　 3.C 4.B  5. ， 6. 0 7. ， 8.任务一：①二 方程两边同时除以可能为0的代数式，会丢失解且无意义 ②三 去括号时，括号前是负号，中的未变号 任务二：，； 9.（1）解：， ， 或， 或， 即原方程的根是，． （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴ ． （3）解： ∴， 即， ∴或， ，． （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 二、公式法因式分解解一元二次方程 1. 2.C  3. 1 4.（1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解： ， ∴ （3）解： ， ， ， 或， 解得1， （4）解： 4， ， ， 或3， 解得， 三、 用十字相乘法求解二次项系数为1的一元二次方程 1.A    2.B 3. 16 4. 3 5.（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解： ， ，， 解得，． （3） ∴， ∴， 解得：． （4）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得． 1.C  2.D   3. 或 4.（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得，（不合题意，舍去）； 原方程的根是，． （2）当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的解是，． 5.（1）换元 转化 （2）解：设， ∴原方程可变为， ∴， 解得， 当时，，即， ∵， ∴此时方程无解； 当时，，即， ∴， 解得． 1.， 2.D  3.解：， ， ， 或， ，． 4.解： ， ， 或， ，． 5. 解：， ， ， 或， ∴， 6．（1）解：①由题意可得：； ②为定值28，理由如下： 由题意可得：，，， ∴. （2）解：∵， ∴， ∴=0或11=0， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴=2不符合题意， ∴中心数为11， ∴九宫格中最大的数为11+8=19． 学科网（北京）股份有限公司 $