精品解析：河南省信阳市五校协作体2027届高三年级9月供题数学试卷

信阳市2027届五校协作体高三9月供题 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试结束后试卷、答题卡、草稿纸一律不得带出考场． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出集合和集合，再结合集合的运算即可求解. 【详解】由可得，解得，所以， 所以或， 又因为集合，所以，故C正确. 2. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出准线方程，根据抛物线的定义得出，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可得，点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，，解得. 故选：C. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 8 C. -16 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】设出公比，结合两等式左边两项的内在联系,直接求得公比，再结合所求式分子分母项的内在联系,化简成公比的乘方式，直接代入即得. 【详解】设等比数列的公比为，则，即，. 故选:C. 4. 已知为直线的方向向量，分别为两个不同平面的法向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系，结合直线的方向向量，平面的法向量的定义求解. 【详解】因为，所以，则或，故A错误； 因为，所以，所以，故B错误； 因为，所以可能平行，也可能不平行，所以或相交，故C错误； 因为，所以，所以，故D正确. 故选:D. 5. 古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后利用三角形的面积公式、向量法求得边上的中线长度. 【详解】设是的中点，连接. 依题意，在中，， 设，由余弦定理得， 所以为钝角，所以， 所以， ，两边平方得 ， 所以. 故选：D 6. 已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 7. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值. 【详解】 ， 所以，所以， 所以， . 故选：D. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设是中点，且，根据求得，再由得到直线倾斜角为，则直线倾斜角为，结合倍角正切公式求，进而求离心率. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为，如下图， 若是中点，且， ，则，可得， 所以，则，而，则， 所以，若直线倾斜角为，则直线倾斜角为， 由，则，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：若是中点，应用点差法求得，即，由得直线倾斜角为，则直线倾斜角为为关键. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的一条对称轴为 D. 在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】通过函数的图象求出函数的解析式，按照正弦型函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】由五点法对应得，解得，故A错误，B正确； 同理可得，解得， 所以函数， 函数的对称轴为：，解得， 故不是函数的一条对称轴，故C错误； 函数的单调递增区间为, 解得，令，则一个单调递增区间为， 所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD. 10. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可求的表达式，判断A的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断BC的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断D的真假. 【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确. 二次函数有两个不等式实根，， 不妨设， 因为， 所以， 在横坐标为的点处的切线方程为：， 令，则， 因为 所以，即： 所以为公比是2，首项为1的等比数列. 所以故BC错. 对于D选项，，得故D正确. 故选：AD 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：构造函数，根据题意求得，令即可求解后判断；对B：对求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C：对x的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对D：根据B中所求函数单调性，即可求得函数值域. 【详解】令，则，故（为常数），，， . 令，解得或， 故函数有且仅有两个零点，选项A正确； ， ∴令得；令得， 在和上单调递增，在上单调递减. ，，， ∴存在，使得； 又，∴存在，使得； 当时，，∴不存在使得. 综上所述，有且仅有两个根，即有两个零点，故选项B错误； ，∴. 当时，，. 令，则， 故在上单调递增，，满足题意； 当时，也满足不等式. 综上所述，当时，不等式恒成立，故选项C正确； 由B知在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数在上的值域为，故选项D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决问题的关键是能够构造函数，准确求出的解析式，属难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围. 【详解】，则或，即或. ①当时，，满足，符合题意； ②当时，，所以若， 则有或（舍），解得； ③当时，，所以若， 则有或（舍），解得. 综上所述，. 故答案为： 13. 已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得，故只需求出外接球半径的最小值即可. 【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，. 如图，球心在正四棱锥内时，由，可得， 即（*）. 球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式. 又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得. 通过对关于的函数求导，即， 易得函数在单调递减，在单调递增， 则.从而，球的体积的最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是首先得到，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 【答案】 ①. ②. ##5.75 【解析】 【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案； 第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以, 故答案为：； 【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【答案】（1） （2）在上单调递增；1 【解析】 【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程. （2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解. 【小问1详解】 当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为． 16. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表． 非一线 一线 总计 愿生 40 y 60 不愿生 x 22 40 总计 58 42 100 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？ （3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率． 参考公式：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” （3） 【解析】 【分析】（1）根据列联表中数据分析得到答案； （2）计算出卡方，与比较后得到结论； （3）利用列举法求出古典概型的概率. 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 由，得， ∴有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”． 【小问3详解】 抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2， 来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d， 选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”， 基本事件为：， ， 事件共有9个， 或 17. 在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，且，， 可得，， 又因为，， 所以，则， 因为平面平面BCD，平面平面，且平面BCD，所以平面ABD， 又因为平面ABD，所以； （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）余弦定理和勾股定理可证明平面ABD，再由线面垂直的性质即可得； （2）以点为坐标原点建立空间直角系，利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABD，且平面ABD，所以， 如图所示，以点D为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，，所以，, 设平面ACD的法向量为，则, 令，可得，，所以 假设存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°， 设，(其中)，则，， 所以 , 整理得，解得或(舍去)， 所以在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°，此时． 18. 已知椭圆：，过右焦点，且与长轴垂直的弦长为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若的上顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点（与椭圆顶点不重合），直线，分别交直线于，两点，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程得，即，结合离心率的概念和公式计算求出a、b即可求解； （2）设，直线PG的方程为，联立方程组，利用韦达定理表示，联立直线EP和求出，同理求出，进而表示出，结合点线距表示出，根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，将代入椭圆方程， 得，即弦长， 有，解得， 所以该椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知， 设，直线PG的方程为， 由，消去x，得，， 则， 设，直线EP的方程为， 由，解得，同理可得， 所以 ， 将代入上式，整理得， 又点到直线的距离为， 所以， 设，则， 所以， 当即即时，取到最小值，且最小值为5. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；平时训练要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 给定整数，由元实数集合S定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由； （2）任取一个n元规范数集S，记分别为其中最小数与最大数，求证：； （3）当遍历所有2027元规范数集时，求范数f的最小值．注：、分别表示数集X中的最小数与最大数． 【答案】（1）对于集合A：由，得集合A不是规范数集； 对于集合B：由，，，，，， 得集合B相伴数集，且，所以集合B是规范数集. （2）证明：不妨设集合S中的元素为，则，， 由S为规范数集，得，则，且，使得， 当时，则，当且仅当且时取等号； 当时，则，当且仅当且时取等号； 当时，则， ，当且仅当时取等号， 所以. （3）1027182 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用元规范数集的定义，计算判断即可. （2）令，利用元规范数集的定义，按、与分类讨论推理得证. （3）令，利用规范数集的定义，按、与分类并结合累加法及等差数列前项和公式求出范数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设， 由S为规范数集，得，，且，使得， 若，则当时， ， 当且仅当时取等号， 则范数， 当且仅当时取等号， 而， 当且仅当时取等号，因此，即范数的最小值； 若，则当时， ， 当且仅当时取等号，则， 则范数， 当且仅当时取等号， 而，当且仅当时取等号， 因此，即范数的最小值； 若，使得，且， 当，即，即时，则当时， ， 当且仅当时取等号， 当时，， 当且仅当时取等号， 则范数 ，当且仅当时取等号， 而，当且仅当时取等号， 因此范数的最小值为； 当，即，即时，则当时， ， 当且仅当时取等号， 当时，， 当且仅当时取等号， 则范数 ， 而，且仅当时取等号， 因此范数， 所以范数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 信阳市2027届五校协作体高三9月供题 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试结束后试卷、答题卡、草稿纸一律不得带出考场． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 2. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. -4 B. 8 C. -16 D. 16 4. 已知为直线的方向向量，分别为两个不同平面的法向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的一条对称轴为 D. 在区间上单调递增 10. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递减数列 C. D. 数列的前项和 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是_______. 13. 已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______. 14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则___________；若，则的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，研究函数在上的单调性和零点个数． 16. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表． 非一线 一线 总计 愿生 40 y 60 不愿生 x 22 40 总计 58 42 100 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？ （3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率． 参考公式：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆：，过右焦点，且与长轴垂直的弦长为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若的上顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点（与椭圆顶点不重合），直线，分别交直线于，两点，求的面积的最小值. 19. 给定整数，由元实数集合S定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和． （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由； （2）任取一个n元规范数集S，记分别为其中最小数与最大数，求证：； （3）当遍历所有2027元规范数集时，求范数f的最小值．注：、分别表示数集X中的最小数与最大数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $